Ви є тут

Локальные тела

Автор: 
Жеглов Александр Борисович
Тип роботи: 
Кандидатская
Рік: 
2001
Артикул:
322900
179 грн
Додати в кошик

Вміст

Содержание
Введение. 3
1 Строение двумерных локальных тел. 8
1.1 Введение............................................................ 8
1.2 Расшепимые тела.................................................... 15
1.3 Классификация расщепимых тел характеристики 0...................25
1.4 Расщепимыс тела характеристики р > 0............................... 37
1.5 Классы сопряженных элементов....................................... 56
2 Классификация автоморфизмов двумерного локального поля. 65
2.1 Основные результаты............................................... 65
2.2 Доказательство теорем 1 и 2....................................... 76
2.3 Доказательство теоремы 3.......................................... 84
2
Введение
Настоящая работа посвящена изучению локальных тел — объектов, являющихся непосредственным обобщением многомерных локальных нолей, а также их применениям в теории тел над гензелевыми полями.
Локальные; поля естететвенно возникают в алгебрам ческой геометрии и алгебраической теории чисел при установлении различных связей между локальными и глобальными свойствами полей алгебраических чисел, арифметических схем и алгебраических многообразий.
Первоначально примеры одномерных локальных полей возникли в прошлом веке в комплексном анализе и алгебраической теории чисел. Это поле рядов Лорана С((.г)), элементы которого возникают при разложении мероморфных функций на Ри-мановой поверхности в ряд по локальному параметру г в аналитической окрестности точки, и поле р-аднческих чисел С^Р, возникающее как естественное пополнение поля рациональных чисел по неархимедову р-адичсскому нормированию.
Сейчас мы говорим, что 1 -мерное локальное поле — это поле частных полного кольца дискретного нормирования.
Несколько позже, уже в тридцатых годах нашего века, появились уже и первые примеры локальных тел. Это были конечномерные тела над классическими локальными полями, которые были полностью исследованы Хассе, Брауэром, Нетер и Албертом. К этому же периоду относятся работы Витта ([36]) о телах над полными дискретно нормированными полями, положившие начало исследованиям по телам над гензелевыми полями, основные результаты о структуре которых были получены сравнительно недавно Джекобом-Уодствортом ([18]). Витту же принадлежит идея естественного сопоставления телам алгеброгеомстричсских объектов.
В середине 70-х А. Н. Паршиным было предложено понятие многомерного локального поля, обобщающее понятие обычного локального поля ([’7] ,[27], [16]).
п-мерным локальным полем называется полное поле дискретного нормирования, нолем вычетов которого является п — 1-мерное локальное поле.
Один из типичных примеров такого поля — это поле итерированных рядов Лорана А;((21))((^2)) • • • ((^п))- Элементы гп называются локальными параметрами
этого поля.
Такие поля служат естественным обобщением локальных объектов на 1-мерных схемах па случай многомерных схем. В качестве примера приведем здесь типичную конструкцию такого обобщения.
Рассмотрим алгебраическую схему X размерности п. Пусть Уо Э . •. Э Уп — флаг замкнутых подсхем на X, так что Уо = X, Уп = к — замкнутая точка на ж, У* — коразмерности 1 в Уі-і (1 <*<»),* — гладкая точка на всех Уі (0 < і < п). Тогда существует конструкция, являющаяся композицией пополнений и локализаций, сопоставляющая такому флагу каноническим способом п-мерное локальное поле. Более того, если X — алгебраическое многообразие над нолем к, х — рациональная точ-
3
ка над полем к, и мы зафиксируем локальные параметры г2,..., гп € к(Х), так что =0 — уравнение многообразия У* на многообразии 1 в окрестности
точки х (1 < г < п), то полученное ?1-мерное локальное поле можно отождествить с
*((*))((*»))■■•((*))■ ([27], [16]).
При помощи п.-мерных локальных полей, ассоциированных с полными флагами на многообразиях, были обобщены со случая кривых на случай высших размерностей классическая формула о равенстве нулю суммы вычетов рациональной дифференциальной формы, классический закон взаимности Вейля на кривой. (В многомерной ситуации известный сейчас как закон взаимности Паршина-Ломадзе [7], [5], [8], [16]).
В последние 25 лет развитие и применение методов локальных полей происходило егде в одном направлении. Это применение в алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем, связанные с соответствием Кричсвера-Сато-Вилсона на кривой (более подробно о соответствии Кричевера, решении иерархии КП, а также задаче нахождения коммутативных подколец в кольце дифференциальных операторов см. [3], [12], [26], [33]).
