Аддитивные задачи в теории чисел

Содержание
1 Введение. 3
1.1 Обозначения:.............................................................. 3
1.2 Некоторые результаты аддитивной теории чисел............................... 5
1.2.1 Проблема Варинга................................................... 5
1.2.2 Обобщения проблемы Варинга........................................ 6
1.2.3 Проблемы Гольдбаха.................................................. 7
1.2.4 Проблема Гольдбаха - Варинга........................................ 9
1.2.5 Представление чисел в виде суммы квадратов простых чисел. ... 10
1.2.6 Некоторые обобщения проблемы Гольдбаха - Варинга....................11
1.2.7 Редкие множества из простых чисел.................................. 11
1.2.8 Аддитивные задачи с простыми числами из редких множеств. . . 12
1.3 Результаты автора по теме диссертации..................................... 12
1.3.1 Диофантово неравенство с простыми числами, близкими к квадратам...................................................................... 12
1.3.2 Диофантово неравенство типа Гольдбаха - Варинга с нецелой степенью, близкой к единице............................................... 13
1.3.3 Диофантово неравенство типа Гольдбаха - Варинга с различными
нецелыми степенями. .............................................. 13
1.3.4 Уравнение типа Гольдбаха - Варинга с нецелой степенью, близкой
к единице.......................................................... 14
1.3.5 Система из двух диофантовых неравенств с простыми числами. . . 14
1.3.6 Система диофантовых уравнений с простыми числами из редкого
множества........................................................ 14
1.3.7 Распределение простых чисел из редкого множества в арифметических прогрессиях....................................................... 15
1.3.8 Тернарная задача с простыми числами, одно из которых принадлежит арифметической прогрессии.......................................... 16
1.3.9 Тернарная задача с простыми числами, два из которых принадлежат арифметическим прогрессиям........................................... 16
1.3.10 Тернарная задача с простыми числами р, такими что числа р+ 2
почти простые...................................................... 17
1.3.11 Представление чисел в виде суммы двух простых р, таких что
р+ 2 почти простые................................................. 19
1.3.12 Уравнение Лагранжа с почти простыми неизвестными....................20
1.4 Основные результаты диссертации........................................... 21
1.4.1 Теорема Лагранжа с одним простым и тремя почти простыми неизвестными............................................................... 21
1.4.2 Представление чисел в виде суммы квадратов простых чисел р,
таких что р + 2 почти простые.......................................25
2 Известные результаты и некоторые следствия из них. 29
2.1 Элементарные леммы........................................................ 29
2.2 Результаты о распределении простых чисел...................................34
2.3 Свойства сумм Гаусса, Клостермана и Рамануджана............................35
1
2.4 Некоторые результаты математического анализа...............................37
2.5 Леммы из теории решета.....................................................38
2.6 Леммы нужны для оценки григометрических сумм по простым числам. . 41
3 Доказательство Теоремы 1. 43
3.1 Корректность определений некоторых величин.................................43
3.2 Начало доказательства Положения 1..........................................47
3.3 Оценка для суммы £2........................................................49
3.3.1 Подготовка..........................................................49
3.3.2 Асимптотическая формула для £!....................................,Г)0
м\
3.3.3 Асимптотическая формула для £\......................................55
3.3.4 Асимптотическая формула для £^......................................57
3.3.5 Опенка для £ч.......................................................58
3.4 Оценка для суммы €\........................................................58
3.4.1 Подготовка..........................................................58
3.4/2 Асимптотическая формула для ........................................60
3.4.3 Асимптотическая формула для ........................................65
3.4.4 Асимптотическая формула для ........................................67
3.4.5 Оценки для V* и С'..................................................70
3.4.6 Оценка для Е*.......................................................85
3.4.7 Оценка для £\.......................................................97
3.5 Конец доказательства Предложения 1.......................................97
3.6 Доказательство Предложения 2...............................................98
3.6.1 Начало доказательства...............................................98
3.6.2 Оценка для суммы С(х)..............................................100
3.6.3 Колец доказательства Предложения 2.................................103
3.7 Доказательство Теоремы 1..................................................104
4 Доказательство Теоремы 2. 117
4.1 Доказательство Предложения 3..............................................117
4.1.1 Начало доказательства..............................................117
4.1.2 Малые дуги.........................................................118
4.1.3 Большие дуги.......................................................134
4/2 Доказательство Теоремы 2..................................................146
4.3 Доказательство Следствия..................................................158
2
1 Введение.
