2
Оглавление
Введение..............................................................5
Глава 1. Множество 3 как базис равномерного 2-раскрашивания....26
1.1. Историко-литературное введение в главу 1....................26
. 1.2. Определение множества J...................................... 30
1.3. Свойства слов из множества J...................................31
1.4. функции Ли g...............................*....................35
1.5. Эквивалентность конфигураций Хаббарда» штурмовых цепочек
и множества J............»......................................... 37
1.6. Минимаксные и максиминные свойства слов в J....................42
1.7. Самоподобие в множестве J......................................48
1.8. Согласованность различных порядков в 3......................50
1.9. Кластеры и их композиции.......................................53
^ 1.10. Кластеры и цепные дроби........................................57
1.11. Сравнение результатов главы 1 с известными результатами. .62
Глава 2. Теория булева усреднения для исследования явления равномерного 2-раскрашивания в модели статистической механики 66
2.1. Историко-литературное введение в главу 2........................67
2.2. Булева усредняющая процедура для минимизации гамильтониана Хаббарда............................................................ 71
2.3. Области существования периодических конфигураций в булевой усредняющей системе .................................................75
2.4. Основная теорема о периодических конфигурациях в булевой
4 усредняющей системе..... ......................................... 80
2.4.1. Доказательство п. 1° торелы 2.3 (80), 2,4.2. Доказательство п. 2 теорежи 2.3 (81). 2.4.3. Доказательство п. 3° теоремы
2.3 (82). 2.4.4. Каторова лестница (85).,..
2.5. Пример двумерного варианта булевой усредняющей процедуры..90
2.6. Феноменологические отличия булевой усредняющей процедуры от модели Буркова-Синая. -.............................................92
2.7. Единственность периодической конфигурации в случае выпуклой функции взаимодействия .......................................... 96
2.8. Самые слабые плюсы и минусы в периодической конфигурации. 108
2.9. Хаусдорфова размерность множества "пробелов" канторовой лестницы....*..........................*..........................*117
2.10. Близкодействие и конечные автоматы...........................127
2.11. Показательная функция взаимодействия и разрывное кусочно-линейное отображение прямой в себя *...............................134
2.12. Сравнение результатов главы 2 с известными результатами. 136 Глава 3. Применение теории булева усреднения для исследования явления равномерного 2-раскрашивания в системах управления и в преобразователях сигналов* .......................................14Q
3.1. Историко-литературное введение в главу 3......................142
3.1.1. Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием (144). 3.1.2. РелеОно- и широтно-импульсные системы управления (147).
3.2. Ренормализация кусочно-линейного отображения и его
циклов.............................................................151
3.2.1. Нидинги и циклы (151). 3.2.2. Трихотомия (153). 3.2.3. Ре-нормализация отображений и циклов (156). Теорема о нидингах точек кусочно-линейного отображения (161).
3.3. Булева усредняющая процедура и кусочно-линейные отображения
164
3.3.1. Циклы как периодические конфигурации в булевой усредняющей системе (164). 3.3.2. Свойства циклов кусочно-линейных отображений (167). 3.3.3. Языки Арнольда и канторова лестница Оля циклов. Группа вращений окружности (169)»
4
3.4. Самоподобная фигура (фрактал) для бесформульного конструирования канторовой лестницы для кусочно-линейного отображения..,174
3.5. Свойства ДЦП о сигма-дельта модуляцией и обобщенным неполным суммированием................................................... 181
3.5.и Уравнение, определяющее работу АЦП (181). 3.6.2. Свойства, $ вытекающие из общей теории булевой усредняющей систем (2.8)
(182). 3.5.3. Свойства, вътекжте из теории итераций кусочно-
линейных отображений (188).
3.6. Релейно-импульсная система управления.........................189
3.7. Широтно-импульсная система управления и булева усредняющая система ..................................................... ,192
3.7.1. Широтно-импульсная систола (192). 3.7.2. Иноеотатные релейные периодические режим, работы шротю-штульсных систел управления (193).
$ 3.8. Нерелейные периодические режимы и детерминированный хаос в
широтно-импульсной системе управления..............................198
3.8.1. Разностное уравнение. Существование детерминированного хаоса при сколь угодно малых периодах модуляции (198).
