Автоморфизмы и элементарная эквивалентность групп Шевалле и других производных структур

Оглавление
1 Автоморфизмы групп Шсваллс 27
1.1 Определения и формулировки основных теорем.................................. 28
1.2 Замена изначального автоморфизма на специальный изоморфизм................. 32
1.3 Образы элементов гиа....................................................... 33
1.3.1 Системы корней Л[, 0(, Е(........................................... 35
1.3.2 Системы корней Ві .................................................. 39
1.3.3 Система корней Є2 .................................................. 42
1.4 Образы элементов я„<(1) и диагональных матриц.............................. 43
1.4.1 Системы корней Лі, Д, /?/........................................... 43
1.4.2 Система корней В[................................................... 48
1.4.3 Система корней ..................................................... 61
1.4.4 Система корней С2 .................................................. 67
1.5 Доказательство теоремы 2.................................................... 70
1.6 Начало доказательства теоремы 3............................................ 73
1.7 Доказательство теоремы 3................................................... 83
1.7.1 Линейные системы в случае Л2........................................ 84
1.7.2 Линейные системы в случаях Лі,йі,Еі, I ^ 3 ......................... 84
1.7.3 Система корней ..................................................... 88
1.7.4 Система корней (?2 ................................................. 89
1.7.5 Системы корней В\ .................................................. 90
1.8 Доказательство основной теоремы (теоремы 1)................................ 93
1.9 Группы Шевалле над кольцами с необратимой двойкой.......................... 95
1.9.1 Замена изначального автоморфизма на специальный изоморфизм .. 96
1.9.2 Образы элементов гоаіха,.(1) и некоторых элементов группы Вейля . . 98
1.9.3 Ограничение рассмотрения образов элементов ха(1) и гуа(1) на различные части базиса.........................................................104
1.9.4 Образы элементов шаі и іа,(1).......................................106
1.9.5 Образы элементов хаі (і) ...........................................113
1.9.6 Доказательство основной теоремы.....................................113
2 Элементарная эквивалентность групп Шевалле 115
2.1 Обратная импликация........................................................116
2.2 Переход к элементарной присоединенной группе ..............................117
2.3 Идентификация в классических случаях.......................................120
2
2.4 Изучение инволюций для классических групп Шевалле.......................121
2.4.1 Изучение инволюций для группы PSLn(K)...........................122
2.4.2 Изучение инволюций для групп типа С/............................124
2.4.3 Изучение инволюций в группах тина.....................................................................127
2.4.4 Изучение инволюций для групп типа Dt (I ^ 4)....................128
2.5 Формулы, различающие разные классические группы Шевалле.................131
2.6 Группа Шевалле тина G?.................................................139
2.7 Группы Шевалле типа F4.................................................141
2.8 Группа Шевалле типа Ее.................................................142
2.9 Группа Шевалле типа Е7.................................................144
2.10 Группа Шевалле типа Е8.................................................145
2.11 Определимость ноля в группах Шевалле....................................146
2.12 Изоморфизм решеток весов................................................149
2.13 Факторизация для локальных колец........................................151
2.14 Формулы для разложения Гаусса групп Шевалле.............................153
2.15 Элементарная эквивалентность базисных колец.............................160
3 Полугруппы неотрицательных матриц 161
3.1 Необходимые определения п понятия.......................................162
3.2 Автоморфизмы полугруппы О,,(11).........................................163
3.2.1 Построение автоморфизма Ф'........................................164
3.2.2 Действие автоморфизма Ф' на диагональных матрицах.................169
3.2.3 Основная теорема..................................................173
3.3 Элементарная эквивалентность полугруппы Gn(R)............................179
4 Эквивалентность в логике второго порядка 192
4.1 Языки и модели второго порядка..........................................193
4.2 Элементарная эквивалентность категорий модулей..........................196
4.2.1 Некоторые сведения о категории модулей над кольцами...............196
4.2.2 Выделение прообразующего объекта в категории mod-Я................198
4.2.3 Кольцо End цР ....................................................201
4.2.4 Случай конечных колец.............................................201
4.2.5 Красивые линейные комбинации......................................202
4.2.6 Порождающее множество мо,дуля V...................................203
4.2.7 Логика второго порядка и структура (Си, ring), алгоритм перевода
формул............................................................204
4.2.8 Обратная теорема..................................................210
4.2.9 Аналог теоремы Мориты и следствия.................................216
4.3 Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов........................219
4.3.1 Кольца эндоморфизмов модулей и категории Сдду) ...................220
4.3.2 Элементарная эквивалентность в категориях вида Gm(V) .............221
4.3.3 Основная теорема..................................................224
4.4 Проективная геометрия модуля V..........................................225
3
4
4.4.1 Язык проективной геометрии и основные понятия, определимые в
этом языке..........................................................225
4.4.2 Кольцо EndjiP.......................................................229
4.4.3 Построение кольца End rV............................................231
4.4.4 Обратная теорема....................................................234
4.5 Эквивалентность групп автоморфизмов модулей................................235
4.5.1 Изоморфизм групп AuIr(V) ...........................................235
4.5.2 Элементарная эквивалентность групп автоморфизмов и колец эндоморфизмов модулей бесконечных рангов 24G
4.5.3 Основная теорема....................................................248
4.6 Эквивалентность колец эндоморфизмов абелевых групп.........................249
4.6.1 Предварительные сведения об абелевых группах........................249
1.6.2 Формулировка основной теоремы, обратные теоремы, разбиение на
случаи..............................................................253
4.6.3 Ограниченные р-группы ..............................................262
4.6.4 Прямые суммы делимых и ограниченных р-групп.........................268
4.6.5 Группы с неограниченной базисной подгруппой.........................27S
4.6.6 Основная теорема....................................................293
Введение
Работа посвящена автоморфизмам и изоморфизмам групп Шевалле над кольцами, а также элементарной эквивалентности различных производных структур (в том числе групп Шевалле).
Исторический обзор
Автоморфизмы и изоморфизмы линейных и классических групп
Линейные группы — традиционный объект исследования математиков. Различные вопросы, связанные с их структурой, изучались К. Жорданом, Л. Диксоном, Б. ван дер Варденом, Г. Вейлем, Ж.Дьедонне, Ж.Титсом и их многочисленными последователями в огромном количестве работ. Ко второй половине XX века сложилось несколько крупных направлений исследования линейных групп, среди которых изучение нормальных подгрупп, описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотноше-ний, описание подгрупп, порожденных некоторыми специальными элементами, а также описание автоморфизмов и изоморфизмов между линейными группами.
Изучение автоморфизмов классических групп началось работой Шрайера и Ван-дер-Вардена |147] 1928 г., в которой были описаны автоморфизмы группы РЗЬ„ (п ^ 3) над произвольным полем. Затем Дьедоние [98] в 1951 г. и Рикарт (145| в 1950 г. ввели метод инволюций, с помощью которого были описаны автоморфизмы группы СЬП (п ^ 3) над телом.
Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами, а именно для группы ОЬ„ (п ^ 3) над кольцом целых чисел, сделали Хуа Логен и Райнер[110) в 1951 г. В 1957 г. Лэндии и Райнер [124|, а также Вань Чжесяиь |175[ обобщили результат Хуа Логена и Райнера на некоммутативные области главных идеалов.
Методы отмечавшихся выше работ основывались главным образом на изучении инволюций в рассматриваемых группах. В 1976 г. О'Мира |129| придумал совершенно новый •гак называемый метод вы четных пространств, не использующий инволюций, с помощью которого ему удалось описать автоморфизмы группы СЬ „ (г? > 3) над областями целостности. Независимо от О’Миры, опираясь на изучение инволюций, автоморфизмы группы
6
Я„(Я) (ті > 3) над областями целостности характеристики ^ 2 описал Янь Шицзянь [151] (1965 г.).
Помфрэ и Макдональд [143] в 1972 г., используя теорема Капланского, утверждающую, что проективные модули над локальным кольцом свободны, определили автоморфизмы группы GL г, (п ^ 3) на;; коммутативным локальным кольцом, в котором двойка обратима. Обратимость в кольце двойки даег возможность привлекать к изучению автоморфизмов группы GL„ технику, опирающуюся на изучение инволюций. Г.А. Носков [45] и В.Я.Блошицын [2] в 1975 г. описали автоморфизмы группы GL„(/?) (п > 3), если Я ~ коммутативное кольцо, которое не порождается делителями нуля, с обратимой двойкой. B.C. Дроботенко и Э.Я. Погориляк [18] в 1977 г. сделали то же для конечных сумм локальных колец, Макдошыьд [128] в 1978 г. — если коммутативное кольцо Я содержит только нулевой и единичный лдемпогеиты.
Уотерхауз |177| в 1980 г. доказал стандартность автоморфизмов групи GLn (n ^ 3) над произвольным коммутативным кольцом с обратимой двойкой. Если 2 — необратимый элемент коммутативного локального кольца Я. то автоморфизмы груші SLn(#), GLn(R) были изучены В.М. Пеіечуком в 1980 г. при п ^ 4 ([47]) и в 1982 г. при п = 3 ([48]). Основываясь на результатах над локальными кольцами в 1982 г. В.М. Петечук [46] описал автоморфизмы линейных груші GLn, SLn (л ^ 4) над произвольными коммутативными кольцами.
