Оглавление
1 Введение 3
2 Предварительные сведения 13
2.1 Терминальные особенности.................................... 13
2.2 Взвешенные раздутия......................................... 18
2.3 Вложенное торическое разрешение............................. 22
2.4 Род кривой на взвешенной проективной плоскости.............. 25
3 Горенштейновы терминальные особенности 28
3.1 Терминальные особенности типа сЛ.......................... 28
3.1.1 Случай с£>2* ........................................ 29
3.1.2 Случай с£>2*+1....................................... 35
3.1.3 Примеры ............................................. 39
3.2 Терминальные особенности типа сЕ.......................... 41
3.2.1 сЕ6.................................................. 42
3.2.2 сЕ1.................................................. 46
3.2.3 сЕ8.................................................. 48
3.2.4 Примеры ............................................. 48
4 Негореншетейновы терминальные особенности 51
4.1 Терминальные особенности типа сАх/4....................... 53
4.2 Терминальные особенности типа сАх/2....................... 57
4.3 Терминальные особенности типа сЛ/3........................ 59
4.3.1 сЛ/3 - 1............................................. 59
4.3.2 сЛ/3-2............................................... 59
4.3.3 сЛ/ 3-3.............................................. 60
4.4 Терминальные особенности типа сЛ/2........................ 62
4.4.1 сЛ/2 - 1............................................. 62
4.4.2 сЛ/2 - 2............................................. 63
4.5 Терминальные особенности типа сЕ/2........................ 66
2
Глава 1 Введение
Если в классический период развития алгебраической геометрии математики предпочитали работать с нсособыми многообразиями, то, начиная с середины XX века, особенности также подвергаются тщательному изучению. Одной из первых работ, тематика которой близка нашей, стала статья П. Дю Валя [10]. В ней были определены и классифицированы так называемые канонические, или дювалевские, особенности алгебраических поверхностей, а также описаны их минимальные разрешения. Позже изучение этих особенностей было возобновлено в работах представителей арнольдовской школы, см. [1], где их называют А-О-Е-особенностями. Однако истинная роль дк>-валевских особенностей и их обобщений в алгебраической геометрии стала ясна только в начале 80-х годов с появлением программы минимальных моделей (ПММ).
ПММ представляет собой обобщение теории минимальных моделей алгебраических поверхностей, развитой в основном усилиями итальянской школы в начале XX века, на алгебраические многообразия высших размерностей. Основные идеи ПММ были высказаны Ш. Мори и М. Ридом в статьях [24] и [29]. ПММ называют также программой Мори. В работах Ш. Мори, М. Рида, Ю. Каваматы, Я. Коллара, В. В. Шокурова и других математиков ПММ была завершепа для алгебераичсских многообразий размерности 3 над полем характеристики 0. Предполагается, что ПММ верна во всех размерностях и для полей произвольной характеристики. Доступное изложение этой теории содержится в [23].
ПММ состоит в выделении в каждом классе бирационально изоморфных многообразий представителя, наделённого некоторыми экстремальными свойствами. Он и называется минимальной моделью. Например, в размерности 2 ПММ приводит к классическим минимальным моделям поверхностей. Одним из самых существенных отличий ПММ в размерности 3 является тот факт, что минимальная модель оказывается, вообще говоря, особым многообразием. Однако особенности, возможные на минимальной модели, не
3
произвольны, а относятся к довольно узкому классу так называемых терминальных особенностей (это понятие и термин были введены в самой ПММ). Подробнее об особенностях алгебраических многообразий, возникающих в связи с ПММ, см. обзор В. А. Псковских [4].
Терминальные особенности размерности 3 над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до аналитического изоморфизма В. И. Даниловым, М. Ридом, Ш. Мори, Я. Колларом и Н. Шепард-Барроном ([3], [30], [25], [20]). Оказалось, что все терминальные особенности разбиваются на конечное число семейств. Горснштейновы особенности (т. с. такие, канонический класс которых в окрестности особой точки является дивизором Картье) — это в точности изолированные составные дюва-лсвские точки (с/Ж-точки), т. с. особенности, общее гиперплоское сечение которых — поверхность с дювалсвской особенностью. Негорснштейновы терминальные особенности представляют собой факторы изолированных сОУ-точек по некоторым циклическим группам. Подробную классификацию мы приводим ниже, см. гл. 2, часть 2.1, теоремы 2.1.3, 2.1.4 и 2.1.5. Далее мы рассматриваем только трёхмерные терминальные особенности, определённые над полем С комплексных чисел.
Ещё О. Зарисским было показано, что любая особенность трёхмерного многообразия над полем характеристики 0 допускает разрешение (см. [35]). Описание минимальных разрешений было существенной частью изучения дювалевских особенностей. Но о разрешениях трёхмерных терминальных особенностей до сих пор известно мало. В. И. Данилов в [3] построил так называемое экономное разрешение для терминальных особенностей, являющихся факторами гладких точек по циклическим группам. Все исключительные дивизоры такого разрешения — рациональные поверхности. М. Ридом в [29], следствие 2.14, было установлено, что исключительные дивизоры разрешения произвольной трёхмерной терминальной особенности являются бирационально-линейчатыми поверхностями. С другой стороны, ясно, что для любой кривой С можно построить такое разрешение данной трёхмерной особенности, что на нём есть исключительный дивизор Е, который как поверхность бирационально изоморфен поверхности СхР1. Поэтому результат М. Рида даёт полное описание бирациопального типа исключительных дивизоров в разрешениях трёхмерных терминальных особенностей.
