Ви є тут

Элементы малых порядков и локально конечные группы

Автор: 
Мамонтов Андрей Сергеевич
Тип роботи: 
Кандидатская
Рік: 
2009
Артикул:
322455
179 грн
Додати в кошик

Вміст

Оглавление
1 Введение 4
2 Основные определения и предварительные результаты 15
2.1 Обозначения..................................................... 15
2.2 Нилыютснтные группы............................................. 16
2.3 Локально конечные группы........................................ 17
3 Обобщение теоремы Бэра-Сузуки на бесконечные группы 18
3.1 Достаточное условие нильпотентности............................. 18
3.2 Доказательство теоремы 1........................................ 21
4 Локально конечные группы, порожденные классом элементов порядка 3 25
4.1 Соотношения для некоторых групп................................. 25
4.2 Подгруппы, порожденные тремя ^-элементами....................... 28
4.3 Свойства 1У-подгрупп............................................ 33
4.4 Частные случаи теоремы 3........................................ 40
4.5 Лемма об 5Х2(5)-подгруппах...................................... 43
4.6 Доказательство теоремы.......................................... 46
5 Доказательство локальной конечности групп со спектром {1,2,3,5, Г,}. 48
5.1 Локально конечные группы со спектром {1,2,3,5,6}................ 49
5.2 Подгруппы, порожденные элементами малых порядков................ 51
2
Оглавление
5.3 Разрешимость конечных подгрупп
5.4 Разрешимый случай..............
Глава 1
Введение
Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации.
Одним из важных направлений развития теории групп является перенос (естественно, не всегда полный) различных результатов о конечных группах на группы, которые не являются априори конечными. В частности, доказательство локальной конечности некоторого класса групп также обеспечивает такую переносимость результатов. Диссертация посвящена указанному направлению. Элементы малых порядков играют особую роль при изучении конечных групп. С другой стороны в этом направлении интересно и перспективно рассматривать именно грз'ппы с элементами малых порядков. Поэтому, после некоторых довольно общих результатов, в диссертации обсуждаются преимущественно группы с элементами малых порядков, и основное внимание уделяется вопросу о том, какие свойства таких групп способны обеспечить их локальную конечность.
Важной задачей при изучении групп является выяснение вопроса об их нормальном строении. Естественный источник нормальных подгрупп — подгруппы, порожденные классом сопряженных элементов. Пусть С — класс сопряженных элементов группы. Интересным является следующий вопрос: если для любых двух элементов х и у из С нам известно строение подгруппы (х.у), порожденной этими элементами, то что можно сказать про подгруппу (С)? В теории конечных групп встречается ряд результатов, сформулированных в таком
4
Глава 1. Введение 5
духе - этим духом пропитана и данная работа. Так Р. Бэр показал (11, Теорема III б.И], что если группа 67 конечна и порождается энгелевыми элементами, то С ннльпотентна. Важным следствием этого результата является:
Предложение 1.1 Пусть х — р-элемент конечной группы О, тогда х € Ог(0) в том и только в том случае, если {х9,хн) — р-группа для всех <?,/г С С (здесь Ор(С) — максимальная нормальная р-подгруппа, группы С).
В (20] М. Сузуки получил другое доказательство этого результата и использовал его при исследовании некоторых свойств инволюций в конечных группах. В связи с этим предложение 1.1 известно как теорема Бэра-Сузуки. Позднее более короткое и доступное доказательство предложения 1.1 получили Альперин и Лайонс [1], а сам этот результат применялся в теории конечных разрешимых групп [5] и при классификации конечных простых групп (25). Важным практическим следствием теоремы Бэра-Сузуки является утверждение о том, что в простой группе С любая инволюция обращает некоторый неединичный элемент нечетного порядка (1].
По теореме Бернсайда-Виландта конечная группа нильпотеитна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением своих силовских подгрупп |27, теорема 17.1.4]. В связи с этим теорему Бэра-Сузуки можно переформулировать таким образом:
Предложение 1.2 Пусть С — класс сопряженности конечной группы О. Если любые два элемента из С порождают пмльпотетппую группу, то и С порождает пильпотентпую группу.
Такая формулировка теоремы Бэра-Сузуки встречается, например, в |7).
В диссертации эта модернизированная теорема Бэра-Сузуки распространяется на произвольные группы с условием обрыва возрастающих цепочек нильпотентных подгрупп (т.е. с условием максимальности для нильпотентных подгрупп). Пример группы Голода с тремя порождающими (27, пример 18.3.2] показывает, что отказаться от дополнительного требования обрыва цепочек
Глава 1. Введение
б
нельзя: подгруппа, порожденная соответствующим классом, может не быть даже локально нилыгоневтной.
Основные результаты работ [3,19) М. Ашбахера, М. Холла и Б. Штсльмахера также с|юрмулируются в духе теоремы Бэра-Сузу кн. И этих работах описаны конечные группы, порожденные классом сопряженных элементов порядка 3, любые два из которых либо перестановочны, либо порождают одну из групп А*, /15| или 5X2(3). Результаты этих работ использовались, например, в [10) при исследовании квадратичных нар для простого числа 3. Первые шаги в направлении обобщениях этих результатов сделал В.Д. Мазуров. В (33) он доказал локальную конечность группы С, порожденной классом X сопряжённых элементов порядка 3 таким, что любые два нспсрестановочных элемента из X порождают подгруппу, изоморфную знакопеременной группе степени 4 или 5.
Действие группы С на нетривиальной абелевой группе V с аддитивной записью операции называется свободным, если уд ф у для всех д € С7, д ф 1, и всех у Е К, о Ф 1. Классификация конечных групп, способных действовать свободно на нетривиальной абелевой группе, была получена Цассенхаузом [22| и основывалась на применении теории характеров конечных групп. В частности, классификация Цассенхауза показывает, что если конечная группа С порождена классом сопряженных элементов порядка р и действует свободно на нетривиальной абелевой группе, то либо С? циклическая, либо р = 5 и (7 изоморфна 5X2(6), либо р = 3 и О изоморфна 5Х2(3) или 5Хг(5). Этот результат подчеркивает особую роль элементов порядка 3 в конечных группах. В [15) В.Д. Мазуров привел простое короткое доказательство теоремы Цассенхауза, не использующее теорию характеров.
Возникает интересный объект исследования — группы, порожденные классом сопряженных элементов, порядка 3, таким, что любая пара элементов из этого класса порождает подгруппу, изоморфную одной из следующих групп: £3, АЛ) Ац, 5Хг(3) или 5Х2(5). В диссертации /(.оказывается локальная конечность таких групп и приводится их классификации. В качестве следствия приводится утверждение, где показывается, как эти результаты могут использоваться при