Оглавление
1 Введение 4
1.1 Библиографический обзор....................................... 17
2 р-Адические ПДО и всплески 23
2.1 Введение.......................................................23
2.2 р-Адические всплески...........................................26
2.3 Связь со всплесками на вещественной прямой.....................29
2.4 р-Адические ПДО: снятие вырождения.............................34
2.5 р-Адические ПДО: дальнейшее снятие вырождения..................40
3 Ультраметрические ПДО и всплески 49
3.1 Введение.......................................................49
3.2 Направленное дерево Т(X) шаров.................................51
3.3 Направленные деревья и ультраметрика...........................57
3.4 Пополнение направленных деревьев...............................61
3.5 Связь со стандартным определением абсолюта.....................64
3.6 Ультраметрические всплески.....................................66
3.7 Связь со всплесками на вещественной прямой.....................69
3.8 Ультраметрические ПДО..........................................73
3.9 Аналог оператора Владимирова...................................76
3.10 Обобщенные функции на ультраметрическом пространстве .... 76
3.11 Ультраметрическое случайное поле...............................79
3.11.1 Приложение..............................................84
4 Репличные матрицы и ультраметрические ПДО 86
4.1 Введение.......................................................86
4.2 Параметризация матриц Паризи...................................88
4.3 Новое семейство репличных матриц...............................90
4.4 Ультраметрические ПДО и репличные матрицы......................92
2
4.5 Анализ на деревьях..............................................94
4.6 Связь с (/-анализом.............................................97
4.7 Вычисления с репличными матрицами...............................98
4.8 Сравнение с анзацем Паризи.....................................103
5 Решения с нарушенной реп личной симметрией и предел п -> 0106
5.1 Введение.......................................................106
5.2 Предел п -> 0: определение.....................................107
5.3 Предел п -> 0: расчеты.........................................109
5.4 Уравнение нарушения репличной симметрии .......................112
5.5 Постоянное репличное решение...................................115
5.6 Следствия из уравнения нарушения репличной симметрии . . . .116
5.7 Решение с нарушенной репличной симметрией .....................120
6 Связь некоммутативного и р-адического анализа 122
6.1 Введение.......................................................122
6.2 Свободные когерентные состояния................................123
6.3 Связь с р-адическими числами ..................................126
6.4 Оснащенное гильбертово пространство СКС........................130
6.5 р-Адическое представление алгебры Купца........................133
6.6 р-Адическое представление как ГНС-представление................135
6.7 Представление алгебры Купца в пространстве СКС.................136
7 Межбассейновая кинетика и ультраметрическая диффузия 138
7.1 Введение..................................................... 138
7.2 Межбассейновая кинетика как ультраметрическая диффузия . . . 140
7.3 Ландшафт и дерево бассейнов....................................142
7.4 Случайное блуждание на ландшафте
и межбассейновая кинетика.......................................144
7.5 р-Адическис модели межбассейновой кинетики.....................147
3
Глава 1
Введение
Настоящая диссертационная работа посвящена развитию теории р-адичсских и ультраметричсских пссвдодиффереициальных операторов и всплесков. Показана связь всплесков и спектральной теории пссвдодиффереициальных операторов. Построено применение этих математических результатов к методу реплик в статистической физике неупорядоченных систем. Также обсуждается связь между некоммутативным и р-адическим анализом.
р-Адические числа широко применялись в алгебраической геометрии, теории чисел и теории представлений. Начиная с 80-х годов прошлого века и работ В.С.Владимирова и И.В.Воловича, р-адическне числа получили широкое применение в математической физике. Были получены применения р-адических чисел в теории струн и теории неупорядоченных систем.
Важным разделом математической физики является анализ псевдодифре-циальных операторов, или ПДО. Псевдодифференциальными операторами называются операторы, диагонализуемые преобразованием Фурье, а также получаемые из таких путём естественных преобразований. Все основные уравнения классической математической физики записываются при помощи таких операторов (уравнение Лапласа, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, и другие).