1.1 Обозначения:
Через ГЧ, £, К и С обозначим, соответственно, множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел. Буквой р (с или без индексов) обозначим простые числа. Через Рг обозначим любое натуральное число, имеющее не более г простых сомножителей в каноничном разложении (каждый простой сомножитель считается с кратностью). Эти числа называются почти простыми порядка г.
Формулы U = 0(V) и U < V обозначают, что \U\ < cV для некоторой постоянной с > 0. Если постоянные в выражении 0(V) и в формуле U < V зависят, например, от а и /5, то чтобы подчеркнуть эту зависимость, запишем Oa^(V) и соответственно
U <W V.
Если одновременно U < V и V < U, запишем U х V. Если постоянные в последней формуле зависят, например, от а, то будем писать U ха V.
Знак □ обозначает конец доказательства или его отсутствие.
Суммы но х, пробегающие полную, соответственно приведенную систему вычетов по модулю g, будем обозначать через £*($) и» соответственно £*(9)*- Суммы по натуральным числам х, не превосходящим величину Z, будем обозначать через <z. Соответственно, J2p<z означает, что переменная пробегает множества простых чисел, не превосходящих Z. Если к Є £ , то означает, что суммирование ведется по всем натуральным числам 6 , делящих к.
В диссертации часто встречаются суммы, где переменные пробегают сложные множества. Для этого введены некоторые сокращения. Суммы £(П)» £(Я)і XT* 12' и определены, соответственно, на страницах *23, 40, 117, 140, и 147.
Далее, £**.(100), например, означает, что переменные х,у пробегают множество, заданное формулой (100). Отметим, что аналогичный смысл имеет обозначение піаХзд:(іоо). Точный смысл формул такого типа становится ясным из контекста.
Обозначим pl II п если jJ \ п и jr+11 п. Через (mi,...,m*) и мы обозна-
чаем, соответственно, наибольший общий делитель и наименьшее общее красное чисел п?ь ... ,771*. Однако, если y,z € R, то через (y,z) обозначаем открытый интервал с концами у и 2. Точный смысл выясняется всегда из контекста.
Жирными буквами будем обозначать трехмерные векторы. Например, d = (di,d2> d-з) обозначает вектор с компонентами di,d2,d^. Как обычно, 0 = (0,0,0).
Для простоты вмес то т = п (mod к) часто будем использовать обозначение т = п (к). Иногда модуль сравнения к равен наибольшему общему делителю (а,Ь). Тогда будем писать т = п ((а, &)).
Если t Є К, то через [<] будем обозначать целую часть числа {<} = *- (г], ||*|| = minn€z |/ - л|, e{t) - exp(2îr*'t), eq(t) = e(t/q).
Если (a,<?) = 1, то обозначим через (а)9 вычет 6 по модулю q, удовлетворяющий ab = 1 (q). Если значение модуля ясно из контекста, то для простоты будем писать 5. Например, е7(г) всегда означает е7((а)?). Для любого а е Ъ будем считать, что ег{Щ = 1.
Будем пользоваться обычными обозначениями для основных функций в теории чисел:
3
p(n) - функция Мёбиуса: fi(n) =
(-1)г еСЛИ П — P1P2 • • -Pri где Pi < p2 < ••• < Pr,
0 если n = p2m,
1 если n = 1;
<р(п) - функция Эйлера - количество натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с п;
Л(п) - функция Мангольда:
fbgp «„и „ = р\ ^0 если п Ф pfc;
и(п) - количество различных простых делителей числа п\
Tk(n) - число решений уравнения т,\.. .т^ = л, где mi,.. .,m* € N; г(л) = г2(д);
г(п) - число решений уравнения х2 + у2 = п, где х,у € Z;
$(x,q,m)= ^Г, ^(а?) = ^(ar, 1,0);
р<х,р=т (д)
тг (ar,9,m)= ]Г 1 > тг(т) = тг(х, 1,0).
р<х, р=т (д)
Пусть х £ Z и р > 2 - простое число. Символ Лежандра определяется следующим образом:
если х хвадратичый вычет но модулю р,
-1 если х квадратичый невычет по модулю р,
0 если р | х.
(Р-
Пусть € К, > 1 - нечетно и имеет каноническое представление у = р"1 .. .р“1 и пусть х 6 Ъ. Символ Якоби определяется следующим способом:
©-©-•■■(гг
Удобно считать, что ^ = 1 при д = 1 и х ^ 0.