В качестве результатов для некоммутативных колец в 1980-х годах в работе И.З. Голубчиком и А.В. Михалевым |16| было дано описание изоморфизмов групп GLn(/2) и GLm(£) ндл, ассоциативными кольцами Я и Я с - при п, т ^ 3, и несколько иным способом в работе Е.И. Зельманова [24]. Затем, в 1997 году И.З. Голубчиком [15] описание изоморфизмов между общими линейными группами было продолжено на случай произвольных ассоциативных колец и 71, m ^ 4.
Группы Шевалле, их автоморфизмы и изоморфизмы
С другой стороны, теория алгебраических груші также является одной из важнейших областей современной алгебры. Она возникла в середине XX века, на стыке алгебраической геометрии, теории групп и теории Ли, и в настоящее время имеет приложения как в этих, так и в других областях математики: теории конечных групп, теории чисел, теории инвариантов, теории дифференциальных уравнений и т. д. Центральное место в теории алгебраических групп занимают нолунросгые алгебраические группы и их непосредственное обобщение — группы Шевалле.
Основы теории групп Шевалле были заложены в 1950-х, 1960-х годах в работах К. Шевалле, Ж.Титса. А. Бореля, А. Вейля, А. Гротендика, М.Деыазюра, Р. Стейнберга и др. В частности, в 1956-1958 годах К. Шевалле получил классификацию полупростых алгебраических групп над алгебраически замкнутым полем. Позднее Шевалле показал, что все нолупростые группы над алгебраически замкнутым полом в действительности определены над Z, или, иначе говори, получаются в результате расширения базы из некоторых групповых схем над Z, называемых схемами Шевалле-Демазюра Группы точек схем Шевалле-Демазюра над коммутативными кольцами называются группами Шевалле.
1
7
Частными случаями групп Шевалле являются расщепнмые классические группы матриц SL„(ft), SO „(Я), Sp„(Я) (над коммутативным кольцом Л с единицей); конечные простые группы типа Ли Au((j)-G2{q) являются центральными факторами групп Шевалле.
Таким образом, группы Шевалле являются естественным продолжением как алгебраических групп, так и классических линейных групп над коммутативными кольцами.
Изучением групп Шевалле занимались такие известные математики, как К. Шевалле, Э. Абе, Р. Стейнберг, Дж. Хамфри, II.А. Вавилов, Е.Б. Плоткин, В.М. Левчук, С.Г. Колесников и многие другие. В том числе, изучались автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле над полями и различными классами колец. Например, Р. Стейнберг и Дж. Хамфри описали изоморфизмы групп Шевалле над нолями. Описанию автоморфизмов групп Шевалле над различными коммутативными кольцами были посвящены работы многих авторов. среди которых отмстим работы Бореля-Титса [83), Kajyrcpa Ю Чена [86], 10 Чс-па |88[—(92|, Э.Абе [69], A.A. Клячко [121].
Э.Абс [69] доказал стандартность автоморфизмов гцля нетеровых колец, что полностью могло бы закрыть вопрос об автоморфизмах групп Шевалле над произвольными коммутативными кольцами (для случая системы корней ранга ^ 2 и колец с обратимой двойкой), однако в рассмотрении случая присоединенных элементарных групп в работе [69| содержится ошибка, которую не удается устранить методами этой статьи. Именно, в доказательстве леммы 11 используется то, что acl (ха)2 = 0 для всех длинных корней, что неверно в присоединенном представлении. Главной проблемой здесь является случай групп типа Е&. так как во всех остальных случаях группы Шевалле допускают представление, обладающие свойством ad (тл)2 = 0 для всех длинных корней, а в случае Es таких представлений нет.
Случаи, когда кольцо содержит достаточно много обратимых целых чисел (например, все рациональные числа) полностью закрыт в работе A.A. Клячко [121]. Таким образом, наибольший интерес на данный момент представляют кольца, в которых мало обратимых целых элементов (например, обратимы только единица и двойка, либо только единица).
По этой причине особый интерес представляет рассмотрение групп Шевалле над локальными кольцами (с обратимой двойкой или без нее), так как появляется возможность перейти к описанию автоморфизмов (и изоморфизмов) групп Шевалле над всеми коммутативными кольцами с помощью метода локализации. В данной диссертационной работе описаны автоморфизмы групп Шевалле всех типов над локальными кольцами с обратимой двойкой, а также типов Л/, Д, Ei над локальными кольцами с не обратимой двойкой.
Заметим, что случай /1/ был полностью рассмотрен в работах В. Уотерхауза [176|, В.М.Петечука [46), Ли Фу-аня и Ли-Дзун-сяиа [1.14], причем даже без условия обратимости двойки в кольце. Статья И.З. Голубчика и A.B. Михалева [15) охватывает случай системы корней С/, который в данной диссертационной работе не рассматривается.
Элементарная эквивалентность
Две модели U и U' одного языка первого порядка С (например, две группы или два кольца) называются элеметпарно эквивалентными, если любое предложение р языка £ истинно в модели U тогда и только тогда, когда оно истинно в модели U'. Любые две конечные модели одного языка элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны.
I
s
Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле С комплексных чисел и поле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность (для более подробных примеров см. (28]).
Обзоры и книги но элементарной эквивалентности
Классической книгой но теории моделей (в том числе и по элементарной эквивалентности) является книга (28]. Подробным обзором 1984 года результатов но элементарной эквивалентности и смежным вопросам является обзор (52] В. Н. Ремсслснникова и В. Л. Романькова “Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп”. Более новые результаты включены в обзоры Б.И. Буниной и A.B. Михалева (199] и (200], а также в обзор В. Гоулда, A.B. Михалева, Е.А. Палютниа, A.A. Степановой (17]. Справочным материалом по теории моделей могут служить книги [58], |22], (36), |54|. Испытательным полигоном для большинства результатов теории моделей служат алгебра, теория чисел и анализ. Среди многочисленных книг и обзоров по приложениям теории моделей можно выделить тс, в которых затрагиваются приложения к теории групп. Основные методы доказательств разрешимос ти и неразрешимости элементарных теорий изложены в книгах Тарского, Мостовского, Робинсона [167] и Ю. Л. Ершова [22]. Кроме того, в книге 10. Л. Ершова приведена классификация полных теорий абелевых групп и показано на примерах из алгебры, как работает метод модельной полноты и родственное понятие относительной алгебраической замкнутости. Результаты но ироблеме разрешимости элементарных теорий до 1964 года с подробным изложением методов доказательств освещены в обзоре Ю.Л. Ершова, И. А. Лаврова, А. Д. Таііманова, М. А. Тайцлина [20]. Вопросы разрешимости расширенных теорий, особенно расширенных теорий абелевых групп, разобраны в обзоре А. И. Кокорина и А. Г. Пинуса [31].
Элементарная эквивалентность различных классов групп
Ряд интересных задач в теории групп возник в связи с применением в ней теоретико-модельных методов. К их числу относится проблема классификации групп с точностью до-элементарной эквивалентности, или в другой формулировке — проблема классификации полных теорий групп.
Анализ решений проблемы элементарной классификации групп определенного класса позволяет выделит!» три основных метода доказательств: модельной полноты, перехода к насыщенным моделям и прямой, когда доказывается формулыюсть характеристик, определяющих групповую структуру исследуемой группы. Наиболее полные результаты по проблеме элементарной эквивалентности были получены для абелевых и линейных групп.
Весьма прозрачная и полезная в приложениях классификация абелевых групп по элементарным свойствам получена в 1954 г. польским математиком Шмелевой (152]. В настоящее время известны несколько доказательств ее результатов, полученных либо методом модельной полноты [27], (29] (исправление в [30], (79]), либо переходом к насыщенным группам (100], либо комбинацией эт их методов [22]. Одним из наиболее важных следствий теоремы Шмелевой является разрешимость элементарной теории класса абелевых групи.
Проблема классификации груші по элементарным свойствам, как правило, является трудной задачей. Удовлетворительные результаты по ее решению получены для свободных групп, для некоторых классов ннлыютентных групп и для классических линейных групп.
9
Сформулируем результаты.по элементарной эквивалентности для степенных нильпо-тентных груші:
Теорема (А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников [42], [43], [41]). Пусть G и П — нилъпо-тентпые Q-группы конечного ранга. Тогда группа G элементарно эквивалентна группе И тогда и только тогда, когда основы Gull изоморфны, причем G и Н одновременно либо совпадают со своими основами, либо не равны или
По определению, подгруппа G ^ G называется основой группы G, если Z{G) ^ G' и G = G X С, где Z{G) — центр G, G' — коммутант С и С ^ Z{G). Основа по группе определяется единственным образом с точностью до изоморфизма.
Эта теорема резко контрастирует с соответствующим результатом для абелевых групп и сводит проблему элементарной эквивалентности к проблеме изоморфизма для нильпо-тентных Q-груіш конечного ранга. Последняя проблема алгоритмически разрешима ([55]). В [41] доказательство теоремы получено с помощью перехода к насыщенным группам и детального изучения связей между абстрактными и алгебраическими изоморфизмами ушшотентных алгебраических /».-групи, где к — ноле нулевой характеристики. В [43] доказательство теоремы получено прямым методом.
Ситуация в случае нилыютентных групп, т.е. степенных групп над кольцом Т., более сложная, чем в случае поля Q. Б. И. Зильбер |25] построил пример двух псизоморфных элементарно эквивалентных конечно порожденных 2-1шлыютентных групп.