Теория р-адических псевдодифференциальных операторов была развита В.С. Владимировым, см. [18|, большой вклад внесли также А.Н.Кочубей (183] и другие авторы. В частности, был определен оператор Владимирова р-адического дробного дифференцирования йа. Было отмечено, что этот оператор диагона-лизуется не только преобразованием Фурье, но также имеет базисы из собственных функций с компактным носителем. Пример такого базиса можно найти в (18]. Функции из данного базиса являются р-адическими аналогами сферических функций. Другие примеры базисов из собственных функций оператора
4
Владимирова были построены в [243], [14], [183], [21]. Эти базисы состоят из локально постоянных функций с компактным носителем.
В работе [48] был построен еще один пример ортоиормированного базиса из собственных векторов оператора Владимирова, названный базисом р-адических всплесков. Такой базис состоит из сдвигов и растяжений локально постоянной функции с компактным носителем
у>(х) = х(Р~'х)П (Мо)
где х(х) есть комплекснозначный характер р-адического аргумента (аналог осциллирующей экспоненты) и П ([т|р) есть характеристическая функция диска единичного радиуса с центром в нуле.
При обобщении конструкции базиса всплесков на пространства функций р-адического аргумента невозможно использовать сдвиги па целые числа. Связано это с тем, что в р-адическом случае целые числа но образуют решетку, а образуют плотное множество в единичном шаре, и сдвиги на целые числа не могут быть полны в Ь2((}р). Тем не менее, базис р-адических всплесков оказалось возможным определить, используя вместо сдвигов на целые числа сдвиги на элементы факторгруппы С1Р№Р поля р-адических чисел по кольцу целых р-адических чисел (точнее, на элементы из соответствующих классов эквивалентности).
Была доказана теорема [48].
Теорема Набор функций {ф^}:
Фтш(х) = р~^х(р1'1з(х - - п|р),
7 Є г, пе<3р/2р, ;' = 1,...,р-1
есть ортонормпрованный базис в Ь2(б}р) из собственных векторов оператора Владимирова Иа:
Оаф-,П} = Р°(1"7)^7п;
Здесь группа <3Р/£Р параметризована как
-і
"=£ П)&, п,=0,...,р —1
І-1
5
Более того, базис р-адических всплесков обладает замечательными свойствами: этот базис (для р = 2) эквивалентен базису всплесков в L2(R+), порожденному со всплеска Хаара. Эта эквивалентность задается р-адической заменой переменных: непрерывным отображением р р-адических чисел на вещественные числа, сохраняющим меру. Это означает, что теория всплесков (уже в вещественном случае) может рассматриваться как р-адический спектральный анализ (разложение функций по собственным векторам оператора Владимирова р-адического дробного дифференцирования).
Была доказана теорема [48].
Теорема Отображение р отображает ортопормированный базис всплесков Хаара па L2(R+) на базис р-адических всплесков в L2(QP) из собственных векторов для оператора Владимирова:
Р • '^'rp(n)jix) Фуп)(я)
В работе [50] был построен широкий класс р-адических интегральных операторов, которые не диагонализуются преобразованием Фурье, но диагональны в базисе р-адических всплесков, и были вычислены соответствующие собственные значения. В отличие от изучавшихся ранее операторов вида
Tf(x) = IТ(\х - 2/|р)(/(ж) - }(y))dfi(y)
введенные операторы имеют более общий вид
Т/(х) = J T(x,y)(f(x) - f(y)№(y)
Т(х, у) = const , если \х - у\р = const для фиксированного X Была доказана теорема [50].