4
Суммы Гаусса 7(9), S(q,m,n), S(q,m) и Клостермана K(q,m.n) и Раману-
джана с?(»), где q € N и яг, п € Z, определяются следующим образом:
(1) 1(9)=13 (§) ( для нечетных 9 ) ,
*(9) 4
(2) S(q,m,n) = ^е,(тж2+ ns), S(q,m) = S(g,m,0),
х(ч)
(3) T(q,m)=Y, eq(mx2),
*(9)*
(4) K(q,m,n) = eq(mx -I- rix), cg(m) = tf(g,m,0).
*(?)•
1.2 Некоторые результаты аддитивной теории чисел.
1.2.1 Проблема Варинга.
Согласно известной теореме Лагранжа, для каждого Лг € N уравпенис
(5) х\ + х\ + х$ + х\ = N
разрешимо в целых числах Х\уХ2Ух^х^ Доказательство этой теоремы было опубликовано в 1770 г., хотя она была известна в древности. В настоящее время известны многие доказательства этой теоремы. Точная формула для числа решений (5) найдена Якоби. Вид этой формулы и ее доказательство можно найти, например, в [54], гл.8.
В 1770 г. Варннг высказал гипотезу о том, что для каждого натурального числа п € N, п > 2 можно найти к = к(п) € N, такое что для каждого N € N уравнение
(в) *“ + *; + •••+*; = n
разрешимо в нсотрнцатсльиых целых числах x\t..., х*. Эта задача получила имя „проб-
лемы Варинга“. Она была решена в некоторых частных случаях в 19-ом веке. Полное решение было найдено в 1909 г. Гилбертом [51]. Доказательство Гильбета очень сложно. Более того, в доказательстве Гильберта величина к растет очень быстро с ростом п.
В 20-ых годах 20-ого века Харди и Литлвуд [42], [43] разработали так называемый „круговой метод“ и при помощи этого метода нашли простое и естсственое доказательство гипотезы Варинга. Обозначим через G(n) наименьшее к, для которого уравнение
(6) разрешимо в числах Xi,..., х* € N для достаточно больших N € N. Харди и Литлвуд доказали, что G(n) < п2п.
В 30-ых годах 20-ого века И.М. Виноградов (см. [4] - [6]) разработал метод тригонометрических сумм и таким образом значительно усовершенствовал круговой метод. Коротко объясним основную идею. В обозначениях И.М. Виноградова, число решений уравнения (6) в натуральных числах равно интегралу
/м№= (' V(a)ke(-Na)da,
Jo
5
где
(7) Vn(a) = Y, е(«*Я)-
х<ДГ1/п
Отрезок гатегрпрования разбивается на две части: множество точек, находящихся близко к рациональным числам с малыми знаменателями (большие дуги); множество остальных точек (малые дуги).
Вклад множества больших дуг дает главный член в асимптотической формуле для
4,«W-
На множестве малых дуг можно найти нетривиальную оценку для тригонометрической суммы V{a) и если использовать, также, существование хороших оценок для средних величин /у1 |Г(а)|2<<2а, где / € N, то можно доказать, что вклад малых дуг мал по сравнению с главным членом. Здесь мы не будем впускаться в подробности. Для сравнения отметим, что пользуясь своим методом, И.М. Виноградов установил, что
(8) G(ii) < wlogn.
Эта оценка для (?(«) несравнимо сильнее оценки Харди и Литлвуда. Поскольку имеет место элементарная оценка G(n) > п (см. например [12], гл.И) видно, что оценка И.М. Виноградова для величины G{n) близка к окончательной. Многие математики занимались уточнением постоянной в оценке (8). Информацию можно найти в монографиях [2], [4], [5], [71].
1.2.2 Обобщения проблемы Варинга.
Одно из возможных обобщений аддитивной задачи (5) - это задача о представимости большого числа квадратичной формы с целыми переменными. Следует отметить, что при помощи кругового метода в классическом виде, эту задачу можно решить только для форм не менее чем с 5 неизвестными. Важный вклад в эту теорию сделал Клостерман. В работе [60] он нашел асимптотическую формулу для числа решений уравнения
(9) (цх? + ayx\ + Яз*з + a4xl — ^ •
в числах 6 N, где я, 6 N параметры. Число решений уравнения (9) можно представить в виде Jy1 V'(aai)... V(aa^)e(-aN) da , где сумма V<i(а) определена через (7). Идея Клостермана состоит в том, что единичный промежуток разбивается на части посредством дробей Фарея (см. Лемму 14) и все эти части являются большими дугами (в нашей терминологии). Конечно, надо переодолеть большие трудности, самой серьезной из которых является оценка тригонометрических сумм специального вида (впоследствии названы суммами Клостермана). Детальное изучение задачи о представимости чисел квадратичными формами можно найти в работе Малышева [15].
