Некоторые вопросы бирациональной теории алгебраических групп

Оглавление
Введение
1. Бирациональная классификация действий
Введение ........................................
§1.1. Случай действия, имеющего стабилизатор общего положения...................................
§1.1.1. Относительное сечение...............
§1.1.2. Сведение к случаю локально свободного действия .................................
§1.1.3. Существование инвариантного сечения . §1.1.4. Сведение к случаю редуктивной группы §1.2. Действия над алгебраически незамкнутыми
полями......................................
§1.2.1. Однородные пространства и когомологии Галуа ...................................
§1.2.2. Редуктивные и параболические подгруппы ......................................
§1.3. Случай действия с произвольными стабилизаторами ..........................................
§1.3.1. Действия и однородные пространства .
4
10
10
13
13
14
15
20
22
22
24
24
24
1
§1.3.2. Классификация действий ...................25
§1.4. Существование сечений............................27
§1.4.1. Случай одномерного фактора................27
§1.4.2. Специальные группы........................29
§1.4.3. Действия специалных групп с унипо-
тентными стабилизаторами..............30
§1.5. Доказательство теоремы 1.12......................30
§1.5.1. Правильное вложение произвольной
подгруппы в параболическую подгруппу 30
§1.5.2. Относительные сечения и параболические подгруппы..............................32
§1.5.3. Окончание доказательства теоремы 1.12 34
§1.6. Существование относительного сечения .... 36
§1.6.1. Относительные сечения и разложение
Леви..................................36
§1.6.2. Действия без относительных сечений . . 36
§1.6.3. Относительные сечения и бирациональ-
ная классификация действий............38
§1.6.4. Простые действия....................40
§1.7. Простые действия с определенным над полем
инвариантов стабилизатором квазисечения . . 41
§1.7.1. Выбор подгруппы Н ........................42
§1.7.2. Относительное сечение простого действия .........................................43
§1.7.3. Доказательство теоремы 1.19.........45
2
2. Существенная размерность и стабильная рациональность алгебраических групп 48
Введение...........................................48
§2.1. Основные определения ........................49
§2.2. Вложение в специальную группу................51
§2.3. Существенная размерность.....................52
§2.4. Стабильная рациональность....................55
3. От редуктивных групп к связным полупро-стым 56
§3.1. От редуктивных групп к связным редуктивным 56 §3.2. От связных редуктивных групп к полупростым 57 §3.2.1. Бирациональная классификация действий 58
§3.2.2. Существенная размерность..............59
§3.2.3. Стабильная рациональность.............60
4. Группа Бргпю 61 §4.1. Относительные сечения линейных действий . . 62
§4.1.1. Существенная размерность и бирациональная классификация.........................63
§4.1.2. Стабильная рационачьность.............64
§4.2. Переход от группы б?2 х Ъг к группе Бргп7 . . 64 §4.3. Переход от группы вргщ к группе бртю ... 66
3
Введение
Данная работа посвящена некоторым вопросам бирапио-нальной теории линейных алгебраических групп над ачге-браически замкнутым полем к характеристики нуль.
Везде в данной работе, кроме §1.3 и §1.4.1, мы ограничимся рассмотрением рациональных действий алгебраической группы С над алгебраически замкнутым нолем к нулевой характеристики на алгебраическом многообразии X, для которых группа С действует транзитивно на множестве неприводимых компонент X. В этом случае определено поле инвариантов К — к(Х)°.
Определение. Произвольное многообразие У, поле рациональных функций которого равно К, называется 'рациональным фактором действия (2 на X, а естественное отображение 7г: X —> У — отображением факторизации.
Подмножество IV С X называется густым, если содер-
жит плотное открытое по Зарисскому подмножество многообразия X.
Действие С : X называется локально свободным, если существует такое густое подмногообразие IV С X, что стабилизатор 6гш любой точки V) £ IV тривиален.
4
Одними из основных понятий и объектов изучения бира-циональыой теории инвариантов являются понятия квазисечения и сечения действия.
Определение. Неприводимое подмногообразие 5 С X называется сечением (соотв., квазисечением) действия а, если существует такое инвариантное густое подмножество Хо С Аг, что любая орбита индуцированного действия <7 : Хо пересекает 5 ровно в одной точке (соотв., по непустому конечному множеству).
Сечение существует далеко не всегда. В то же время любое действие допускает квазисечение (см., например, [5]).
Еще Д. Гильбертом были получены значительные результаты по бирациональной теории инвариантов. В частности, им была доказана теорема, которая может быть сформулирована следующим образом.
Теорема 1 (см., например, [5]). Если группа (7 является
1) или аддитивной группой к,
2) или мультипликативной группой к*,
то любое локально свободное действие группы С допускает, сечение.
Первой фундаментальной работой по современной бирациональной теории инвариантов является работы М. Розеи-лихта [25]. В ней, в частности, была доказана следующая теорема, являющаяся некоторым обобщением теоремы 1.
5