Ряд результатов 1980-1998 гг., принадлежащих французскому математику Франсису Огеру (Francis Oger), посвящен, элементарной эквивалентности различных (конечно порожденных, в основном почти абелевых или почти нилыютентных) групп ([138|, [133], [132], [139], [130]. [135], [137], [134], [13G], [140]).
В районе 1945 года Тарский сформулировал два предположения об элементарных тсо- -риях свободных групп. Первое из них состояло в том, что две свободные неабелевы группы различных рангов элементарно эквивалентны. Второе состояло в том, что элементарная теория свободной неабслсвой группы разрешима. Обе гипотезы были доказаны в окрестности 1999 года А. Мясииковым и О. Харламнович в работах [117]—[120].
Элементарная эквивалентность линейных групп
Впервые вопросы связи элементарных свойств некоторых моделей с элементарными свойствами производных моделей были рассмотрены в 1961 г. А.И. Мальцевым в работе |37|. Он доказал, что группы Gn(K) и Gm(L) (G = GL, SL. PGL, PSL, n,m ^ 3, K,L — поля характеристики 0) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда т = п и поля К и L элементарно эквивалентны.
Продолжение эта теория получила в 1992 году, когда с помощью конструкции ультра-произведения и теоремы об изоморфизме |28) К.И. Бейдар и A.B. Михалев в работе [811 нашли общий подход к проблемам элементарной эквивалентности различных алгебраических структур и обобщили теорему Мальцева для случая, когда К и L являются телами и ассоциативными кольцами.
Продолжением исследований в этой области явились работы Е.И. Буниной 1998-2001 гг. (см. [181], [183], [192]), в которых результаты А.И. Мальцева была распространены на унитарные линейные группы над телами и ассоциативными кольцами с инволюцией, а также на группы Шсвалле над алгебраически замкнутыми полями.
10
Тематика исследований Л.PI. Мальцева активно продолжается в данной диссертации.
Во второй главе изучается элементарная эквивалентность групп Шевалле над полями и локальными кольцами (эти результаты опубликованы в работах [1S5|, [ISO]. [192], [197|).
В третьей главе изучены элементарные свойства полугрупп неотрицательных матриц над линейно упорядоченными кольцами (эдот результат опубликован в работе [190)). Элементарные свойства полугрупп неотрицательных матриц над частично упорядоченными коммутативными кольцами были изучены E.II. Буниной и П.П. Семеновым в работе [5], не вошедшей в данную диссертацию.
Элементарная эквивалентность колец инцидентности изучалась автором совместно с А С. Доброхотовой-Майковой (см. |б|) и также не вошла в данную работу.
Структуры бесконечных рангов и логика второго порядка
В [102] Фелгнер предложил изучить проблему элементарной эквивалентности бесконечномерных общих линейных групп и других классических групп над полями. В [169|
В. Толстых решает эту проблему для бесконечномерных групп типов GL, PGL, ГL, PVL для достаточно широкого класса тел. Предмет изучения статьи [169] может быть описан как исследование выразительности языка логики первого порядка для бесконечномерных классических групп и близких структур. Похожие проблемы изучались во многих статьях, например, в [149], [150] Шслахом для бесконечномерных симметрических групп, в его статье [169], посвященной полугруппам эндоморфизмов свободных алгебр, в серии статей об автоморфизмах групп булевых алгебр (Рубин и Шелах, [146]), в работе [125] Магидора, Розенталя, Рубина и Срура о решетках замкнутых подмножеств систем Штейница.
Другая работа В. Толстых [168) посвящена исследованию -теории группы автоморфизмов бесконечно порожденной свободной группы. Пусть ру. — свободная группа бесконечного ранга к. В работе |168] доказано, что теория второго порядка множества к и элементарная теория группы Aut Fk интерпретируются друг в друге равномерно по 'F*, а следовательно, группы автоморфизмов Aut Fk и Aut F\ элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда к и Л эквивалентны в логике второго порядка.
Связь между совпадением теорий первого порядка одних структур и совпадением теорий второго порядка некоторых других структур была установлена в ряде работ А. Г. Пинусом. Например, работа [50] посвящена элементарной эквивалентности решеток разбиений В ней показано, что выразительные возможности решеток разбиений в логике первого порядка совпадают с выразительными возможностями логики второго порядка. Именно, пусть ЦЛ) — решетка разбиений на множестве А, Th(L(A)) — теория первого порядка решетки /ДА), Th2(A) — теория множества А (с пустей сигнатурой) в полной логике второго порядка. Доказано, что для любых множеств А, В теории Th{L(A)) и Th(L(B)) совпадают тогда и только тогда, когда ТЛг(Л) = Th2{B).
Результаты, полученные в 2000 г. в [49] А. Г. Пинусом и Г. Роузом, посвящены элементарной эквивалентное!и решеток подалгебр свободных алгебр.
В силу элементарной эквивалентности любых двух бесконечно порожденных V-свободных алгебр понятен интерес к вопросу об элементарной эквивалентности производных-структур от свободных алгебр многообразий, обзор по этому поводу- см. [142]. В частности, там доказано, что для любого нормального многообразия V, решетка конгруэнций алгебры Fv(k) элементарно определима в классе всех подобных решеток тогда и только тогда, когда кардинал к определим в полной логике второго порядка. Возникает вопрос об элемеп-
11
тарной эквивалентности структур, связанных с понятием подалгебры, для ^-свободных алгебр с различным числом порождающих.
В четвертой главе данной диссертации рассмотрена связь свойств второго порядка ассоциативных колец и свойств первого порядка категорий модулей, колеи, эндоморфизмов, групп автоморфизмов и проективных пространств модулей бесконечного ранга над этими кольцами (данные результаты опубликованы в [184]).
Также в четверюй главе доказываются теоремы, аналогичные теореме Бэра-Каштн-ского о кольцах эндоморфизмов абелевых р-групп (абелева р-группа определяется своим кольцом эндоморфизмов), но для элементарной эквивалентности. Показано, что элементарная теория кольца эндоморфизмов абелевой р-групиы определяет’ полную теорию второго порядка (в некоторых случаях ее счетное ограничение) самой абелевой группы. Данный результат опубликован в работе [186].
В работах [193] и [201] Е.И. Буниной н A.B. Михалева (не вошедших в данную диссертационную работу) рассматривались категории полигонов над моноидами, а также моноиды эндоморфизмов свободных полигонов над моноидами. Было показано, что при определенных условиях на исходные моноиды моноиды эндоморфизмов свободных полигонов над ними элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда сами моноиды эквивалентны в логике второго порядка.
Элементарная эквивалентность других структур и производных конструкций
В работе [99| приводится пример двух групп G и Я, таких, что G = Я, но G' ^ Н\ где G', IV — коммутанты групп G и И.
Для модулей существует достаточно простой критерий элементарной эквивалентности. Именно: два модуля М и N над кольцом Я элементарно-эквивалентны тогда и только тогда, когда для любых двух 1-позитивно-примитивных формул (т. с. формул вида 3x0, где 0 — конъюнкция атомных формул) <р, ф таких, что ф -> <р, мощности абелевых групп <р(М)/ф(М) и либо бесконечны, либо конечны и совпадают.
В ряде работ изучался вопрос о сохранении элементарной эквивалентности для различных теоретико-групповых конструкций. Например, в работе [80] доказано, что
1) для модулей над вполне приводимым кольцом тензорное произведение, рассматриваемое как абелева группа, сохраняет элементарную эквивалентность;
2) для счетного свободного булевого кольца R существуют Ä-модули Л, В, С, О такие, что А = Я, С = D, Л ®п С S (0) и B®rD = Z(2).
В [28] (стр. 392) доказано, что фильтрованные произведения, фильтрованные степени, прямые произведения сохраняют элементарную эквивалентность.
Проблема элементарной эквивалентности свободных произведений! Н\ * Ci и Н2 * С2, где Gb Go, //i, //2 — группы и при этом Нх = Я2, G\ = G2, остается открытой в настоящее время (сообщено автору В.Н. Ремесленниковым).
Не сохраняют элементарной эквивалентности: а) операция сплетения групп |59|, [60], [61|, б) нилыютентные произведения групп [141].
Работа [44] рассматривает элементарную эквивалентность свободных произведений групп.
Большое число работ посвящено проблеме элементарной эквивалентности расширенных теорий абелевых групп (см. библиографию и обзор [31]).
12
Уилер [180] установил, что кольца верхних треугольных матриц порядка > 3 над нолями Р и Р* элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда элементарно эквивалентны поля Р и Р*.
Общая характеристика работы
Цель работы и основные задачи
Цель данной работы состоит в создании новых универсальных методов исследования автоморфизмов, изоморфизмов и элементарной эквивалентности различных важнейших производных алгебраических структур таких, как кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов, проективные геометрии, категории модулей, матричные группы (в первую очередь, группы Шевалле), в установлении связи между изоморфизмами или элементарной эквивалентностью производных структур и условиями, которым должны отвечать базисные структуры, в 'точном описании автоморфизмов различных алгебраических структур, таких, как группы Шевалле над коммутативными кольцами, полугруппы неотрицательных обратимых матриц над упорядоченными кольцами. Основными задачами диссертации являются: описание (доказательство стандартности) автоморфизмов групп Шевалле над локальными кольцами; нахождение необходимых и достаточных условий тот, что (элементарные) группы Шевалле над полями или локальными кольцами элементарно эквивалентны; описание автоморфизмов и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами; нахождение необходимых и достаточных условий того, чтобы две категории модулей над кольцами, два кольца эндоморфизмов, две группы автоморфизмов, две проективные геометрии модулей бесконечного ранга над кольцами были элементарно эквивалентны; продолжение теоремы Бэра-Капланского об изоморфизмах колец эндоморфизмов абелевых р-групп на случай элементарной эквивалентности.