Гильберт предложил исследовать систему
xi + х2 + f ** — N\
А + х2 + • * • + хк = *v2
(10) ..................................................
*1 + *} + --+*2 *ivn
6
для разрешимостти в числах х\,...,Тк € N. Здесь ІУ1,...,ЛГП € N достаточно большие числа, удовлетворявющиє некоторым естественным условиям. Эта задача была впервые рассмотрена Камке [59], и поэтому названа „проблемой Гильбертом-Камке“. Больше информации об этой задаче можно лайти в монографии [2].
Известны обобщения проблемы Варинга для нецелых степеней с > 1. Например, Сегал [21] исследовал для разрешимости в числах € N неравенство
Сегал доказал, что можно выбрать к = к(с) € N таким образом, что для любого, сколь угодно малого е > 0, неравенство (11) разрешимо для достаточно больших N € К. Дэзуйе [36] и также Архипов и Житков [1] исследовали уравнение
являющееся аналогом (6) для нецелых степеней. Было установлено, что при подходящем выборе к = к(с) € N уравнение (12) разрешимо в натуральных числах х\,. ...х/с для всех достаточно больших N € N.
1.2.3 Проблемы Гольдбаха.
В 1742 г. в иисмо к Эйлеру, Гольдбах высказал гипотезу, что каждое четное число N > 2 можно представить в виде
где р1,1>2 - простые числа (бинарная проблема Гольдбаха).
Голдьбах предположил также, что каждое нечетное число N > 5 можно представить в виде
где РьР2,Рз - простые числа (тернарная проблема Гольдбаха).
Другая классическая проблема теории чисел - это гипотеза близнецов, согласно которой существует бесконечно много простых чисел р, таких что р + 2 тоже является простым числом.
Тернарная проблема Гольдбаха для достаточно больших нечетных N была решена И.М. Виноградовым [3] в 1937 г. Обозначим через J(N) число решений уравнения (14) в простых числах. Пользуясь своим методом для оценки тригонометрических сумм по простым числам, И.М. Виноградов доказал, что имеет место асимптотическая формула
(И)
(12)
і*а+••■+[*£] = аг,
(13)
Рі + Р2 = Я,
(14)
Р\ + Р2 + Рз = N.
(15)
где
7
Легко проверить, что
(16) <т(Л0 х 1 если N = 1 (шо(32).
Из (15) и (16) следует, что J^N) > 0 для достаточно больших нечетных N.
Бинарная проблема Гольдбаха и гипотеза близнецов пока нерошоны. Первой прорыв в их изучении был сделан Вруном [29] в 1919 г. Используя свой „метод решета“, Брун доказал, что каждое достаточно большое четное N можно представить в виде
Р9 + Р9' = N.
Бруи также доказал, что существует бесконечно много пар из почти простых чисел Р9, Р</, таких что
Р9 + 2 = Р9'.
После публикации результатов Бруна многие математики работали над усовершенствованием метода решета и его применения в теории чисел. Подробную информацию об этом можно найти в монографии [40].
Один из самых ин тересных результатов в теории решета был получен Ченом [34]. Б 1973 г. он доказал, что каждое достаточно большое четное N можно представить в віще
р + Р2 = *,
где р - простое ЧИСЛО И ?2 — число имеющее не более двух простых множителей. Чен доказал также, что существует бесконечно много простых чнелел р, таких что
(17) Р + 2 = Р2.
Есть и другой подход, связанный с исследованием бинарной проблемы Гольдбаха. Обозначим через Е(ж) число четных чисел п, не превосходящих х и таких, что уравнение
(18) рі+р2 = п
не имеет решения в простых числах. В 1938 г. Чудаков (23], пользуясь методом И.М. Виноградова, установил, что
(19) ВД«„х(1о8;СГ4
для сколь угодно большой постоянной Л > 0. Важный результат получили Монтгомери и Пон [65]. В 1975 г. они установили, что имеет место оценка
Е(х) < х'~е,
для некоторой эффективно вычислимой постоянной 6 > 0.
