Содержание
1 Введение. 3
2 Система динамики полюсов конечнозонного решения уравнения Дэви-Стюартсона 12
2.1 Уравнение Дэви-Стюартсона......................................... 12
2.2 Прямая спектральная задача........................................ 14
2.2.1 Спектральная кривая..................................... 18
2.2.2 Аналитические свойства собственных функций...................21
2.3 Обратная спектральная задача.......................................26
2.3.1 Рациональный случай..........................................26
2.3.2 Эллиптический случай.........................................31
2.4 Универсальный подход при построении гамильтоновой структуры ... 34
3 В-матричный подход на примере системы СМ и ее разностного аналога ВБ 40
3.1 Основания Л-матричного подхода.....................................40
3.2 Универсальная Я-матрица............................................43
3.3 Квази-хопфова деформация...........................................45
3.4 Построение гамильтонианов..........................................47
3.5 Спиновая система ИЗ................................................49
4 В-матричный подход в случае полюсной динамики решения уравнения Дэви-Стюартсона 53
4.1 Классическая г-матрица ............................................53
4.2 Свойства ^-операторной алгебры.....................................54
5 Заключение 57
2
1
Введение.
Конечномерные динамические системы теории солитонов первоначально воспринимались в значительной степени лишь как модельные примеры в теории интегрируемых систем. Как оказалось впоследствии, ряд таких систем тесно связан с фундаментальными проблемами математики и математической физики. Так в пионерской работе [1] впервые была обнаружена связь между рациональными или эллиптическими решениями уравнения КлФ, и рациональной или эллиптической системой Са1ойего-Мо8ег(СМ [2]). Наиболее полное понимании природы такой связи возникло с приходом алгсбро-гсометрического метода обратной задачи, разработанного в работах [3],[4]. А именно, было установлено, что условие существования собственной функции специального вида у вспомогательного линейного оператора, построенного по представлению Лакса, эквивалентно тому, что динамика полюсов решения нелинейного уравнения описывается системой такого типа. В работе [5] был установлен изоморфизм между эллиптическими решениями матричного уравнения КП и решениями спиновой системы СМ. В работе [6] в качестве нелинейного уравнения было взято разностно-дифференциальное уравнение двумеризованной цепочки Тода. Роль системы, описывающей динамику полюсов решения уравнения, выполняет спиновая система Киузепааг8-8сЬпе’к1ег(КБ [7]).
Алебро-геометрические конструкции прямой и обратной задачи, используемые в работах [5],[6], представляю т богатейший математический аппарат. Алгебраические объекты, “живущие” на кривой, такие как пространства функций Бейкера-Ахиезера, пространства абелевых дифференциалов, обладающие высокой степенью симметричности, позволяют явно конструировать решения динамической системы и нелиней-
3
пого уравнения в терминах 0-функций на Якобиане кривой.
Существенным при всех дальнейших рассмотрениях является наличие у нелинейного уравнения представления Лакса
С = [МХ]
или представления нулевой кривизны
[дх-Счд„-М] = 0.
Оказывается, что факт существования решения вспомогательной линейной задачи
(д( - £)Ф = 0
для оператора с двоякопериодическими коэффициентами в виде двоякоблоховской функции Ф является столь ограничительным условием, что в ряде случаев позволяет однозначно восстанавливать С,М пару, а следовательно и решение нелиней-
ного уравнения. Пространство двоякоблоховских функций с фиксированным количеством полюсов при каждом значении I может быть рассмотрено как конечномерное пространство. Оператор, фигурирующий во вспомогательной линейной задаче отображает это пространство в пространство большей размерности. Именно поэтому на коэффициенты разложения по базису решения Ф возникает переопределенная система уравнений, в большинстве случаев имеющая вид:
(Ь-к)С = 0, . (1.1)
(д<-А)С = 0, (1.2)
где Ь - уже конечномерный оператор, зависящий от спектрального параметра г, параметризующего вместе с параметром к пространство блоховских факторов. Условие совместности этих уравнений, то есть уравнение Лакса, является конечномерной динамической системой на полюса г, собственной функции. Существование решения уравнения (1.1) задает уравнение кривой в виде
</е£(£ — к) = 0.