3.8.2. Неформальный очерк поведения систем в зависимости от чувствительности импульсного элемента (201). 3.8.3. Карт периодических режимов. Отстройка ш хаоса (206).
3.9. сравнение результатов главы 3 с известными результатами..208 Литература ................................................*.. #..213
+■
4
5
Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
^ ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Объектами исследования в диссертации
являются:
1) Введенная автором булева усредняющая процедура
ип - 8&1(ф - Е Теип-с^ <0-1>
1=1
где ф - действительное число, (ип) и С'т(1) 1<ы) - последо-
вательности действительных чисел. Мы называем применение процедуры (0,1) булевым усреднением. Название процедуры оправдывается следующими соображениями. Можно считать, что на каждом п-м
со
шаге в процедуре (0,1) подсчитывается средневзвешенное Е 7(ип_*
*
г
1=1
членов последовательности ц^_19 ип-2* ип-з"т с весовыми коэффициентами кг тг, 73,.. и делается попытка ограниченными средствами приблизить средневзвешенное к предписанному значению ф, полагая ип равным (+1), если средневзвешенное не достигает ф, и полагая ип равным (-1), если средневзвешенное превосходит ф.
2) Явление равномерного 2-раскрашивания. Оно может быть описано следующим образом. Распределим равномерно счетное множество символов + (плюс) на прямой на расстоянии р друг от друга, и счетное множество символов - (минус) на другой прямой на расстоянии V друг от друга; затем совместим обе прямые. Полученное распределение плюсов среди минусов есть равномерное 2-раскрашивание с числол вращения (долей плюсов в общем потоке символов), равным Булева усредняющая система (0,1) описывает поведение некоторых моделей и систем, в которых наблюдается равномерное 2-
раскрашивание, если положить, что на п-м месте (гь&) на прямой находится символ ♦ (плюс) при в (0.1) и находится символ -
(минус) при ип=-7 в (0.1).
3) Модели статистической механики, в которых энергия выражается формально определенным гамильтонианом Хаббарда Н * -ф £ (0‘2)
i>J
(«2 JeZ
Здесь и может указывать положительную (и =?) или отрицательную
ft JT
{и направленность спина частицы, занимающей я-е место на прямой; ф - напряженность внешнего поля; ?{- энергия взаимодействия частиц на расстоянии i единиц. В других интерпретациях ип может быть указателем наличия (ип=1) или отсутствия электрона в п-и месте на прямой (пег.); ф - химическим потенциалом. Эвристические соображения подтверждают, что булева усредняющая процедура (0.1) минимизирует гамильтониан (0.2).
4) Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием (leaky Integration) (рис. 0.1).
Линейный
фильтр
Кван-
това-
тель
Блок
усред-
нения
x(t)
У
Рис. 0.1. Аналого-цифровой преобразователь с сигма - дельта модуляцией и неполным суммированием
ф
Ф-
Импульсный
елемент
-*1 яэ ------
U
Объект
управления
Рис. 0.2* Широтно-импульсная система управления
Здесь urt указывает полярность выходного сигнала квантователя на
п-и такте его работы: «п - подлежащий преобразованию аналоговый
сигнал; (у{) есть последовательность коэффициентов в передаточной
Функции линейного фильтра. Булева усредняющая процедура (0.1)
описывает поведение выходного сигнала и квантователя д в анало-
го-цифровом преобразователе при постоянстве входного аналогового
00
сигнала хп и равенстве ф = хп z 7* #
5) Широтно-импульсная система управления с структурой, указанной на рис. 0.2. Здесь и - -выходной сигнал импульсного элемента ИЭ, y(t) -импульсная переходная функция (ИПФ) объекта управления. Булева усредняющая процедура (0.1) описывает релейные режимы широтно-импульсных систем, в которых uft указывает полярность управляющего сигнала на n-м такте работы импульсного элемента в релейном режиме; ф - внешний сигнал; у{ есть интеграл от импульсной переходной функции 7(t) управляемого объекта по t-му периоду модуляции.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является создание теории булева усреднения и анализ средствами этой теории явления равномерного 2-раскрашивания в моделях статистической механики, в аналого-цифровых преобразователях и в системах управления.