Следует отметить, что эти оценки интересны не только сами по себе, но имеют также важные применения. Рассмотрим, например, уравнения (14) для достаточно больших нечетных Лг. Рассмотрим множество
Л = { Аг-р : 2 < р < N } .
8
и обозначим его мощность через \А\. Из теоремы Чебышева для функции к(х) следует, что \А\ > iV(logiV)“1. С другой стороны, пользуясь оценкой (19) получаем, что существуют не болсс чем 0(N(log Л')”'2) четных чисел п < N, непредставимых в виде
(18). Следовательно, существует простое число р, такое что N — р можно представить в виде суммы двух простых. Таким образом, разрешимость (14) является следствием
(19). Этот' принцип часто используется в аддитивной теории чисел. Мы тоже будем пользоваться им в настоящей диссертации.
В качестве следствия оценки (19) можно получить также, что существует бесконечно много троек различных простых чисел />і,Р2,РЗі таких что
(20) р, + р2 = 2рз
Имеет место гипотеза, утверждающая, что для любого г є N существует бесконечно много арифметических прогрессий, состоящих из г различных простых чисел. Для г > 3, однако, эта гипотеза пока недоказана.
1.2.4 Проблема Гольдбаха - Варипга.
После решения И.М. Виноградовым тернарной проблемы Гольдбаха, были решены многие аддитивные задачи с простыми числами. В частности, было рассмотрено уравнение
(21) РЇ+Р"2+-- + РЇ = Я
и также система
Pi + Р2 + • * • + Рк = Мг
Pi + р2 н----+ Рк - Mi
(22) ..................................................
Pf+rf + -+rt = *..
Подробную информацию можно найти, например, в [5] и [53].
Для примера, представим одну из теорем Хуа-ло-Кена ([53], гл.10). Обозначим через J(M\,.. .Nn) число решений системы (22) в простых числах и пусть Р = (iVn)J/n. Тогда для каждого п € N, п > 2 можно определить к0(п) € N таким образом, что если к > А'о(п), то верна асимптотическая формула
/ /log log Р \ \
где 7 = 7(JVi,...,iVn) - особый интеграл я а - <r(JVi,...,iVn) - особый ряд. Точные значения величин &о(п), 7, а даны в [53], гл.10. В [53], гл.11 показано, что если N\>..., Nn удовлетворяют двум типам условям (условие положительной разрешимости и условие арифметической разрешимости), то 7 > 70 н а > <т0 лля некоторых положительных величин 7о, (То (зависящих только от к и л). В этом случае, если Р достаточно велико, то система (22) разрешима в простых числах.
О уточнением этой теоремы занимались многие математики (см., например, работу Чубарикова [22]).
9
1.2.5 Представление чисел в виде суммы квадратов простых чисел.
Рассмотрим более подробно задачу о представлении большого числа в виде суммы квадратов простых чисел. В статье [52] Хуа-ло-Кен рассмотрел уравнение
(23) Р? + Р2 + Рз = п.
и доказал его разрешимость в простых числах для почти всех п € N, удовлетворяющих п = 3 (mod 24) и п ф 0 (mod 5). Обозначим через Ei(x) количество натуральных чисел п < ху удовлетворяющих этим сравнениям и непредставимых в виде (23).
Хуа-ло-Кен [52) доказал существование постоянной А > 1, такой, что
(24) Ei(x) < х(\о%х)~л.
В 1961 г. Шварц [68] доказал эту оценку с произвольно большим Л > 0, а в 1993 г. М.Люнг и М.Лиу [64] показали, что Е\{х) «С х1~6 для некоторой эффективно вычислимой постоянной Ь > 0.
Как следствие оценки (24), Хуа- ло-Кен доказал, что если Лг € N достаточно большое и N = о (mod 24), то уравнение
(25) v\ + pi + РІ + р\ + РІ = Ar
разрешимо в простых числах. Для этого он оценил снизу число различных элементов множества { N — р\ - р* : 2 < р4, р5 < 0,5\//V } и вое пользовался оценкой (24).
Отметим, что используя метод И.М. Виноградова, можно получить асимптотическую формулу для числа решений уравнения (25).