Основные методы исследования
В работе используются классические методы структурной теории колец, линейной алгебры, теории линейных групп, теории моделей и математической логики, в том числе методы А.И. Мальцева, К.И. Бейдара, A.B. Михалева, И.З. Голубчика, В.М. Источу ка, метод инволюций, переработанный автором в кандидатской диссертации, а также новые методы, в том числе метод перевода задач об автоморфизмах матричных групп над локальными кольцами к системам целочисленных линейных уравнений, метод интерпретации теорий второго порядка алгебраических систем в их производных структурах.
Научная новизна
Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
13
• Разработка новых методов описании автоморфизмов и изоморфизмов групп Шевал-ле с помощью линейных уравнений над локальными кольцами. Получение полного описания (доказательство стандартности) автоморфизмов групп Шевалле следующих типов:
— типов Л/, Д, Ei, Hi, Ci, F4, I > 1, над локальными кольцами с обратимой двойкой;
— тина Gn над локальными кольцами с обратимыми двойкой и тройкой;
— типов Л/, Di, Ei, I > 2, над локальными кольцами с необратимой двойкой (теорема 1.1).
• Описание элементарных свойств и элементарной эквивалентности групп Шевалле над нолями и локальными кольцами с обратимой двойкой с использованием метода инволюций (доработанного автором для случая групп Шевалле), методов А.И. Мальцева и метода ультрастепеней К.И. Бейдара и А.В. Михалева. Сведение элементарной эквивалентности групп Шевалле описанных типов к элементарной эквивалентности базисных полей или колец (теоремы 2.1 и 2.2).
• Описание автоморфизмов и элементарной эквивалентности полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой, что является продолжением описания аналогичных полугрупп над линейно упорядоченными телами, полученного А.В. Михалевым и А.М. Шаталовой (теоремы
3.1 и 3.2).
• Получение связи между элементарной эквивалентностью
— категорий модулей над кольцами,
— колец эндоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов,
— групп автоморфизмов свободных модулей над кольцами бесконечных рангов,
— проективных геометрий свободных модулей над кольцами
и эквивалентности в логике второго порядка структур, связанных с кольцами (теоремы 4.7, 4.13, 4.15 и 4.19).
• Разработка методов работы с логикой второго порядка, пост роение интерпретации теории второго порядка кольца в теории первого порядка его производной структуры (категории модулей над ним, кольца эндоморфизмов, группы автоморфизмов, проективной геометрии модулей над ним).
• Получение в качестве следствий полного описания элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов модулей бесконечного ранга над
— телами;
— областями главным идеалов;
— коммутативными кольцами;
— локальными кольцами;
— артиновыми кольцами;
14
— полу про отыми кольцами (следствия из теорем 4.13 и 4.19).
• Получение аналога теорема Вэра-Канланекого об изоморфизме колец эндоморфизмов абелевых р-групп для элементарной эквивалентности. Интерпретация логики второго порядка абелевой р-группы в кольце ее эндоморфизмов, разработка методов кодирования элементов абелевой группы в кольце ее эндоморфизмов (теоремы 4.33, 4.34, 4.35).
Краткое содержание работы
Глава 1 посвящена изучению автоморфизмов групп Шевалле над локальными кольцами. Автоморфизмы групп Шевалле над полями были полностью описаны в 1970-е годы Стейнбергом и Хамфри, в 1993 году появилась работа Э. Абе, описывающая автоморфизмы групп Шевалле над нетсровыми кольцами с обратимой двойкой. В этой работе для случая системы корней Е$ имело место ошибка, неустранимая методами самой ра-богы. В главе 1 данной диссертцин проблема автоморфизмов групп Шевалле решена для групп Шевалле различных типов над локальными кольцами с обратимой двойкой, а также для групп Шевалле типов Аи А» I ^ 3, над локальными кольцами с необратимой двойкой. Для доказательства объединены различные методы, использованные ранее для описания автоморфизмов групп вЬ и ЯЬ над локальными кольцами, методы линейной алгебры, а также их специфическое объединение, придуманное автором диссертации. Для доказательства приходилось проводить очень много различных матричных подсчетов, они выполнялись как вручную, так и на компьютере, не все из них приведены в тексте диссертации. Особенно сложными подсчетами отличается случай необратимой двойки, в процессе вычислений неоднократно возникали матрицы размера, большего чем 20 х 20.
Основными объектами, рассматриваемыми в первой главе, являются группа Шевалле (7«(Ф, Я) с системой корней Ф ранга, большего единицы, над локальным кольцом Я (с обратимой или необратимой двойкой) и ее элементарная подгруппа Е„(Ф, Я), порожденная элементарными корневыми унппотентамп ха(Ь), о € Ф, I € Я.
В первом параграфе приводя гоя основные определения групп Шевалле, их свойства, определяются четыре типа автоморфизмов группы Шевалле С7Х(Ф, Я), называемые стандартными:
Центральные автоморфизмы. Пусть Сд(Я) — центр группы <7~(Ф. Я), т : Ог(Ф, Я) -» Сс(Я) — гомоморфизм групп. Тогда отображение х »->■ т(х)х из (^(Ф, Я) на себя является автоморфизмом группы СЯ(Ф, Я), который обозначается буквой т и называется центральным автоморфизмом группы С?Г(Ф, Я).
Кольцевые автоморфизмы. Пусть р : Я -» Я — автоморфизм кольца Я. Отображение (.£,,_,) (р(-Г|,.?)) из С?п-(Ф, Я) на себя является автоморфизмом группы <7-(Ф, Я),
который обозначается той же буквой р и называется кольцевым автоморфизмом, группы б?-(Ф, Я). Заметим, что для всех а € Ф и I € Я элемент яа(£) отображается в яа(р(£)).
Внутренние автоморфизмы. Пусть 5 — некоторое кольцо, содержащее Я, д — элемент группы С„.(Ф,Я), нормализующий подгруппу С,-(Ф.Я). Тогда отображение х ►-» дхд~1 является автоморфизмом группы (7„(Ф,Я), который обозначается 1д и называется внутренним автоморфизмом, индуцированным элементом у € С7^(Ф, 5). Если д €
*
I
15
Сп(Ф,Я), то назовем 1д строго внутренним автоморфизмом.
Диаграммные (графовые) автоморфизмы. Пусть 6 — автоморфизм системы корней Ф такой, что <5Д = Д. Тогда существует единственный автоморфизм группы С/ДФ, Я) (будем обозначать его той же буквой <5) такой, что для любого а € Ф и I € Я элемент ха(£) переходит в хца)(£(а)1), где е(а) — ±1 для всех а € Ф и б(а) = 1 для всех а <= Д.
Автоморфизм о группы СК(Ф,Я) (или ДТ(Ф./?)) называется стандартным, если он является композицией автоморфизмов введенных четырех типов
Наряду со стандартными автоморфизмами автором вводится следующий “временный” тип автоморфизмов элементарной присоединенной группы Шевалле:
Автоморфизмы-сопряжения. Пусть V — пространство представления группы Ейд (Ф, Я), С € СЬ(1/) — матрица, ос!линяющая группу Шевалле на место:
СЕаЛ{ Ф. Я)С’1 = Еш1(Ф, Я).
Тогда отображение г •-> СгС~1 из Е~(Ф, Я) на себя является автоморфизмом группы Шевалле, который обозначается г и называемся авгпоморфгизмом-сопряжением группы Е(Я), индуцированпъии элементом С группы СЬ(1/).
Далее в первом пара1 рафе формулируется следующая основная теорема:
Теорема 1 (юорема 1 1) Пусть О = С7ДФ, Я) (Еп(Ф,Я)) — (элементарная) группа Шевалле со следую щи \ш условиями:
1) если рассматривается система корней Л/, Д гит Е[, I ^ 3, то Я — произвольное локальное колшутативпос кольцо;
2) если рассматривается система корней Лг, Я4, Я/, С/, 1^2, то Я — произвольное локальное коммутативное кольцо с 1/2;
3) если рассматривается система корней Сг, то Я — произвольное локальное коммутативное кольцо с 1/2 и 1/3.
Тогда любой автоморфизм группы С стандартен. Если группа Шевалле при этом присоединенная, то внутренний автоморфизм в композиции является строго внутренним
Этот основной результат получается с помощью применения двух следующих теорем:
Теорема 2 (теорема 1.2). Каждый автоморфизм элементарной присоединенной группы Шсва.'Ыв рассматриваемого выше типа является композицией кольцевого, диаграмм-гюго автоморфизмов и автоморфизма-сопряоюепия.
Теорема 3 (теорема 1.3). Каждый автоморфизм сопряэ/сение элементарной присоединенной группы Шевалле ]ю.ссматриваемого типа является композицией строго внутреннего (сопряжения с помощью элемента соответствующей группы Шевалле) и диа-граммного аатоморфизлюв.
