Введение
Как известно, одной из фундаментальных теорем алгебры является теорема Крулля-Шмидта.
Теорема 1 Любые два разложения некоторого модуля в прямую сумму подмодулей с локальными кольцами эндоморфизмов изоморфны.
В частности, если мы рассматриваем модули конечной длины, то локальность кольца эндоморфизмов эквивалентна неразложимости, и теорема Крулля-Шмидта дает единственность разложения на неразложимые слагаемые.
Естественно было пытаться обобщить эту теорему, в частности на случай абелевых групп без кручения (хотя бы конечного ранга), однако Ионсон [14], а затем Корнер [10] нашли ряд примеров неединственности таких разложений. Также ряд примеров содержится в статье [12].
Теорема 2 (Корнер) Пусть даны натуральные числа п и к, причем п > к. Существует абелева группа без кручеиия А ранга п со следующим свойством. Для любого разбиения
числа п на к натуральных слагаемых г, > 1, п = г± + Ь тк,
найдется прямое разложение
А = А1®---®Аку где А\ — неразложимая группа ранга щ.
Для восстановления единственности Йонсон [15] предложил понятие изоморфизма заменить понятием квазиизоморфизма.
Здесь и далее везде слово группа означает абелева группа конечного ранга без кручения.
Пусть А ж С — группы, лежащие в одной и той же делимой группе. Мы говорим, что А квазивложена в С (и пишем А -< С), если найдется такое натуральное п, что пА С С. < Группы А и С квазиравны (А & С), если А -< С и С ■< А.
9
Группы квазиизоморфны, если они изоморфны квазиравным подгруппам некоторой делимой группы. Если А & СхФ* ♦ -0С*, то А называется квазипрямой суммой групп С*, а каждая группа С{ — квазипрямым слагаемым А. Группа называется сильно неразложимой, если она не раскладывается в квазипрямую сумму нетривиальным образом.
Теорема 3 (Йонсон) Пусть А — группа и имеют место квазиравенства
А ~ А\ ф • • • 0 АТП ~ С\ ф • • • 0 Сп
с сильно неразложимыми группами А{ и С^. Тогда та = пи при подходящей перенумерации А{ квазиизоморфно С* для всех г.
В связи с отсутствием единственности в прямых разложениях в традиционном смысле, Фукс сформулировал в своей книге [6] ряд проблем, касающихся прямых разложений.
Проблема 67(Фукс) При данном натуральном числе г > 3 найти все последовательности щ < • • • < п$ натуральных чисел, для каждой из которых существует группа ранга г, обладающая разложениями на пг,..., п$ неразложимых слагаемых соответственно.
Проблема 68 (Фукс) Пусть даны такие натуральные числа гг,..., п и 7*1,...,г\, что т*1 Н Ьт** = г[ Ч Ьт**. Найти условия, при которых существует группа, обладающая прямыми разложениями на неразложимые слагаемые рангов п,..., г* и т*1,..., г\ соответственно.
Проблема 69(Корнер) Существуют ли группы конечного ранга, обладающие бесконечным числом попарно неизоморфных прямых разложений?
Проблема 69 была решена отрицательно Е. Я. Яэди в статье [16]. Проблемы 67 и 68 были решены Благовещенской и Яковлевым в статьях [1], [3], [8], [2].
Теорема 4 (Благовещенская) Пусть I < п\ < < •" <
п8 < п — натуральные числа. Для того, чтобы существовала абелева группа ранга п, допускающая разложения в
з
прямую сумму тії неразложимых слагаемых, П2 неразложимых слагаемых, ..., п8 неразложимых слагаемых, необходимо и достаточно, чтобы п\ > К[п,п8), где К — натуральное число, определяемое следующим образом: а) К = 2, если п* < [|] 4- 1; б) К — наименьшее натуральное число, для которого К > п/(2{п - п8) - 1), если [|] 4- 1 < п8 < п — 1; в) К — наименьшее натуральное число, для которого К > §, если п8 = п — 1.
Теорема 5 (Благовещенская, Яковлев) Пусть есть два набора натуральных чисел г\,..., г* и г[, ..., г\ с одинаковой суммой п, причем в первом наборе и единиц, а во втором наборе и единиц. Тогда для того, чтобы существовала абелева группа ранга п, имеющая прямые разложения па неразложимые слагаемые рангов г\,..., г* и г[,, г[, необходимо и достаточно выполнения следующего условия: г і < п — и,
< п — и, причем если в первом неравенстве достигается равенство (хотя бы для одного і), то во втором наборе может быть только одно число, отличное от единицы, и если во втором неравенстве достигается равенство (хотя бы для одного б), то в первом наборе не более одного числа отлично от единицы.