Теорема Пусть ядро Т(:г, у), удовлетворяющее свойствам
Т(х, у) = const, если \х — у\р= const для фиксированного х
оператора
Tf{x) = JT(x,y)(f(x) - f(y))dy(y)
положительно и удовлетворяс'г условию сходимости всех интегралов вида А7П ниже для любых 7, п. Тогда пссвдодиффсрснциальный оператор имеет плотную
б
область определения в пространстве Ь2((др) и р-адичсские всплески являются собственными векторами для р-аднческого псевдодифференциальиого оператора:
Т'ф'упі =
с собственными значениями
Л7„ = [ Т(р_7п, у)(1у + р7Г(р“7п,р“7(п + 1))
-'|л-р7у1р>1
Это показывает, что в р-адическом (и шире, в ультраметрическом) случае класс псевдодифференциальных операторов значительно шире, чем в вещественном: естественно называть псевдодифференциальиыми операторы, диагональные в базисе р-адических всплесков.
Кроме того, в работах [51], [191] были изучены псевдодиффереициальные операторы с более общими ядрами Т(х,р), которые симметричны и положительны, и для фиксированных х и у выполнено:
Т{х,у) = Т(х,у + г), для |г|р < |х — у|р
Была изучена спектральная теория таких операторов (применением метода р-адических всплесков).
Изложению данных (также близких к ним) результатов о р-адических всплесках и р-адических ПДО посвящена глава 2 настоящей работы.
В главе 3 настоящей работы мы обобщаем результаты главы 2 па случай широкого семейства ультраметричсских пространств. Мы описываем семейство ультраметрических пространств регулярного типа. Такие пространства в некотором (описанном в главе 3) смысле являются двойственными направленным деревьям (где направление удовлетворяет некоторым свойствам). Направленное дерево есть дерево с направлением на множестве вершин, то есть таким частичным порядком, для которого для любых двух вершин /, J существует единственным образом определенная верхняя грань эир(/,«/), то есть такая минимальная вершина вир(/,«/), которая больше или равна I, J. Тогда для ультраметрического пространства регулярного типа X соответствующее ему дерево Т(Х) задаётся через взаимно однозначное соответствие между вершинами дерева и шарами в данном ультраметрическом пространстве. Вложение шаров определяет направление на дереве.
На пространства регулярного типа естественным образом обобщается теория обобщённых функций на поле р-адических чисел.
7
Пусть V есть положительная борелевская счётно аддитивная мера со счётным базисом. Мы вводим базисы ультраметричсских всплесков в пространствах Ь2(Х,і/) на ультраметрических пространствах регулярного типа. Рассмотрим конечномерное пространство Ур — пространство локально постоянных функция с нулевым средним с носителем в неминимальном шаре /, постоянных на максимальных подшарах в этом шаре. Ультраметрические всплески из пространства V)0 вводятся как ортонормированный базис в пространстве V}0. Была доказана теорема [52], [175], см. также [192]:
Теорема 1) Пусть мера н(Х) ультраметр и ческого пространства X регулярного типа бесконечна. Тогда набор функций {ф^}, где I пробегает множество всех неминимальных вершин в дереве Ту есть ортонормированный базис в
ІДХЛ
2) Пусть мера н[Х) ультрамстрического пространства X регулярного типа конечна и равна А. Тогда набор функций {фц,А~*}, где I пробегает множество всех неминимальных вершин в дереве Ту есть ортонормированный базис в Ь\Х,и).
Мы вводим семейство операторов на пространстве комнлекснозначных (квадратично интегрируемых) функций на X формулой
Т/[х) = Iт(зир(г,у))(/(ж) - 1(у))Му) (1.1)
где $ир(х, у) есть вершина в дереве Т, соответствующая минимальному шару, содержащему я, у, Т(1) есть некоторая функция на дереве, мера і/ описана выше.
Операторы такого вида мы в дальнейшем будем называть псевдодиффе-ренциальными операторами на ультраметрических пространствах регулярного типа.