Во втором, третьем, четвертом и пятом параграфах доказывается теорема 2 для колец с обратимой двойкой: во втором параграфе по произвольному автоморфизмы элементарной присоединенной групп Шевалле С? строится (с помощью замены базиса в пространстве представления группы (7) изоморфизм группы С на некоторую подгруппу СЪП(Я), с тем свойством, что се образ при факторизации Я но радикалу совпадает с кольцевым автоморфизмом. В третьем параграфе с помощью еще одной замены базиса мы приходим к
10
изоморфизму С на подгруппу в СЬ п(Я) со всеми свойствами предыдущего и такому, что все элементы ш0(1) переходят сами в себя. В четвертом параграфе проводится еще одна дополнительная замена базиса такая, что рассматриваемый изоморфизм начинает обладать дополнительным свойством: все элементы жа(1), ос Є Ф, также переходят в себя. Доказано, что при этом элементы /іа(£) переходят в элементы В пятом параграфе показано,
что соответствие 6^5 продолжается до автоморфизма кольца Я, после чего получается, что композиция изначального автоморфизма и некоторой замены базиса (т. е. внутреннего автоморфизма) является кольцевым автоморфизмом группы Шевалле С. Таким образом, в параграфе 5 теорема 2 доказана для локальных колец с обратимой двойкой.
В шестом и седьмом параграфах доказывается теорема 3. В шестом параграфе первой главы показано, как свести доказательство к линейным уравнениям над локальными кольцами, а в седьмом параграфе показано, как найти нужное решение этих уравнений для различных систем корней. В конце седьмого параграфа полностью доказывается теорема 3. Наконец, восьмой параграф первой главы посвящен доказательству теоремы 1. Для присоединенных элементарных групп Шевалле эта теорема является прямым следствием теорем 2 и 3, теорему 1 остается доказать для всех других элементарных групп Шевалле, а далее для самих групп Шевалле.
Девятый параграф посвящен рассмотрению групп Шевалле типов АД, Еі над локальными кольцами с необратимой двойкой. Требуется только доказать теорему 2, так как теорема 3 доказывается сразу и для колец с обратимой двойкой, и для колец с необратимой двойкой. Для этого случая все основные идеи и методы остаются теми же, но приходится рассматривать более сложные матрицы (матрицы порядка три вида Щ»(1) • жв(1)), которые требуется на нервом этане переводить в себя заменой базиса. Вес вычисления усложняются из-за того, что нет возможности делить на два.
Глава 2 посвящена элементарной эквивалентности трупп Шевалле над полями и локальными кольцами. Теоремы об элементарной эквивалентности линейных групп восходят' к Л.И. Мальцеву, доказавшему в 1961 году, что линейные (вЬ, БЬ) и проективные линейные (РвЬ, РБЬ) группы над полями элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их размеры совпадают, а поля элементарно эквивалентны. Подобные теоремы получены и для групп Шевалле:
Теорема 4 (теорема 2.1). Пусть С — СДФ, К) и С — СХ>(Ф',К') (или Е„(Ф,К) и К')) — две (элементарные) группы Шевалле над бесконечными нолями К и К' характеристики, отличной от двух, с решетками весов А и Л' соответственно. Тогда группы Є и С элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда системы корней Ф и Ф' изоморфны, поля К и К1 элементарно эквивалентны, решетки А и А' совпадают.
Теорема 5 (теорема 2.2). Пусть (7 = СгДФ, Я) и С = (7Г/(Ф', Я1) (или Ек(Ф, Я) и Е„>(Ф', Л')) — две (элементарные) группы Шевалле над локальными кольцами Я и II' с обратимой двойкой (в случае системы корней Є? еще и с обратимой тройкой), в одной из систем корней Ф, Ф' присутствует простоя подсистема корней, отличная от /Ц. Пусть решетки весов групп О и С обозначены через А и А' соответственно. Тогда группы С и С элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда системы корней Ф и Ф' изоморфны, кольца ІІ и Я' элементарно эквивалентны, решетки А и А' совпадают.
17
В первом параграфе доказываются более простые импликации, а именно, следующие две теоремы:
Теорема 6 (теорема 2.3). Если две группы Шевалле С = С„(Ф,Л) и С = (?*($, И!) построены с помощью одной и той же комплексной алгебры Ли типа Ф и одного и того лее се представления тг, а также с помощью элементарно эквивалентных колец Я и Я', то в = С.
Теорема 7 (теорема 2.4). Если две элементарные группы Шеваллс Е = Е„(Я, Ф) и Е' — Е„(Я', Ф) построены с помощью одной и той эюе 1комплексной алгебры Ли типа Ф и одного и того эюе ее представления 7Г, а таклсе с помощью элементарно эквивалентных полулокальных колец Я и Я' с 1/2, то Е = В'.
Во втором параграфе доказано, что если две (элементарные) группы Шевалле элементарно эквивалентны, то их системы корней совпадают, а исходные кольца элементарно эквивалентны, решетки весов изоморфны. Далее имея две элементарно эквивалентные элементарные группы Шевалле К и Е\ мы также имеем две элементарно эквивалентные элементарные присоединенные группы Шевалле н Е'м1, являющиеся факторами по центру исходных групп.
В параграфах 3-12 рассматриваются группы Шевалле над полями, доказывается теорема 4. Можно считать, что поле имеет характеристику, отличную от двух, и бесконечно (для конечных полей элементарная эквивалентность совпадает с изоморфизмом, поэтому результат будет следовать из теорем Стейнберга и Хамфриса).
В §3 классические элементарные присоединенные группы Шевалле над полями отождествляются с некоторыми подгруппами группы СЬ„(/Т).
В §4 описывается, как устроены инволюции (элемента порядка два) в классических группах Шевалле над полями.
В пятом параграфе второй главы доказано, что для любых двух классических групп Шевалле с неизоморфными системами корней существует предложение первого порядка, истинное в одной группе и ложное во второй. Делается эго с помощью рассмотрения инволюций, максимальных множеств коммутирующих инволюций» коммутантов централизаторов инволюций.
В параграфах 6-10 рассматриваются но отдельности исключительные системы корней. Например, в § 6 рассматриваются группы Шевалле типа G2 и доказывается следующая лемма:
Лемма 8 (лемма 2.10). Существует предложение <рсг первого порядка, истинное, в любой присоединенной группе типа Со и ложное во всех классических присоединенных группах Шевалле.
В §7 рассматриваются группы Шевалле тина Е^, а в §8,9,10 соответственно группы типа Еб, Вт, Е&. Наконец, в конце десятого параграфа доказано следующее
Предложение 9 (предложение 2.3). Если две (элементарные) группы Шевалле над бесконечными полями характеристики, не равной 2, элементарно эквивалентны, то соответствующие системы корней совпадают.
Параграф 11 посвящен доказательству того, что если две группы Шевалле одинакового типа элементарно эквивалентны, то поля, но которым они построены, элементарно
18
эквивалентны. Для этого сначала данный результат доказывается для самой “маленькой” системы корней — Аі'.
Лемма 10 (лемма 2.15) Если группы РЭЬг^О и РБЬ 2(7*0 {К, К1 — бесконечные поля характеристики Ф 2) элементарно эквивалентны, то поля К, К' элементарно эквивалентны.
Этот результат, в том числе, является дополнением к теореме А.И. Мальцева об элементарной эквивалентности линейных групп над нолями, так как в работе Мальцева для групп БЬ и РБЬ рассматривался размер, больший двух.
Далее в § 11 для произвольной системы корней Ф берется фактор по центру коммутанта централизатора подходящем'і инволюции, который является прямым произведением двух групп Шсвалле, одна из них есть РЗЬ2(А) (в предыдущих параграфах показано, что такая инволюция всегда найдется). После этого достаточно воспользоваться леммой 10. В результате получается
Предложение 11 (предложение 2.4). Если две присоединенные элементарные группы Шевалле Є(Ф,К) и <7(Ф, К') (К, К' — бесконечные поля характеристики, отличной от двух) элементарно эквивалентны, то поля К, К1 элементарно эквивалентны.
В § 12 остается рассмотреть решетки весов групп Шевалле. Доказывается
Предложение 12 (предложение 2.5). Если две (элементарные) группы Шевалле элементарно эквивалентны, то их решетки весов совпадают.
Таким образом, к копну § 12 полностью доказывается теорема 4. Остальные параграфы второй главы посвящены доказательству теоремы 5.
В §13 сначала доказывается, что подгруппа /Д = Е^(Ф,Я,./) определима в группе Е = Емі (Ф, Я), т. с. если две элементарные присоединенные группы Шевалле над локальными кольцами элементарно эквивалентны, то и соответствующие элементарные присоединенные группы Шевалле над вычетными полями элементарно эквивалентны. Таким образом, в § 12 доказано, что если две группы Шевалле над локальными кольцами элементарно эквивалентны, го их системы корней совпадают.