Недавно появились работы [29], [30], [10], развивающие идеи, заложенные в соответствии Кричевера-Сато-Вилсона для кривых, на случай многообразий высшей размерности в духе теории многомерных локальных полей. В них, в частности, было обобщено понятие многомерного локального поля и предложено классифицировать такие объекты. Там же были сделаны первые шаги в этом направлении. Обобщение понятия локального поля выглядит вполне естественно:
д-мерным локальным телом называется полное тело дискретного нормирования, телом вычетов которого является п — 1-мерное локальное тело.
В качестве основополагающего примера в этих работах было кольцо псевдодиф-ференциальных операторов, играющее важную роль при решении иерархии К П. В работе [10] в качестве первых примеров многомерных локальных тел были рассмотрены тела псевдодифференциальных операторов от нескольких переменных и получены некоторые теоремы сопряженности для этих тел.
В настоящей работе сделана попытка систематического изучения многомерных локальных тел, принимая во внимание лишь определение. К сожалению, уже на первых шагах на этом пути возникают большие трудности, поэтому мы изучаем в основном лишь двумерные локальные тела, у которых первое тело вычетов коммутативно. Хотя ряд результатов относится к произвольным локальным телам, и в этом ряду прежде всего стоят предложение 1.7 и следствие 1.
Неожиданно общее исследование локальных тел привело к ряду результатов, относящихся но только к обобщению соответствия Кричевера-Сато-Вильсона и иерархии КП. Прежде всего, это результаты, относящиеся к строению группы Брауэра над многомерными локальными полями, которые являются важными примерами гензе-левых тел, а также примерами С;-нолей. Используя общие явные формулы для рас-щепимых локальных тел, г.е. для тел, чье первое тело вычетов вложимо в кольцо номирования всего тела, удалось получить явное описание группы Брауэра двумер-
4
ного локального поля характеристики р > 0 с алгебраически замкнутым последним полем вычетов, следствием чего явилось доказательство гипотезы о равенстве экспоненты и индекса произвольного тела из этой группы. Следует отметить, что те же методы применимы в случае группы Брауэра над двумерным локальным полем с конечным последним полем вычетов, что дает явное описание этой группы, которая непосредственно связана с многомерной теорией полей классов (см. [31]).
С другой стороны, попытка классифицировать локальные тела привела к нсх)б-ходимости изучения классов сопряженности в группе автоморфизмов многомерного равнохарактеристического локального поля. Эта задача также решается в данной работе. В случае одномерного локального поля она была известна еще в топологии
она возникала при описании группы диффеоморфизмов окружности (см. 1]). Ясно, что описание группы автоморфизмов многомерного локального поля должно иметь отношение к группе диффеоморфизмов многообразий высшей размерности.
В случае локального поля характеристики р изучение группы автоморфизмов имеет важное значение в алгебраической теории чисел при описания группы Галуа арифметически нроконечных расширений. Более того, в последнее время группа автоморфизмов одномерного локального поля 1^((<)), известная теперь как гПоттингсмов-ская группа”, является объектом пристального изучения в теории групп. Вопросам изучения группы автоморфизмов одномерного локального поля посвящены недавние работы [15], [13', [21], [17], <22], [23], [19], (20], [38]. Есть надежда, что полученные в настоящей работе результаты о группе автоморфизмов приведут в будущем к содержательным результатам о строении групп Галуа арифметически проконечных расширений.
Перейдем теперь к структуре диссертации. Данная работа состоит из двух глав. Опишем краткое содержание и основные результаты каждой из глав.
Первая глава имеет пять частей. В первой части мы вводим общее определение многомерного локального тела, понятие расщепимости и изомофизма локальных тел, а также изучаем некоторые общие свойства расщспимых локальных тел, в частности, это уже упомянутые предложение 1.7 и следствие 1.
Начиная со второй части мы изучаем преимущественно двумерные локальные тела. Во второй части мы исследуем вопрос о том, когда двумерное локальное тело, у которого первое тело вычетов коммутативно, является расщепимым, т.е. существует сечение естественного отображения вычета. Мы приводим достаточное условие расщепимости и в случае, когда оно не выполняется, приводим контрпример. Оказывается, этим условием является условие, что канонический автоморфизм тела, который определяется как ограничение внутреннего автоморфизма ас1(г), где 2 — локальный параметр, на первое тело вычетов, имеет бесконечный порядок.