Мы показываем, что при выполнении определённых условий сходимости операторы вида (1.1) диагональиы в базисах ультраметрических всплесков, то есть имеет место теорема [52], [175], см. также [192]:
Теорема Пусть X есть ультраметричсское пространство регулярного типа,
у есть положительная борелевская счетно аддитивная мера со счётным или конечным базисом, Т(1) есть комплекснозначная функция на дереве Т(Х). Пусть следующий ряд сходится абсолютно:
Ег(ЛИЛ-^-і.я»
Г>П
8
Тогда оператор
Tf(x) = / T(sup(i,y))(/(x) - f(y))du(y)
J Л
имеет плотную область определения в Ь2(Х, и) и диагонален в базисе ультра-метрических всплесков:
Тфіу(х) = \іфі](х) с собственными значениями вида:
А; = T(I)l/(I) + Y, T(JMJ) - u{J - 1,/))
J>I
Оператор T самосопряжен, если функция Т(1) вещсствеппозпачпа, и положителен, если эта функция неотрицательна.
Здесь (J — 1,1) есть максимальная вершина, меньшая J и большая I (то есть (J — 1,1) есть максимальный подшар в J, содержащий шар I).
Также оператор Т уничтожает константы.
Суммирование в формуле для среднего значения ведётся по возрастающему пути в дереве Т, начинающемуся с вершины I.
Таким образом, можно говорить о достаточно простой и удобной теории псевдодифференциальных операторов на ультраметрических пространствах достаточно общего вида.
Такая теория ультраметрических псевдодифференциальных операторов применяется в главе 3 для введения гауссовского случайного поля на ультраметри-ческом пространстве регулярного типа, как решения псевдодифференциалыюго стохастического уравнения
Тф(х) = ф(х) (1.2)
где ф(х) есть белый шум на ультраметрическом пространстве, Т есть ультра-метрический псевдодифференциальный оператор.
Для такого случайного поля вводится понятие ультраметрической марковости, как набора условий независимости для случайного поля на ультраметрическом пространстве. В то время как стандартное понятие марковости связано с линейным порядком на вещественных (либо целых) числах, понятие ультраметрической марковости связано с направлением на дереве Т[Х) шаров в ультраметрическом пространстве X. Мы показываем, что ультраметрическое случайное поле, определяемое стохастическим уравнением (1.2), является ультраметрически марковским.
9
Естественной областью применения для ультраметрических псевдодиффе-ренциальных операторов является теория неупорядоченных систем. В работах
[109), [220) было показано, что для блочной матрицы Паризи, применяемой для описания нарушения репличной симметрии в теории спиновых стекол, после соответствующей переиумсровки индексов матричный элемент будет зависеть только от р-адической нормы разности индексов (и следовательно, матрица Паризи диагоиализуетсяр-адическим преобразованием Фурье). В работах [109),
[110), [111] это наблюдение было применено для построения и анализа моделей релаксации в сложных системах.
В [109] была доказана теорема, см. главу 4:
Теорема Для матрицы Паризи, для которой размеры блоков равны степеням р, существует псрсиумсровка строк и столбцов (р-адическая параметризация, которая строится явным образом и зависит только от размеров блоков), после которой матричный элемент принимает вид
Qij = Q(\i - j\p)
где q(x) есть некоторая функция.
В главе 4 мы излагаем результаты о р-адической параметризации матрицы Паризи, а также вводим новый класс репличных блочных матриц, связанных с действием ультраметрических ПДО из главы 3 в конечномерных пространствах основных функций на ультраметрическом пространстве. Таким образом, в методе реплик оказывается важной теория основных и обобщенных функций на ультраметрических пространствах.
По сравнению с матрицами Паризи, вводимое семейство репличных матриц имеет существенно более общий вид
Qij = q(sup{i,j))i/w] (1-3)
где q(I) есть некоторая функция на направленном дереве, г, j пробегают некоторое множество вершин в дереве (множество минимальных вершин в поддереве регулярного типа), Vi, Vj есть некоторые положительные числа (меры соответствующих ультраметрических дисков).