В § 14 второй главы доказывается, что известное разложение Гаусса для элементов групп Шевалле над локальными кольцами можно задавать в виде формул:
Предложение 13 (предложение 2.7). (1) Любой элемент х группы Шевалле С (Е) над локальным кольцом Я предай ав^ьястся в виде
х — иіті (.г = піти),
где и, и' Є и(11), V Є У(Я), і € Т(Я), К є Я (Я);
(2) Для разложений Х\ = и х2 = где
Пг =Хаі(ІЇ))."Хап(і{п)),
=*ві(ві})... (»{?)•
ні = а:-аі(г50)...х_й,1(г^)),
* = 1,2,
19
существует формула первого порядка кольцевого языка
С(1) № № 6(1) 5« 5(2) о(~)
УЧЧ >' • • 1 п >4 >•*■>4» >61 >•••!*« >51 1
г(1) г<1) г(2) (2) с(1) с(1) Л2) *(2)ч
'1 !•••»'« »'1 *•••>'« »41 »•••»Чц >41 >••* >>п />
истинная тогда и только тогда, когда
.гх = ;г2;
(3) Диалогично, Лея разложений г, = и^ил^, х2 = КгбгкДОг и тз = изЬузим где
и, = ^(/^...Л-апЙ0).
V, = х_01(4>)....т_ап(4)),
г = 1,2,3,
существует формула первого порядка кольцевого языка
ф(№ /0) Д') ^О) ДО г(0 £$9 с(<)\
УЧЧ >•••»'« >4 >--->*,1 >4 > * * * > п >41 » • * • »4П У>
истинная тогда и только тогда, когда
Хз = Хх • х2.
В параграфе § 14 с помощью перехода к ультрастепеням и теореме Кеислера-Шелаха об изоморфизме (методы, »первые использованные К.И. Бейдаром и A.B. Михалевым для линейных групп над кольцами показано, что если две рассматриваемые группы Шевалле элементарно эквивалентны, то элементарно эквивалентны и базисные кольца, по которым
они построены.
В последнем параграфе все результаты сводятся воедино и доказывается теорема о.
Третья глава диссертации посвящена автоморфизмам и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных обратимых матриц над упорядоченными кольцами. В первом параграфе вво;щтся основные определения. Определяется полугруппа G„(ß), состоящая из обратимых в группе GLn(ß) матриц, все коэффициенты которых неотрицательны. Далее вводятся следующие важные подполугруппы и подмножества полугруппы Gn(R):
Определение 14 (определение 3.4). Пусть / = /„, Гп(/{) — группа, состоящая из всех обратимых матриц из Gn(R), £а — симметрическая группа порядка п, Sa — матрица перестановки о Е ('т.е. матрица (<5»<r(j)), гДе ü»(j) — символ Кронсксра^, Sn = {Sa\a 6 En}, diag [dx,..., d7l] — диагональная матрица с элементами dlt..., d7, на диагонали, di,..., dn € R\. Через Dn(R) обозначим группу всех обратимых диагональных матриц из Gn(R), через D%(R) — центр группы Dn(R).
>
20
Определение 15 (определение 3.8). Через Вц(х) обозначим матрицу 1 4- хЕг,. Пусть Р обозначает подполугруппу в (7П(Л), порожденную всеми матрицами ва (а € £«/, В1}(х)
(хе 11+,1 ф )) и diag [аь..., ап] е И „(11).
Определение 16 (определение 3.9). Две матрицы Л, В 6 С„(И) называются Я-эквивалентными, если существуют матрицы Л,- € СП(Я), з = 0,..., к, Л = Л0, В = /Ц, и матрицы Я*, Я,, С?,, А £
Р,г = 0,— 1 такие, что Я,Л,Я, =
Определение 17 (определение 3.10). Через ОЕ ,^( Л) обозначим подполугруппу в ОД Л), порожденную всеми матрицами, Я-эквпвалентными матрицам из Р.
Второй параграф]) посвящен описанию автоморфизмов полугруппы неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой. Основным результатом этого параграфа является следующая
Теорема 18 (определение 3.1). Пусть Ф — автоморфизм полугруппы С„(Н), п ^ 3,
1/2 € Л, кольцо Л линейно упорядочено. Тогда на полугруппе СЕ + (Л) Ф = Фд/ФсП, где Фд/ — внутренний автоморфизм с помощью матрицы М € Гп(Я), Фс — кольцевой автоморфизм при помощи автоморфизма с(-) € Л1Ц, (Я+), П(-) — центральная гомотетия полугруппы СЕ^(Я).
В третьем параграфе рассматривается элементарная эквивалентность полугрупп <7„(Л), автоморфизмы которых были найдены о §,2. Параграф посвящен доказательству следующей теоремы:
Теорема 19 (теорема 3.2). Полугруппы С„(II), От(3) (п,т ^ 3, 1/2 € Л, 1/2 € Л, кольца Л и Л линейно упорядочены) элементарно эквивалентны, тогда и только тогда, когда п = т и полукольца Я+ и Я+ элементарно эквивалентны.
В четвертой главе диссертации рассматриваются элементарные свойства категорий модулей над кольцом, колец эндоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга над кольцами и групп н'.поморфизмов свободных модулей бесконечного ранга над кольцами, а также» колец эндоморфизмов абелевых р-групп. Выясняется, что элементарная эквивалентность таких структур равносильна эквивалентности базисных структур, но которым они строятся, в логике второго порядка (или какой-то ее части). Таким образом, требуются строгие определения логики второго порядка (языках и теориях второго порядка, их моделях, формулах, выполнимости), которые приводятся в первом параграфе.
Второй параграф посвящен элементарным свойствам и элементарной эквивалентности категорий модулей над кольцом.
В первом пзгнкте вто1Юго параграфа приводятся некоторые дополнительные сведения о категории тос!-Л.
Во втором пункте показано, что в категории тос1-Я понятие прообразующего объекта определимо без параметров, -г. е. существует формула в языке первою порядка теории категорий с одной свободной объектной переменной, истинная в категории тос1-Л для нрообразующнх модулей этой категории, и только для них.
В пункте 2.3 показано, что для данного прообразующего модуля Р на полугруппе Мог(Р,Р) можно ввести операции сложения и умножения так, чтобы эта полугруппа превратилась в кольцо, изоморфное кольцу Епс! п(Р).
21
В пункте 2.4 рассматривается случай конечных колец и доказывается теорема о том, что категории mod-R и mod-S, где R — конечное кольцо, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они Морита-эквивалетпны.
В пункте 2.5 мы формулируем, как распространить результаты С. Шелаха из работы [6] об интерпретации теории множеств в категории на случай категории mod-Я.
В пункте 2.6 результаты п. 2.5 используются для того, чтобы в категории mod-Я для некоторых фиксированных модулей X и Y выделить элементарными средствами множество линейно независимых проекторов из X на У.
В пункте 2.7 описывается структура (Сп, ring), состоящая из класса Сп всех кардинальных чисел, который состоит из множеств мощности для каждого € Сп, и кольца ring с отношениями суммы и произведения, а также логика второго порядка такой структуры (мы обозначаем ее через L2((Cn,ring))), позволяющая в формулах использовать произвольные предикатные символы вида
Р\х Afc (ci,..., с*; Vj,..., vn),
где Aj,..., А* — фиксированные кардинальные числа, С\, .. сд — переменные для элементов из Ai,. - -, А* соответственно, vi,...,vn — переменные для элементов кольца. Кроме того, доказана следующая теорема
Теорема 20 (теорема 4.5). Пусть даны кольца R и S и существует предложение ф языка L2((Cn,ring)), истинное в кольце. R. и ложное во всех кольцах, ему подобных и не эквивалентных ему в языке L2((Cn,ring)). Пусть, кроме того, категории mod-R и mod-S элементарно эквивалентны. Тогда существует кольцо S', подобное кольцу S и такое, что структуры {Сп, R) и {Cn,S') эквивалентны в логике L2.
Пункт 2.8 посвящен доказательству “обратной” теоремы:
Теорема 21 (теорема 4.6). Для произвольных колец с единицей Я и S если структуры (Сп,Н) и {Cn,S) эквивалентны в логике второго порядка L2) тпо категории mod-R и mod-S элементарно эквивалентны.
В результате в и. 2.9 из двух предыдущих теорем выводится теорема, являющаяся аналогом теоремы Мориты для элементарной эквивалентности, и несколько полезных следствий из нее:
Теорема 22 (теорема 4.7). Пусть даны кольца R и S и существует предложение ф языка Ь2{{Сп,г?пу)), истинное в кольце R и ложное во всех кольцах, ему подобных и не эквивалентных ему в языке L2((Cn, ring)). Тогда категории mod-R и mod-S элемен-тарно эквивалентны в том и только том случае, когда существует кольцо S', подобное кольцу S и такое, что структуры (Cn,R) и {Cn,S') эквивалентны в логике L2.
Следствие 1. Для произвольных тел F\ и F2 категории mod-F\ и mod-F2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры {Сп, Fi) и {Сп, F2) эквивалентны в логике второго порядка L2.
Следствие 2. Для произвольных коммутативных колец R\ и R2 категории mod-Ri и mod-R-2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры {Сп, Ях) и (Cn,R2) эквивалентны а логике второго порядка Ь2.
22
Следствие 3. Для произвольных локальных колец R{ и Я2 категории mod-R\ и mod-R.2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры {Си, ИЛ) и (Си, Я2) эквивалентны в логике второго порядка L2.
Следствие 4. Для произвольных областей главных идеалов R\ и Я2 категории mod-R\ и mod-Rn элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда структуры {Cn,R\) и (Сп, Я2) эквивалентны в логике L2.