Отметим, что полученное условие и контрпример остаются верными и в более общей ситуации, когда тело не является двумерным или даже первое тело вычетов
5
не является коммутативным. Для двумерных локальных тел, у которых выполняется достаточное условие, мы приводим теорему класификации таких тел с точночтью до изоморфизма. Отметим также, что результаты второй части пе зависят от характеристики тела.
В третьей части мы классифицируем раегцепнмые двумерные локальные тела характеристики 0, у которых первое тело вычетов коммутативно, а последнее тело вычетов лежит в центре, и канонический автоморфизм имеет конечный порядок.
В четвертой части мы исследуем расщепимые двумерные локальные тела характеристики р > 0, у которых первое тело вычетов коммутативно, а последнее тело вычетов лежит в центре, и канонический автоморфизм имеет конечный порядок. В частности, мы приводим критерий конечномерности таких тел. В случае, когда тело конечномерно, мы приводим результат о явном строении такого тела, тем самым получая явное описание группы Брауэра двумерного локального поля. А именно, оказывается. что всякое такое тело изоморфно тензорному произведению циклического тела и тела индекса р, которое может быть явно описано в терминах образующих и их соотношений. Как следствие мы получаем доказательство гипотезы о равенстве экспоненты и индекса произвольного тела из группы Брауэра над Сг-полем (см. [11], 3.4.5.) в случае 2-мерного локального поля.
В пятой части мы приводим общие теоремы сопряжения для тел из части 3, а также исследуем некоторые их общие свойства. Теоремы сопряжения являются сильным обощением аналогичных теорем из [10]. Среди прочих общих свойств мы доказываем, что почти все такие локальные тела являются бесконечномерными над своим центром, а также что теорема Сколема-Нетер, одна из фундаментальных теорем в теории конечномерных тел, верна в случае бесконечномерных локальных тел только в случае классического формального кольца псевдодиффсрснциалъных операторов.
Во второй главе мы даем полную теорему классификации классов сопряженности в группе непрерывных автоморфизмов одномерного и двумерного равнохарактеристического локального поля характеристики 0. Случай характеристики р > 0 затрагивается в лемме 2.3. В этой же главе показано, как можно обобщить полученную классификацию на случай локального поля произвольной размерности.
Результаты настоящей работы докладывались на семинаре А. И. Паршина "Арифметическая алгебраическая геометрия* в МГУ (март 1999г.), на семинаре отдела алгебры МИ РАН (май 1999 г.), на международной конференции “Теория Галуа локальных и глобальных полей* (Санкт-Петербург, октябрь 1996), на конференции “Высшая теория полей классов" (Мюнстер, Германия, август-сентябрь 1999), на семинаре Г.Коха-Й.Крамера-Е.Цинка "Теория чисел и арифметическая геометрия" в Берлине (университет им. Гумбольдта) (октябрь 1999, июль 2000).
Результаты диссертации опубликованы в работах 39], [40], [42], [41].
Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспондснту ГАН Алексою Николаевичу Паршину за постановку
6
многих задач, стимулирующие обсуждения, помощь в оформлении работ, профессорам Е.В.Цинку и И.Б.Фесенко за внимание к работе, профессорам В.И. Янчсвскому и Н.И.Дубровину за ценные консультации.
7
Глава 1
Строение двумерных локальных тел.
1.1 Введение.
Определение 1.1 Пусть Кик — произвольные тела. Будем говорить, что К является п-мерным локальным телом, имеющим тело к последним телом, вычетов, если тело К имеет следующую структуру. Или п =0 (и при этом К = к), или К обладает дискретным нормированием и : К* и{0} —► где и • К* ->
Ъ — сюръективный гомоморфизм, г'(О) = оо ?/. I/(а 4- Ь) > т/(и(а),р(Ь)); и его кольцо нормирования О := {ж € К : к(х) > 0} является полным и отделимым,
относительно топологии, задаваемой и, и его тело вычетов является (и — 1)-мерпым локальным телом с последним телом вычетов к.
Следующие утверждения являются хорошо известными фактами из теории нормирования алгебр с делением (см., например, [34]).
Лемма 1.2 Пусть К — произвольное тело, обладающее дискретным нормированием. Тогда
г) Его кольцо норм.ирования О является топологической группой относительно топологии, задаваемой нормированием. V и одновременно метрическим, пространством.;
и) О являет.ся локальным, кольцом и областью главных идеалов.
Для каждого двумерного локального тела имеем:
КэО->Кэб-+ к где О — кольцо нормирования тела К. Имеются также две фильтрации:
КЭ О Эр Эр2 Э ...
8