В моделях статистической механики равномерное 2-раскрашивание означает равномерное распределение частиц с спином tip среди частиц с спином down {в другой интерпретации - электронов среди дырок) в пропорции, определенной напряженностью внешнего ПОЛЯ (соответственно, химическим потенциалом). В системах управления и в аналого-цифровых преобразователях это означает равномерное распределение положительных импульсов среди отрицательных в пропорции, определяемой внешним сигналом. Наши исследования мы ограничиваем рациональными числами вращения и, следовательно, перио-
дическими процессами в указанных системах и моделях.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Теория Нулевого усреднения является новым направлением в системном анализе. Результаты» впервые установленные автором в этой теории« таковы: 1) При монотонном убывании и положительности последовательности (ч1) периодические конфигура-ции существуют в булевой усредняющей системе при почти всех значениях переменной ф. 2) Существует однозначная зависимость числа вращения (доли плюсов) в периодических конфигурациях от значения параметра ф;, эта зависимость имеет вид канторовой лестницы; эта канторова лестница полна. 3) Все равномерно 2-раскрашенные последовательности символов 4 (плюс) и - (минус) являются периодическими конфигурациями в булевой усредняющей системе (0.1) 4) Если последовательность (к1) выпукла (т.в. 7с + г«'7**7{+г^/2 для всех (е*и), то только равномерное 2-раскрашенные последовательности плюсов и минусов являются периодическими, конфигурациями в булевей усредняющей системе (0.1).
В работе указан двумерный вариант булева усреднения, в котором обнаружено явление, сходное с двойникованием кристаллов.
Вне рамок теории булева усреднения новым в работе является построение совокупности равномерно 2-раскрашеннных слов как компонентов некоторого упорядоченного множества У посредством операции конкатенации (соединения) слов.
В приложениях теории булевого усреднения получены следующие новые результаты.
1) В моделях статистической механики С82, 59, 7): булева усредняющая процедура (0.1) интерпретирована как процесс минимизации гамильтониана Хаббарда; впервые рассмотрены указанные модели, в которых функции взаимодействия (ц1) свободны от условия выпуклости, в то время как в предшествующих работах Дж. Хаббарда [82]
(1978), П. Бака и Р. Бруинсмы [591 (1982), С. Буркова и Я. Синая [71 (1983) рассматривались модели только с выпуклыми функциями взаимодействия; доказано существование однозначной зависимости числа вращения периодической конфигурации от химического потенциала даже при наличии неравномерно раскрашенных периодических конфигураций; доказана полнота канторовой лестницы, изображающей эту зависимость (аналогичные утверждения о полноте установлены ранее П. Баком и Р. Бруинсмой, С.Е. Бурковым и Я.Г. Синаем в других моделях и при ограничении выпуклыми функциями взаимодействия); определены понятия самых слабых плюсов и минусов в периодической конфигурации, первыми опрокидывающихся при медленном уменьшении (соответственно, увеличении) химического потенциала; даны алгоритмы поиска самых слабых плюсов и минусов; указана связь между конечными автоматами и исследуемыми моделями с близкодействием; указано существование "упрощенной канторовой лестницы" в случае близкодействия; поведение модели статистической механики с показательной функцией взаимодействия описано с помощью итераций кусочно-линейного отображения прямой в себя.
2) В аналого-цифровых преобразователях (АЦП) с сигма-дельта модуляцией (34, 64, 66, 71, 72 . 74, 79-81, 84, 104, 122, 1231 с обобщенным неполным суммированием: впервые поставлена проблема периодических конфигураций; доказано существование однозначной зависимости выходного сигнала в периодических режимах от входного аналогового сигнала; показано, что эта зависимость имеет вид канторовой лестницы и эта лестница полна; доказано, что в периодических режимах А1Ш появляются все те последовательности плюсов и минусов (а при выпуклости (тг) и только те), которые являются равномерно 2-раскрашенными. Впервые указано, какие выходные импульсы квантователя опрокидываются первыми при медленном изменении
входного сигнала.
3) В широтно-имцульсных системах управления [6, 12-15, 18-20, 22-31, 40, 41, 52-53 , 86. 89, 92-94, 103, 111, 113-1161: впервые показано, что в релейном варианте (при нулевом пороге чувствительности импульсного элемента) эти системы могут работать как аналого-цифровые преобразователи; впервые показано, что область многотактных релейных периодических режимов в пространстве параметров системы с показательной импульсной переходной функцией (ИПФ) образует самоподобную фигуру (фрактал).