Следствие 5. Для произвольных артиповых колец Я) и Я2 категории mod-R\ и mod-R2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда арцсствгуют кольца S\ и S2, подобные кольцам R\ -и Я2 соответственно, такие, что структуры {Cn,S\) и {Сп, 62) эквивалентны в логике Ь2.
Третий параграф посвящен рассмотрению тех же вопросов для колец эндоморфизмов модулей бесконечных рангов.
На протяжении всего параграфа предполагается, что кольцо Я и бесконечное кардинальное число х таковы, что в кольце Я существует максимальный идеал, порожденный не более чем ^ элементами (например, это всегда так, когда х ^ \R\ или кольцо Я иолу-нросто или является кольцом главных идеалов).
В первом пункте этого параграфа для каждого свободного модуля V бесконечного ранга над кольцом вводится некоторая специальная категория Сщу) такая, что элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов двух свободных модулей бесконечных рангов над кольцами равносильна элементарной эквивалентности соответствующих категорий.
Второй пункт третьего параграфа посвящен изучению элементарной эквивалентности категорий вида Ca/(v), в результате чего в третьем пункте доказаны следующая основная теорема и следствие из нее:
Теорема 23 (теорема 4.13). Пусть V\ и V2 — свободные модули бесконечных рангов х\ и х2 над кольцами R\ и Я2 соответственно, и существует предложение ф € Тр{(хх, R-i)), лоэююе во всех кольцах, подобных кольцу R\ и имеющих другую теорию Th21 ■ Тогда кольца End д, (V\) и End n2(V2) элементарно эквивалентны в том и только в том случае, когда существует кольцо S, подобное кольцу Я2 и такое, что теории Th2l {х\, R\) и Th2* (х-2, S) совпадают.
Следствие 1. Для пространств Ц и V2 бесконечных размерностей Х\ и х2 над произвольными телами (областями главных идеалов) I'\ иР2 кольца End р, V\ и End p7V2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда теории Th.%1 {{х\, I?i)) uTh!^{{x2, F2)) совпадают.
Следствие 2. Предположим, что х\ и х2 — бесконечные шрдиналыше числа, R\ и Я2 — коммутативные (локальные) кольца, и каждый максимальный идеал кольца R\ порожден не более, чем х\ элементами кольца. Тогда для свобод)шх модулей \\ и V2 рангов х\ и х2 над кольцами R\ и Я2 соответственно, кольца End V\ и End r2V2 эле.иептар-по эквивалентны тогда и только тогда, когда теории '/’^‘({^ь R\)) и Th^{{x2, Я2)) совпадают.
Следствие 3. Предположим, что х\ и х2 — бесконечные кардинальные числа, R\ и Я2 — артиповы кольца, и каэкдый максимальный идеал кольца порожден не более,
23
j чем X\ элементами кольца. Тогда для свободных модулей V\ и V2 рангов щ и х2 нас? коль-
цами Я1 и R-2 соответственно, кольца Endr^Vi и End r3V2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца S\ и S2, подобные кольцам R\ и Я2 соответственно, такие, что теории Th%l((xh S\)) и 77t£2((>r2, S2)) совпадают.
Следствие 4. Для свободных модулей \\ и V2 бсскон(ппых рангов Х\ и х2 над полу-простыми кольцами Ri и Я2 соответственно, кольца End д, (Vi) и Endfl2(V2) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца S\ и S2, подобные кольцам Ri и Я2 соответственно, такие, что теории Th%' {x\,S\)) и Th?((x2,S2)) совпадают.
Б четвертом параграфе рассматриваются проективные пространства модулей бесконечных рангов.
В первом пункте этого параграфа описывается язык проективной геометрии над кольцом (т. е. решетки подмодулей модуля на кольцом) и основные понятия, выразимые в этом языке.
Во втором пункте показано, как в проективной геометрии модуля бесконечного ранга интерпретировать кольцо, изоморфное кольцу End «Я для некоторого преобразующего модуля Р.
В третьем пункте четвертого параграфа показано, как в проективной геометрии модуля V интерпретировать кольцо End rV .
В результате в этом пункте доказана сле,лующая теорема:
Теорема 24 (теорема 4.14). Для свободных модулей V\ и V2 бесконечных рангов над пртизвольными кольцами R\ и Я2 соответственно из элементарной эквивалентности решеток подмодулей Я(Ц) и P(V2) следует элементарная эквивалентность колеи, эндо-мор(6измов End д,(Ц) и EndH2(V2).
В четвертом пункте доказывается “обратная” теорема:
Теорема 25 (теорема 4.15). Предположим, что V\ и V2 — свободные модули бесконечных рангов х\ и х2 mid кольцами Ri и Я2 соот в а тстпвенн о, и каждый подмодуль модум V\ (V2) имеет не более хх (х2) порождающих элементов (например, это так, если у.\ ^ \R}| и х2 ^ Я2 или сели R\, R> — полупростые кольца или кольца главных идеалов). Тогда из
End/?, (Vi) = End k2(V2)
следует
P(v,) = P(v2).
В пятохм параграфе рассматриваются группы автоморфизмов модулей бесконечных рантов над кольцами.
В пункте 5.1 по аналогии с работой [15] доказывается, что если кольца R и S с 1/2 не содержат центральных идемпотентов, отличных от 0 и 1, V и V1 — свободные модули бесконечных рангов над кольцами Я и S соответственно, то группы Aut r(V) и Auts(V') изоморфны тогда и только тогда, когда End r(V) = Ends(V').
24
В пункте 5.2 результаты п. 5.1 распространяются на элементарную эквивалентность. Э го делается с иомогцыо перехода к ультрастсиеням, аналогично работе [81) К. И. Бейдара и А. В. Михалева. Доказана следующая теорема:
Теорема 26 (теорема 4.17). Предположим, что кольца R, S содержат 1/2 и не содерэюат центральных идемпотептов, отличных от 1 и 0. Тогда группы Aut^(V') и Auts-fy7) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда кольца End r(V) и EndsO7') элементарно эквивалентны.
В пункте 5.3 мы считаем, что кардинальное число усу таково, что существует максимальный идеал кольца Яь порожденный не более чем усу элементами.
Доказана следующая теорема и следствия из нее:
Теорема 27. (теорема 4.19). Предположим, что кольца R\ и Но содержат 1/2 и не содержат центральных идемпотентов, отличных от 1 и 0. Пусть, кроме того, Vy и V, — свободные модули бесконечных рангов усу и ус2 над кольцами Ну и Яг соответственно, и пусть существует предложение ф € Th*'-({-^ь Н\)), ложное во всех кольцах, подобных кольцу Яу и имеющих другую теорию T)i2l. Тогда группы Aut ях(Ц) и Ant r2{V2) элементарно эквивалентны в том и только том случае, когда существует кольцо S, подобное кольцу Я< и такое, что Th£ ((ху, Ну}) = 77*2* ({х2) S)).
Следствие 1. Для свободных модулей Vy и V2 бесконечных рангов усу и ус2 над телами (ко.хшутативними или локальными кольцами, не содержтцими центщлъпых идемпотептов, отличных от 1 или 0, областями целостности) Fy и F2, содержащими 1/2, соответственно, группы Aut Fl (Ц) и Aut f2(^) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда Th%1 ((хь Fy)) = Th^^yc-y, F2)).
Следствие 2. Для свободных модулей Vy и V2 бесконечных рангов усу и ус2 над арти-новыми кольцами Ну и Я2, не содерэ/сащими центральных идемг)отентов, отличных от 0 или 1, содержащими!/2, соответственно, группы Autя,(Ц) и Autцг{У2) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют кольца Sy и S2, подобные кольцам Яу и Я2 соответственно, такие, 4moTk£l((ycy,Sy)) =Th.22{{yc2,S2)).
В шестом параграфе четвертой главы устанавливается связь между свойствами второго порядка абелевой /т-груины и свойствами первого порядка ее кольца эндоморфизмов.
В нервом пункте приведены все нужные н для дальнейших построений сведения об абелевых группах, взятые в основном из книги [63), а также сформулировано, как распространить результаты С. Шелаха из работы [148] об интерпретации теории множеств в категории на случай кольца эндоморфизмов специальной абелевой р-групны, являющейся прямой суммой циклических групп одного порядка.
В пункте 6.2 еще раз описан групповой язык второго порядка С2, а также его ограничение СХ некоторым кардинальным числом ус, после чего в п. 4.2 вводим выразимый ■ранг Гсхр абелевой группы А, представленной в виде прямой суммы D ®G своих делимой и редуцированных частей как максимум мощностей группы D и базисной подгруппы В группы А. В п. 6.2 мы сформулирована основная теорема этого параграфа:
Если А у и А2 — абелевы р-группы, усу = гехр(А\), х2 = Л2), то из элементарной
эквивалентности колец эндоморфизмов End (Ai) и End {А2) следует
Th?(Ay) = Th?{A2).
25
Заметим, что гсхр{А) == \А\ во всех случаях, кроме случая, когда \D\ < |G|, базисная подгруппа группы Л счетна, а группа G несчетна. В этом случае гехр(А) = ьз.
В том же пункте мы доказываем две “обратных импликации" основной теоремы:
1. Для любых абелевых групп А\ и А2 если группы Ах и Л2 эквивалентны в логике второго порядка Ь2, то кольца End (/l!) и End (Л2) элементарно эквивалентны.
2. Если абелевы группы А\ и А2 редуцированны и их базисные подгруппы смешны, то из Th%(Ai) = Th2(A2) следует End (Ах) = End (Л2).