Пытаясь понять причины неединственности прямых разложений, А. В. Яковлев [7] разработал теорию, устанавливающую связь между прямыми разложениями групп и разложениями векторов в конусах в решетках. Эта теория позволяет существенно упростить построение примеров групп с определенными аномалиями в прямых разложениях, а также получение других результатов о прямых разложениях.
Настоящая диссертация продолжает исследование прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга. Целью настоящей работы является перенесение на случай групп из некоторых классов результата Благовещенской и Яковлева и вычисление отображения факторизации по радикалу на полугруппе конечно порожденных проективных модулей над кольцом эндоморфизмов почти вполне разложимой
4
группы, делимой на почти все простые числа, что также тесно связано с прямыми разложениями абелевых групп конечного ранга без кручения.
Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации.
Первая глава представляет собой изложение определений и результатов А. В. Яковлева, необходимых для исследования прямых разложений абелевых групп конечного ранга без кручения на протяжении всей остальной части диссертации. В первом параграфе содержатся определения вспомогательных категорий, необходимых для изучения прямых разложений абелевых групп конечного ранга без кручения.
Пусть М — аддитивная категория (т.е. такая категория, в которой множества морфизмов суть абелевы группы, композиция билинейна (над кольцом целых чисел) и существуют ко-неттые прямые суммы). Мы говорим, что М — категория над ассоциативным коммутативным кольцом к с единицей, если группы морфизмов являются модулями и композиция билинейна над к.
Пусть К — коммутативное ассоциативное кольцо с 1, содержащее кольцо целых чисел Ъ. Через М'К обозначается категория с ОЪМ'к = ОЪМ и М'К(А,В) = М(А, В) 0 К. Под Мк понимается категория с ОЪМ к — {(А, е) : А Е ОЬ М'к,е2 — е Е Епс^/ДА)} и Мк({А> е), (В, с/)) = с1М'к(А, В)е. Очевидно, объекты М можно рассматривать как объекты Мк-
Пусть М — категория абелевых групп конечного ранга без кручения. Тогда Мр = М%р, М° = Мд, Мр = М%р7 Мр = М^
и М = Мс, где Ър — локализация кольца целых чисел Ъ по простому числу р, Ър — это кольцо целых р-адических чисел, <0> — поле рациональных чисел, — поле р-адических чисел, а С — поле комплексных чисел.
Абелевы группы и их морфизмы можно рассматривать как объекты и морфизмы категорий Мр, а их объекты и морфизмы, в свою очередь, как объекты и морфизмы категорий Мр. Кроме того, мы фиксируем вложения (фр —>■ С (неканонические) и рас-
5
сматриваем объекты и морфизмы категорий Мр^как объекты и морфизмы категории М. В категориях Мр и М разложение в прямую сумму неразложимых объектов всегда существует и единственно.
Пусть А — группа. Тогда в категории М она имеет разложение А = п\А\ 0 • • • 0 ПкАк, где Д — неразложимые попарно не изоморфные объекты. Сопоставим группе А вектор V = у(А) = (щ,... ,га*). В категориях Мр группа А имеет разложения А = Ар\ 0 • • • 0 Ар,» в прямую сумму неразложимых объектов. При этом в разложении АРу в прямую сумму неразложимых в категории М могут встречаться только объекты, изоморфные Д при 1 < г < к (в силу единственности разложения в категории М). Таким образом, АРу = ги^А\ ф • • • 0 гидо А&, и мы можем сопоставить объекту Ару вектор ур] = у(Ду) = {у)\ру,.,.,и)крз)- Через Л(Др) мы обозначим разложение (иР1,..., Уртр) вектора V. Через Л.(А, 0) обозначим разложение V, полученное аналогичным способом, но с категорией М° вместо Мр.
Пусть 5о = {-^х, • • • >^т0} — множество сильно неразложимых (неразложимых в категории М°) попарно не ква-зиизоморфных (попарно не изоморфных в категории М°) групп. Пусть Р — конечное множество простых чисел, причем для каждого р € Р выбрано конечное множество £р = {Х±,..., Х^р} неразложимых попарно не изоморфных объектов Мр, причем в М среди неразложимых слагаемых объектов XI встречаются только слагаемые групп из 5о.
Систему (Р, 5р, 5о) обозначим 0, и под категорией М(0) будем понимать полную подкатегорию категории групп М, состоящую из таких групп А, что:
М1) в категории М° группа А раскладывается в прямую сумму групп из 5о;
М2) для р € Р в категории Мр группа А раскладывается в прямую сумму объектов из Яр]
М3) для простого числа д ^ ? в категории Мя группа А раскладывается в прямую сумму групп из 5о (необязательно
6
- Київ+380960830922