Далее, в главе 4 мы развиваем технику вычислений, небходимую для манипуляций с введенными репличиыми матрицами, используем эту технику для проведения важных для метода реплик расчетов в нашем более общем реплич-иом анзаце, и вводим приспособленный для наших целей вариант анализа на
10
деревьях. Такой вариант анализа на деревьях содержит древесные производные и интегралы, а также древесный аналог правила Ньютона-Лейбница, который оказывается одним из наиболее существенных методов вычисления в вводимом обобщении нарушения репличной симметрии. Чтобы составить представление о введенном анализе на деревьях, можно упомянуть теорему об изоморфизме между пространством констант древесного дифференцирования, то есть решений уравнения
где Д есть древесная производная, и пространством обобщенных функций на абсолюте дерева.
В главе 5 мы продожаем разработку нового анзаца нарушения репличной симметрии. Эта глава посвящена исследованию двух вопросов.
Во первых, мы формулируем процедуру предела п —> 0, пригодную для произвольного ультрамстрического пространства из рассматриваемого нами семейства. Мы показываем, что дчя рассматриваемого семейства репличных матриц существует как минимум два подсемейства, для которых существует предел п -> 0. Одно из этих подсемейств является обобщением семейства, рассмотренного Паризи. Матрицы из этого семейства определяются по формуле (1.3), где
где и{1) есть мера диска в ультраметрическом пространстве, отвечающего вершине /, и F есть некоторая функция вещественного аргумента. Функционалы метода реплик в пределе п -> 0 для матрицы из такого подсемейства выражаются интегралами по отрезку [0,1] вида
где (Ь/(х) есть некоторая мера на отрезке [0,1].
Другое подсемейство является новым, и матрицы из него задаются (1.3) с </(/), удовлетворяющим уравнению
Функционалы метода реплик в пределе п -* 0 для матрицы из такого подсемейства выражаются пределами нормированных интегралов по ультраметр и чес кому пространству от некоторой обобщенной функции:
ДF(/) = 0, V/
,(/) - ж/))
— Пш д(К) = — Пт
К-юо р(К) ]к
1„Фч(х№(х)
^ к
11
где обобщенная функция фч задается функцией на дереве <?(/) по формуле
1ф„{р:)йц{х) = /х(/)?(/)
Здесь ц есть однородная мера на ультрамстрическлм пространстве X. Таким образом, репличный анализ для различных семейств репличиых матриц может принимать форму как вещественного, так и ультраметрического анализа.
Кроме этого, в главе 5 мы выводим уравнение нарушения репличной симметрии, получающееся варьированием свободной энергии по параметрам рассматриваемого рспличного анзаца (поскольку репличное решение должно минимизировать свободную энергию). Мы получаем некоторые репличные решения и обсуждаем возможность их обобщения. Основным техническим методом расчетов главы 5 является введенный в предыдущей главе анализ на деревьях.
Глава б настоящей работы посвящена связи некоммутативного и р-аднческого анализа. А именно, исследуется представление свободных (или квантовых больц-мановских) операторов рождения и уничтожения в квантовом больцмановском фоковском пространстве. Такие операторы удовлетворяют соотношениям
АА) =
и мы рассматриваем случай, когда г,; = 0,... ,р - 1.
Мы исследуем пространство X' свободных когерентных состояний Ф, являющихся обобщенными собственными векторами суммы операторов уничтожения:
V-1
АФ = АФ, А=]ГА<
*=о
Такие обобщенные собственные вектора имеют вид рядов в квантовом больцмановском фоковском пространстве
Ф = £А|,|Ф,/ф1
I
Здесь 0. есть вакуумный вектор в фоковском пространстве, мультииндекс есть 1 = 10..лк-иу 6 {0, — ,р — 1} и
А = 4-.—А
Суммирование пробегает по всем последовательностям / конечной длины (обозначаемой |/|). Коэффициенты Ф/ суть комплексные числа, удовлетворяющие
р-\
ф/ = £ Ф/,-.