Таким образом, дня всех абелевых групп, за исключением случая А — D (D G, D Ф О, \l)\ < |G|, |G| > w, базисная подгруппа в А счетна, элементарная эквивалентность колец End(/li) и End(yl2) равносильна соотношению
Тф(Лг) -ТЛ?(Л2).
В конце п.б.2 доказательство основной теоремы разделено на три случая.
1) группы Ах и А2 ограниченны;
2) Ах = Dx®Gx, А2 = D2©G2l группы и D2 делимы, группы Gt и G2 ограниченны;
3) группы Ах и А2 обладают неограниченными базисными подгруппами.
В следующих трех пунктах шестого параграфа эти три случая рассматриваются по отдельности. В последнем пункте шестого параграфе окончательно доказана основная теорему.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту
1. Доказано, что любой автоморфизм группы Шевалле ранга, большего одного, над локальным кольцом с обратимой двойкой (в случае системы корней G2 —• с обратимой тройкой) стандартен, т е. является композицией диаграммного, кольцевого, внутреннего и центрального автоморфизмов. Таким образом, решена проблема описания автоморфизмов групп Шевалле над локальными кольцами с обратимой двойкой, что дает возможность с помощью методов локализации описать автоморфизмы групп Шевалле над произвольными кольцами с обратимой двойкой (теорема 1.1).
2. Доказано, что любой автоморфизм группы Шевалле ранга, большего двух, типов Л/, Di, Ь), над локальным кольцом с необратимой двойкой стандартен, что открывает описание автоморфизмов и изоморфизмов групп Шевалле над коммутативными кольцами с необратимой двойкой (теоремы 1.3, 1.2, 1.1).
3. Доказано, что две (элементарные) группы Шевалле над бесконечными полями характеристики, не равной двум, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их системы корней и решетки весов совпадают, а поля элементарно эквивалентны. После этого показано, что (элементарные) группы Шевалле над локальными кольцами с обратимой двойкой (в случае системы корней G2 еще и с обратимой тройкой) ранга, большего одного, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их системы корней и решетки весов совпадают, а кольца элементарно эквивалентны (теоремы 2 1 и 2.2).
4. Описаны все автоморфизмы полугрупп неотрицательных обратимых матриц размера, большего двух, над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой, доказано, что на специальной (достаточно большой) подполугруппе такие автоморфизмы
26
стандартны, т. е. являются композицией внутреннего, пол у кольцевого и центрального автоморфизмов (теорема 3.1).
5. Доказано, что полугруппы неотрицательных обратимых матриц размера, большего двух, над линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой, элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их размеры совпадают, а полукольца неотрицательных элементов элементарно эквивалентны (теорема 3.2).
6. Доказано, что две категории модулей над кольцами (при некоторых условиях на кольца) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда специальные структуры, построенные на кольцах, эквивалентны в логике второго порядка (теоремы 4.5, 4.6, 4.7 и следствия из нее).
7. Доказано, что кольца эндоморфизмов модулей бесконечных рангов над кольцами (при некоторых условиях на кольца) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда специальные структуры, построенные на кольцах, эквивалентны в логике второго порядка или сс ограничении на некоторое кардинальное число (теорема 4.13 и следствия из нее).
8. Доказано, что проективные пространства модулей бесконечных рангов над кольцами (с некоторым условием па кольца) элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда кольца эндоморфизмов этих модулей элементарно эквивалентны (теоремы 4.14 и 4.15).
9. Описана связь элементарной эквивалентности групп автоморфизмов модулей бесконечного ранга над кольцами с эквивалентностью в логике второго порядка этих колец (теоремы 4.18, 4.19 и следствия из нее).
10. Описана связь элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых р-групп и эквивалентности в логике второго порядка этих абелевых групп, что продолжает известную теорему Бэра-Капланского об изоморфизмах периодических абелевых групп на случаи элементарной эквивалентности (теоремы 4.33, 4.34 и 4.35).
Глава 1
Автоморфизмы групп Шевалле над локальными кольцами
Введение
Пусть G- — это схема Шсвалле-Демазюра, ассоциированная с неприводимой системой корней Ф ранга, большего одного, СХ(Ф, R) — множество точек Gn со значениями в Я; Е„(Ф, R) — элементарная подгруппа в (7ДФ, Я), где Я — коммутативное кольцо с единицей.
В данной главе мы описываем автоморфизмы групп Ет(Ф, Я) и G*(Ф, Я) над локальными коммутативными кольцами с 1/2 для произвольных систем корней, а также над локальными кольцами с необратимой двойкой для систем корней с простыми связями. Подобные результаты для групп Шевалле над полями были доказаны Р. Стейнбергом (158) доя конечного случая и Дж. Хамфри |111] доя бесконечного. Описанию автоморфизмов групп Шевалле над различными коммутативными кольцами были посвящены работы многих авторов, среди которых стоит отметить работы Бореля-Титса [83|, Картора-Ю Чена [86),
Ю Чена [88|—[92], Э. Абе [69), А.Клячко |121].
Э. Абе [69) доказал стандартность автоморфизмов для нетеровых колец, что полностью могло бы закрыть вопрос об автоморфизмах групп Шевалле над произвольными коммутативными кольцами (для случая системы корней ранга > 2 и колец с обратимой двойкой), однако в рассмотрении случая присоединенных элементарных групп в работе [69) содержится ошибка, которую не удается устранить методами этой статьи. Именно, в доказательстве леммы 11 используется то, что ad (та)2 = 0 для всех длинных корней, что неверно в присоединенном представлении. Главной проблемой здесь является случай групп типа так как во всех остальных случаях группы Шевалле допускают представление, обладающие свойством ad {хл)2 = 0 для всех длинных корней, а в случае Es таких представлений нет.
Для доказательства основной теоремы обобщаются некоторые методы из работы В. М. Пе-течука (47).
Заметим, что случай At был полностью закрыт работами В. Уотерхауза [176), В.М.Пе-течука [46|, Ли Фу-аня и Лп-Дзун-сяна [114], причем даже без условия обратимости двойки в кольце. Статья И.3. Голубчика и A.B. Михалева (15) охватывает’ случай системы корней 6’/, который в этой работе по рассматривается.
27
Глава 1. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУПП ШЕВАЛЛЕ
28
Сначала будет показано, что автоморфизмы присоединенных элементарных групп Ше-валле (с рассматриваемыми нами условиями и над локальными кольцами) представляются в виде композиции кольцевого автоморфизма и аатоморфиама-сопряжение где автоморфизмом-сопряжением мы называем сопряжение элементов группы Шевалле в присоединенном представлении с помощью некоторой матрицы из нормализатора этой группы в вЬ (V).
Далее, используя этот результат, мы сможем описать (доказать стандартность) автоморфизмы (элементарных) групп Шевалле ранга, большего одного, над произвольными коммутативными локальными кольцами с обратимой двойкой (и с необратимой двойкой для систем корней с простыми связями). Под стандартным автоморфизмом мы здесь будем иметь в виду композицию внутреннюю, кольцевого, диаграммного и центрального автоморфизмов.
Для доказательства основной теоремы будут описаны нормализаторы присоединенных элементарных групп Шевалле в присоединенном представлении. Заметим, что нормализатор односвязанпоп группы Шевалле тина Еб в 27-мерном представлении описан Вавиловым и Лузгаревым в (12).
Результаты для снсюм корней А/, I ^ 2, Д, I ^ 4, Еі, I = 6,7,8, над локальными кольцами с обратимой двойкой, опубликованы в работах (196) и (204). Для систем корней Р.1 теоремы полностью доказаны в работе (198). Системы корней В-2 и С2 рассматривались в работе (195), в ней была доказана промежуточная теорема о том, что любой автоморфизм группы Шевалле рассматриваемого типа (дли системы корней /32 над коммутативным кольцом с обратимой двойкой, для системы корней С2 — с обратимыми двойкой и тройкой) есть композиция кольцевого автоморфизма и автоморфизма-сопряжения.
В работе (205| полностью описаны автоморфизмы групп Шевалле типов Д, / ^ 2, над локальными кольцами с обратимой двойкой.
В работе (206) доказана стандартность автоморфизмов групп Шевалле в случае систем корней Лц / ^ 2, Д, I ^ 4, В/, / = 6,7,8, над локальными кольцами с необратимой двойкой.
Окончательные результаты для системы корней С?2 (кольцо по-прежнему содержит 1/2 и 1/3) опубликованы в работе (?). В этой работе рассматриваются не автоморфизмы одной группы Шевалле, а изоморфизмы между двумя группами Шевалле. Показано, что такая задача абсолютно аналогична задаче об автоморфизмах, нужно поменять только несколько объектов, поэтому можно считать, что все теоремы доказаны и для изоморфизмов групп Шевалле рассматриваемых типов.
1.1 Определения и формулировки основных теорем
Мы фиксируем систему корней Ф ранга, большего одного. Подробные сведения о системах корней и их свойствах можно найти в книгах (64), [8|. То, как выглядят корни в системах разных типов, мы будем выписывать непосредственно в тех параграфах, где будем вести подсчеты для них. Предположим теперь, что у нас имеется нолупростая комплексная алгебра Ли С типа Ф с картановской подалгеброй ТС (подробную информацию о полупростых алгебрах Ли можно найти в книге (64)).