Вне рамок теории булевого усреднения в работе впервые указаны области хаотического поведения системы с показательной ИПФ; доказано, что детерминированный хаос появляется при сколь угодно малых периодах модуляции.
В диссертации также впервые дано применение теории булева усреднения к проблеме циклов разрывного кусочно-линейного отображения прямой в себя; показано, что известные результаты H.H. Леонова Е42) (1959), Дж. Кифера С911(1987), С. Парка и Р. Грея [1043 (1992), автора С263 (1992) о существовании и полноте канторовой лестницы для указанного отображения являются простыми следствиями результатов теории булева усреднения. Кроме того, впервые постро-
4
ена самоподобная фигура (фрактал) для бесформульного конструирования канторовой лестницы для кусочно-линейного отображения.
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Многократные переоткрытия явления равномерного 2-раскрашивания от работ XIX века до девяностых годов нынешнего свидетельствуют о желательности создания общих теорий для этого явления. Вряд ли может быть дана одна универсальная теория. Не нужда в относительно общих теориях есть, и в диссертации предлагается одна из них - теория булевого усреднения, достаточно адекватно описывающая поведение разнородных систем, в кото-
рых наблюдается явление равномерного 2-раскрашивания.
Теория булевого усреднения в статистической механике дает пример применения идей теории управления в физике. Дж. Хаббард [821 в 1978 г. предложил гамильтониан с антиферромагнитным взаимодействием, минимум которого достигается в основных состояниях с равномерным в некотором смысле распределением спинов ир и dom. Ограничиваясь только случаем выпуклых функций взаимодействия, он описал номенклатуру периодических конфигураций, дере открыв явление равномерного 2-раскрашивания. Естественно, возникла проблема поведения модели при невыпуклой функции взаимодействия. В 1983 году С.Е. Бурков и Я.1\ Синай [71 ввели в рамки математических стандартов постановку задачи о минимизации гамильтониана Хаббарда и доказали полноту канторовой лестницы, с ним связанной. Аналогичные результаты получили П, Бак и Р. Бруинсма. Но и в этих работах не затрагивалась проблема поведения модели при невыпуклых функциях взаимодействия. В диссертации показано, что основные результаты предшественников (существование и полнота канторовой лестницы) в исследуемой модели сохраняются и при функциях взаимодействия, свободных от условия выпуклости.
В аналого-цифровых^преобразователях (АЦП) с сигма-дельта модуляцией с 60-х годов исследовалась так называемая идеальная сигма-дельта модуляция [64 , 741. С абстрактной точки зрения эта система связана с группой вращений окружности. С конца восьмидесятых годов появились работы американских исследователей Р. Грея (104), Д. Делчампса (1221, Л. Чуа (721 с сотрудниками и других по АЦП с сигма-дельта модуляцией с утечкой. Модель с утечкой оказалась более адекватной реальным АЦД. О абстрактной точки зрения она связана с итерациями кусочно-линейного отображения. И, наконец, в декабре 1993 г. появилась работа Д. Делчампса (713, в которой он
обратно, все кластері суть компоненты £ (Теорема 1.6)• Порядок кластера можно считать мерой его сложности. В п. 1.9 доказана ассоциативность операции композиции кластеров (Теорема 1.7). Доказана также теорема о существовании и единственности разложения кластеров в композицию кластеров первого порядка (Теорема 1.8). В п. 1.10 указан алгоритм построения равномерного 2-раскрашивания по разложению числа вращения в непрерывную (цепную) дробь. П. 1.11 посвящен сравнению результатов автора с другими результатами. Отмечено, что компоненты множества J строятся конструктивно в отличие от штурмовых цепочек и конфигураций Хаббарда. С другой стороны, штурмовы цепочки и конфигурации Хаббарда удобнее тем, что равномерное распределение плюсов и минусов в них заложено непосредственно в их дескриптивные определения, в то время как в J это свойство выявляется только в теоремах 1.2, 1.6 и 1.7.