1=0
12
В пространстве X' мы рассматриваем линейное подпространство X, порождённое векторами Xj вида
°о (л р-1 \* оо (р-1 \7
*/ = E-W;E4 а'^п+Еа-' Е^ а',|л‘°
*=0 \р 1=0 / /=1 \i=0 /
Определим перенормированное спаривание пространств X и Хг следующим образом:
Здесь Ф € Х\ Ф € X.
Мы показываем, что пространство свободных когерентных состояний сильно вырождено (даже при фиксированном Л), и естественным образом изоморфно пространству обобщенных функций на р-адическом диске. При этом изоморфизме спаривание между основными и обобщенными функциями возникает как регуляризация скалярного произведения в квантовом больцмановском фоков-ском пространстве, суженного на свободные когерентные состояния.
Следующая теорема была опубликована в [49] (также в несколько более узкой формулировке — в [47], [188]).
Теорема Отображение ф, определенное как
ф: X, ^ -1)-,
расширяется до изоморфизма ф оснащенных гильбертовых пространств:
X -Е Т Е X'
1Ф 1Ф 1Ф'
D(ZP) Е L2(Z„) Е D\ZV)
между оснащенным гильбертовым пространством свободных когерентных состояний (с перенормированным спариванием) и оснащенным гильбертовым пространством обобщенных функций на р~адическом диске.
Здесь 0|/|(х — I) есть характеристическая функция р-адичсского шара диаметра р"!7! с центром в точке / = соответствующей мультииндексу
Т есть пополнение X по норме перенормированного спаривания, г, j, г', f — соответствующие естественные вложения.
В главе 7 настоящей работы мы показываем, что модели межбассейновой кинетики, применявшиеся для приближённого описания динамики сложных
13
макромолекул, эквивалентны моделям ультраметрической диффузии. Мы доказываем следующую теорему.
Теорема Если система уравнений
Jtf(x, t) = -J2 [Т(х, y)f(x, t) - Т(у,x)f(y, г)] v{y)
описывает мсжбасссйновую кинетику (то есть функция Т(х, у) > 0 удовлеторя-ет условиям
Т(х, у) = T(x,z), d(y,z) < d(x,y), Т(х,у) = T(z,y), d(x,z) < d(x,y),
эта система эквивалентна уравнению ультраметрической диффузии, порождаемой ультраметрическим ПДО:
Jtf(x, 0 = - fx(T(x’ y)f(x’ О - ТІУ< х)/(2/.t))du(y)
Здесь d(x, у) есть естественным образом строящаяся ультраметрика па X = Х(Т), где Т есть направленное дерево бассейнов. Мера v выбирается таким образом, что мера минимального шара у из X = Х(Т) равна v(y) > 0.
Далее, формализуя процедуру введения иерархии бассейнов межбассейно-вой кинетики на языке направленных деревьев и оценивая вероятности переходов между группами состояний для случайного блуждания на деревьях, мы вводим псевдодифференциальное уравнение межбассейновой кинетики
/7 г />-W8up(x>v)) г і
dtf{x'1)+/ 7ы(Х;У)) ИФМ/(х) - е'ФЫ/(г/)]Му)=0
соответствующее иерархии бассейнов общего вида. Такое уравнение обобщает р-адические псевдодифференциальные уравнения, использовавшиеся для описания межбассейновой кинетики в [109], [110], [111], [2].
В простейшем случае модель межбассейновой кинетики принимает вид р-адичсского уравнения теплопроводности
0/ОМ) . г»а г/_ а\ п ’ dt +Dxf(x,t) = 0,
где время вещественное, a координата х, описывающая пространство состояний макромолекулы — р-адическая, D® есть оператор Владимирова по х.
В заключение отметим основные результаты диссертации:
14
- Київ+380960830922