Коэффициенты этого полинома не зависят от / и предоставляют набор интегралов системы. Кроме тот, данная собственная функция при некоторой нормировке
4
имеет аналитические свойства на кривой, характеризующие гак называемую функцию Бейкера-Ахиезера. Благодаря методам обратной задачи, функция, обладающая такими свойствами, однозначно восстанавливается и имеет явное выражение в терминах тета-функций. Таким образом, помимо связи решения нелинейного уравнения и динамической системы, было установлено фундаментальное соответствие этих решений набору алгебро-геометрических данных.
Эта конструкция является одной из многочисленных демонстраций того богатства математических структур, связанных с этими системами, которое обусловило неослабевающий уже более 20 лет интерес к ним. В последнее время существенный интерес к этим системам основан на установленной в серии работ [8],[9] связи между их геометрической природой и N = 2 суперсимметричной теорией Зайберга-Виттена. В частности, набор спектральных данных в теории Зайберга-Виттена полностью соответствует спектральным данным прямой и обратной задачи теории алгеброгеометрического интегрирования, и такой фундаментальный объект на спектральной кривой, как 1-форма (IX позволяет строить предпотенциал теории, а периоды этой формы параметризуют вакуумное пространство. С этой проблематикой тесным образом связана настоящая работа, предметом которой является исследование гамильтоновой структуры динамических систем теории солитонов, возникающих как системы полюсной динамики.
Существует ряд подходов к гамильтонову описанию подобных систем, затрагивающих широкий спектр математических методов. В их числе можно перечислить универсальный метод построения гамильтоновой структуры в терминах алгебро-геометрических конструкций прямой и обратной задачи, разработанный в трудах [10],[11]; метод гамильтоновой редукции, использованный в работах [12],[13]; а также метод, базирующийся на конструкции динамической /2-матрицы [14],[15]. Основными задачами всех этих подходов является описание симплектичсской структуры, коммутативной алгебры интегралов, канонических переменных и т. д. Важность исследований в этой области нельзя переоценить. Помимо того, что гамильтонов формализм является хорошо структурированным языком в теории интегрируемых систем, он иногда является средством для решения системы, позволяет находить ее квантование.
Вышеупомянутый универсальный метод построения гамильтоновой структуры, изначально введенный для уравнений в частных производных, оказался весьма эф-
5
фективным и при анализе конечномерных динамических систем. В работах [10],[11] была предложена симплектическая форма
и; = -Ясны < ФЯ8Ь А £Ф > <1к,
на пространстве периодических операторов, зависящих от спектрального параметра. Она выражается в терминах функционалов на этом пространстве 6Ь и <£Ф. где Ф -собственная функция оператора, являющаяся также функционалом на этом пространстве. Как было показано, эта форма является замкнутой, невырожденной и дает полное гамильтоново описание динамической системы на пространстве таких опера торов. Универсальность данного выражения симплектической формы заключается еще и в том, что в конечномерном случае, в большинстве известных динамических систем, симплектическая структура может быть выражена таким же образом. Достоинством этот представления является то, что оно позволяет явно строить переменные ‘‘действие-угол”, в терминах которых симплектическая форма приобретает вид
Ш = 2^Е(ъ)Абк(ъ), (1.3)
.9 = 1
где 75 - полюса собственной функции на кривой, где Е - энергия, а к - квазиимпульс собственной функции. Отметим, что для интегрируемых систем связанных с гиперэллиптическими кривыми форма (1.3) была предложена в работе [16]. Вышеупомянутая 1-форма, играющая важную роль в теории Зайберга-Виттена, тесно связана с переменными “действие-угол” и имеет следующее выражение <1\ = к(іЕ. В разделе 2 данной работы будет продемонстрирован универсальный метод построения гамильтоновой структуры на примере системы, связанной с матричным уравнением Дэви-Стюартсона. В этом случае его применение позволило впервые получить явное выражение для симплектической структуры и гамильтониана этой динамической системы.
Еще один подход к исследованию гамильтоновой структуры систем полюсной динамики имеет в своей основе метол гамильтоновой редукции и был удачно применен в построении целого класса интегрируемых систем, называемых системами Хитчина. В работе [17] Хитчин рассмотрел семейство интегрируемых систем, фазовым пространством для которых является кокасательное расслоение к пространству N стабильных голоморфных векторных расслоений ранга п для группы ОЬп(С) на компактной римановой поверхности Г рода д > 1 с особенностями. На кокасательном
- Київ+380960830922