Для того, чтобы доказать разрешимость некоторой аддитивной задачи в простых числах, как правило, нужно больше слагаемых, чем для этой же задачи с натуральными неизвестными. Как было отмечено выше, задачу о представимости натуральных чисел в виде суммы квадратов простых чисел, можно решить методом И.М. Виноградова, если число простых неизвестных равно пяти. С другой стороны, теорема Лагранжа утверждает, что для любого натурального N уравнение (5) разрешимо в целых числах. Используя формально метод И.М. Виноградова, можно высказать гипотезу о том, что если N € N достаточно большое и N s 4 (mod 24), то (5) разрешимо в простых числах. Однако, доказать эту гипотезу, повнднмому, будет даже труднее, чем бинарную гипотезу Гольдбаха.
Тем не менее, получены некоторые частичные результаты, подтверждающие гипотезу о которой шла речь. Грийвс [39] доказал разрешимость (о) с двумя простыми и двумя натуральными неизвестными при условии, что N достаточно большое и удовлетворяет естественному арифметическому условию. В работе Грийвса получена оценка снизу правильного порядка для числа решений этого уравнения. Позже Плаксин [17] и Шийлдс [69], независимо друг от друга, нашли асимптотическую формулу для числа решений уравнения (5) с двумя простыми и двумя натуральными неизвестными.
Интересный результат получили в 1994 Брудерн и Фу ври [30]. Они доказали, что если N Є N, достаточно большое и N = 4 (mod 24) то уравнение (5) разрешимо в почти простых числах порядка 34.
Недавно Хпйт Браун и автор в работе [88] улучшили результат Брудерна и Фуври и рассмотрели (5) также с одним простым и тремя почти простыми неизвестными.
10
1.2.6 Некоторые обобщения проблемы Гольдбаха - Варинга.
Известны некоторые аналоги уравнения (14). Рассмотрим неравенство
(26) КР1 + а2Р2 + «зРз + 7| <£,
где 7,0|,0!2»о;з € М - фиксированны, <*1,02,03 не равные нулю, не все одного знака, и кроме того, 01/02 иррационально. При этих условиях можно доказать, что для любою £ > 0 неравенство (26) имеет решение в простых числах. Например, в статье [24] Бейкера и Хармана, разрешимость установлена даже для е, зависящего от тахр, и стремящегося к нулю с ростом шах р1.
Известны также аналоги уравнения (21) для нецелых степеней. В 1952 г. Нятец-кий-Шапиро [19] рассмотрел неравенство
(27) |Й + - + Й-*|<«,
где с > 1 - нецелое число. Он доказал, что можно выбрать подходящее к = к(с) € N. такое что для любого, сколь угодно малого е > 0 неравенство (27) разрешимо в простых числах, если Л' € К - достаточно велико. Пя гецкий Шапиро доказал, что если 1 < с < 3/2, то можно взять к = 5. Естествено ожидать, что для с близких к 1, неравенство
(27) разрешимо даже при к = 3. Этой задачей занимался автор, а его результат был впоследствии улучшен другими математиками.
1.2.7 Редкие множества из простых чисел.
Множество 5 из простых чисел называется редким, если
Вт Г —-Ц У] Л = О,
х—со чх(аг) )
у ' р<х р€5
Рассмотрим, например, множество
(28) 6’А = {р : {у/р}<Р~Х },
где Л € (0,1). Отметим, что с возрастанием Л ограничение на р становится более жестким и, соответственно, доказательство бесконечности 5а становится труднее.
И.М. Виноградов, пользуясь своим методом для оценки тригонометрических сумм по простым числам (см. [6], гл.4), доказал, что если 0 < А < 1/10 то
<29) +
р<х ' /о
р£Б
Ю. В. Лпнник [14] использовал для решения этой .задачи другой подход, основанный на плотностных теоремах в теории дзета-функции Римана. Над этой проблемой работали также Кауфман [13], Гриценко [9], Балог [25], Харман [47]. В последних двух работах формула (29) доказана при 0 < А < 1/4.
11
Другим известным примером редкого множества простых чисел является
(30) Мс = { р : р = (л°) для некоторого п £ N } ,
где с > 1 нецелое число. В 1953 Пятецкий-Шаппро [20) доказал, что Мс бесконечно, если 1 < с < 12/11. Улучшением верхней границы для постоянной с занимались многие математики. Самый лучший результат в этом направлении принадлежит Кумчеву [61], который доказал безконечность Мс для 1 < с < 45/38.
Редким множеством специального типа занимался также автор в своей кандидатской диссертации [74] и в работе [77].