В главе 2 одновременно строится теория булева усреднения и указываются ее приложения к статистической механике. После историко-литературного введения (п. 2.1) в п. 2.2 вводится процедура минимизации гамильтониана Хаббарда как решение задачи теории управления в духе динамического программирования. Эта процедура и является булевым усреднением. Затем в п. 2.2 дается определение периодических конфигураций в булевой усредняющей системе (0.1) (Определения 2.1, 2.3). В п. 2.3 указываются формулы для вычисления интервалов существования периодических конфигураций в булевой усредняющей системе (Теорема 2.1), из которых в дальнейшем выводится ширина ступени канторовой лестница. В п. 2.3 дается неравенство, выполнение которого необходимо и достаточно для того, чтобы данное слово было периодической конфигурацией в булевой усредняющей системе (0.1) (Следствие теоремы 2.1).
В п. 2.4 сформулирована и доказана основная теорема о периодических конфигурациях в булевой усредняющей системе (теорема
2.3). Она устанавливает несколько важных фактов. Во-первых, каждое равномерное 2-раскрашенное слово (конфигурация Хаббарда, штурмова цепочка, сдвиг степени некоторого компонента J) является периодической конфигурацией в булевой усредняющей системе. Во-вторых, если некоторое неравномерно 2-раскрашенное слово является периодической конфигурацией в системе (0.1), то его область существования является подмножеством области существования конфигурации Хаббарда, имеющей то же число вращения. Таким образом гарантируется существование канторовой лестницы. В третьих, множество значений ф, при которых не существуют периодические конфигурации (множество "пробелов" канторовой лестницы) имеет лебегову меру нуль (канторова лестница полна). Все эти результаты имеют место
о>
при сходимости ряда £ , монотонности и положительности после-
1=1 1
довательности (у{), В доказательстве теоремы 2.3 применена теорема Гаусса о функции Эйлера: £ <р(т)=п.
л|п
В п. 2.5 дан пример одного из возможны! двумерных вариантов булевой усредняющей системы. В этом пункте мы не даем формальных оцределений двумерных периодических конфигураций и не формулируем точных умозаключений. Мы лишь демонстрируем численный эксперимент. в котором выявляются две двумерные периодические конфигурации, одна из которых переходит в другую при повороте на угол Это аналогично известному явлению двойникования кристаллов [571.
В п. 2.6 указаны феноменологические отличия булевой усредняющей системы от модели Буркова-Синая £7]. Выясняется, что в некотором невыпуклом варианте функции взаимодействия номенклатуры периодических конфигураций в указанных моделях различны (Теорема
20
2.4). В п. 2.7 доказывается, что в случае выпуклой последователь ности (к1) в процессе булева усреднения появляются все те и только те периодические конфигурации, которые являются равномерно 2-раскрашенными (Теорема 2.5). Теорема 2.5* несколько ослабляет условие теоремы 2.5.
В п. 2.8 вводятся определения самых слабых плюсов и минусов в периодических конфигурациях (Определение 2.5). Здесь приводятся результаты численного эксперимента, в котором постоянная ф в (0.1) заменена последовательностью (фп). При медленном уменьшении значений фп прежняя периодическая конфигурация сменяется другой, и именно самый слабый плюс прежней периодической конфигурации опрокидывается первым (Пример 2.3, Таблица 2.4). Аналогичная ситуация в эксперименте с увеличением фл и опрокидывающимся минусом (Пример 2.3, Таблица 2.5). Теорема 2.6 п. 2.8 устанавливает, что самый слабый плюс периодической конфигурации, представленной словом - компонентом J, является последним вхождением буквы + (плюс) в это слово. Дается и правило поиска самого слабого минуса в слове - компоненте J. Эти результаты дают дополнительный аргумент в пользу построения теории равномерного 2-раскрашивания на базе определенного автором множества «Г.
В этом же п. 2.8 ставится вопрос, выполняется ли так называемое "свойство трех щелей" для всех периодических конфигураций в любой булевой усредняющей системе (0.1), и дается отрицательный ответ на него (Пример 2.4). Так указано феноменологическое отличие булевой усредняющей системы от отображения первого возвращения* в группе вращений окружности, где "свойство трех щелей" выполняется. В п. 2.9 посчитана хаусдорфова размерность множества "пробелов" канторовой лестницы для степенной и показательной функции взаимодействия. Если 7 =С — (з>1, С>0), то хаусдор-
Л
- Київ+380960830922