1.2.8 Аддитивные задачи с простыми числами из редких множеств.
Изучение аддитивных задач с простыми числами из редких множеств является интересной и трудной задачей. Вирзннг [73] доказал существование редкого множества из простых чисел 5, такого, что если N Є N достаточно большое и нечетное, то уравнение (14) разрешимо в простых числах из 5. Вярзинг предложил задачу нахождения „естественных“ примеров редких множеств с этим свойством. Балог и Фрпдлендер [26] доказали, что таким свойством обладает множество Мс , если 1 < с < 21/20.
Интересный результат для более общего уравнения (21) с простыми числами специального вида получил Гриценко [10]. Некоторые результаты такого типа получил также автор.
Рассмотрим множество простых чисел, удовлетворяющих (17). Как мы уже отметили, теорема Чена утверждает, что это множество бесконечно. С другой стороны, при помощи более простых теорем из теории решета можно установить, что это множество является редким (доказательство можно найти в [40]).
Было бы интересно доказать разрешимость уравнения тина (21) или системы вида
(22) в простых числах, удовлетворяющих (17), или, хотя бы, более слабым ограничениям вида р 4- 2 = Рг, где т > 2 фиксированное натуральное число. Задачами такого типа занимался автор. Более подробную информацию можно найти в § 1.3.
1.3 Результаты автора по теме диссертации.
Некоторые аддитивные задачи с простыми числами были рассмотрены автором в его кандидатской диссертации [74], другие же были исследованы позже. Остановимся коротко на этих результатах (некоторые из них были впоследствии улучшены другими математиками). Мы не будем останавливаться в данной работе на их доказательствах.
Б § 1.4 сформулируем две теоремы, которые будут полностью доказаны в диссертации. Их доказательства являются наиболее сложными в идейном и техническом плане и отражают методы, используемые для доказательства других теорем.
1.3.1 Диофантово неравенство с простыми числами, близкими к квадратам.
В четверой главе кандидатской диссертации [74], а также в статье [75] исследовано диофантово неравепство (26) для разрешимости в простых числах Рі,/>2»Рз близких к квадратам или, что одно и тоже, таких, что величины ||-у/рї|| малы. Как следствие этого установлено, что если 7, , о2,03 € К, где 01,02? <*з не равны нулю и не все одного знака
12
и если ai/a2 иррационално, то для любого £ > 0 и для любого в 6 (12/13,1) неравенство
(26) имеет решение в простых числах, принадлежащих объединению интервалов вида (к2 - к*, к2 + к9), где Аг € N.
1.3.2 Диофантово неравенство типа Гольдбаха — Варинга с нецелой степенью, близкой к единице.
Во второй главе кандидатской диссертации [74] доказана разрешимость в простых числах Рьр2>Рз неравенства
(31) М + й + гё-*1<*М,
если с € (1,27/26) - фиксированное число, N € К - достаточно большое, a e(N) > 0 -подходящая функция, стремящаяся к нулю при N -* ос .
Верхняя граница для с была улучшена автором в [78]. В этой работой доказана разрешимость (31) в простых числах, при условие, что
1 < с < 15/14 , e(N) = (logiV)9
и если N достаточно велико.
Улучшением верхней границы для с занимались Кай [32], [33], Кумчев и Нелева [63] и Кумчев [62]. В последней статье доказано, что если с 6 (1,61/55), то неравенство (31) разрешимо в простых числах для достаточно больших N и для подходящего e(N), стремящегося к нулю с ростом N.
1.3.3 Диофантово неравенство типа Гольдбаха - Варинга с различными нецелыми степенями.
В статье [79] автор занимался неравенством
(32) \p\'+p^+pf-N\<e(N),
где С1,с2,сз > 1 постоянные, такие что, по крайной мере, одна из них не является целым числом, N € R - большое и s(N) > 0 - подходящая функция, стремящаяся к нулю с ростом N. Неравенство (32) является обобщением (31). Можно ожидать разрешимость (32) в простых числах, если С|,с2,сз близки к единице. Оказывается, что одна из постоянных, например cj, может быть сколь угодно большой (но тогда с2 и сз должны быть очень близкими к 1). Точнее в работе [79] доказано, что если с\ > 100 -нецелое ЧИСЛО, если С2,Сз > 1 п
<=lcfcf + 2^ + i>1’
то неравенство (32) с e(N) = /V1-5 log7 N разрешимо в простых числах для достаточно больших N.
13