Изучение исключительных дивизоров становится более интересным, если ограничиться только существенными дивизорами. Это понятие было введено Дж. Нэшем в работе [26]. Пусть (X, о) — росток особенности алгебраического многообразия или аналитического пространства и пусть 7г: У —» X — некоторое разрешение. Допустим, что исключительное множество морфизма 7Г
4
содержит простой дивизор Е. Дивизор Е называется существенным (для особенности (Х,о)), если сепЪегу'(^е) — дивизор для произвольного разрешения 7г': У7 —* X, где — дискретное нормирование ноля рациональных (мероморфных) функций С(Х), соответствующее дивизору Е. Грубо говоря, существенный дивизор — это дивизор, который входит в любое разрешение данной особенности. Дивизор Е называется дивизориалъпо существенным, если сегйегу'&е) “ дивизор для любого дивизориального разрешения 7Г7: У' —► X, т. с. разрешения, исключительное множество которого имеет чистую коразмерность 1. Заметим, что если дивизоры Е\ и Е2 над (Х,о) определяют одно и то же дискретное нормирование поля <С(Х), то как многообразия Е\ и Еъ бирационально изоморфны.
Критерий, выделяющий существенные дивизоры среди других, неизвестен. Но для терминальных особенностей есть простое достаточное условие, гарантирующее, что данный дивизор Е существен. А именно, если дискрс-пантность а(ЕуХ) < 1, то дивизор Е существен. Если соШегх(Е) — о и а(ЕуХ) ^ 1, дивизор Е дивизориально существен. Оба утверждения легко следуют из рассмотрения „домика Хиронаки” для двух разрешений теми-нальной особенности. Существование дивизоров с а(Е, X) < 1 над негорсн-штейновой терминальной особенностью (X, о) было показано Ю. Каваматой в [19]. Существование дивизоров с а(Е,Х) = 1 над горепштейновой терминальной особенностью (X, о) было показано Д. Г. Маркушевичем в [22] (1 — минимальное возможное значение дискрепантности над горенштейновой терминальной особенностью). Позднее В. В. Шокуровым было доказано, что дискрепантности терминальных особенностей индекса тп принимают все значения к/т, к = 1,..., т ([33]).
Оказалось, что бирациональный тип дивизоров с дискрепантностью а ^ 1 над терминальными особенностями допускает гораздо более точное описание, чем данное М. Ридом в [29]. Ю. Г. Прохоровым в [8] было установлено, что если (Х,0) — терминальная особенность типа с А/т, га ^ 1 (обозначения см. ниже в теореме 2.1.4), то все дивизоры Е над X с сепЪегх(Е) = о и а(Е, X) ^ 1 рациональны как алгебраические поверхности. Особенности этого типа принято рассматривать как „наиболее часто встречающиеся” (см. [1]). В то же время известно, что над терминальными особенностями других типов есть нерациональные дивизоры с дискрепантностью а < 1. Многочисленные примеры таких дивизоров приведены нами ниже в главах 3 и 4. Задача, которой посвящена наша работа, как раз и состоит в описании нерациональных дивизоров с дискрепантностью а(Е,Х) < 1 и се^егх(Е) = о над трёхмерными терминальными особенностями типа, отличного от сА/т.
Изучение разрешений терминальных особенностей не только интересно
5
само по себе, но и имеет связи с другими современными исследованиями в алгебраической геометрии. Описание раздутий с нерациональными исключительными дивизорами полезно в классификации рИ-раздутиЙ терминальных особенностей, которой посвящены статьи Ю. Г. Прохорова [27] и С. А. Кудрявцева [б]. Это, в свою очередь, требуется для классификации стягиваний Мори методом теории дополнений В. В. Шокурова ([32], [28)). Отметим также близкую по тематике серию работ М. Кавакиты [16], [17], [18] и работы Т. Хаякавы [12] и [13]. М. Кавакита классифицировал диви-зориальные стягивания из трёхмерного терминального многообразия У в терминальную, в частности гладкую, точку (Х,о). За небольшим числом исключений, все они оказываются тороидальными морфизмами. Из ПММ следует, что для любого геометрического дискретного нормирования V поля к(Х) с дискрепантностью а ^ 1 существует такое дивизориальное стягивание а: (У Э Е) —» (X э о), что У имеет канонические особенности и дивизор Е задаёт нормирование и. Поэтому, если бы классификация Кавакиты покрывала и случай стягиваний из канонических многообразий, то се, в принципе, можно было применить для решения нашей задачи. Однако известны примеры дивизориальных стягиваний из канонических многообразий в терминальные, которые не являются тороидальными морфизмами. Т. Хаякава описал все дивизориальные стягивания а: {У Э Е) —► (X э о) из терминальных многообразий в негоренштейновы терминальные особенности, где дивизор Е имеет минимальную дискрепантность. Многие из найденных им раздутий встречаются и у нас. Остальные раздутия Хаякавы нам не интересны, ибо они дают только рациональные исключительные дивизоры, и в то же время ряд наших раздутий не встречаются у Хаякавы, ибо мы описываем нерациональные дивизоры с дискрепантностью а ^ 1, а не только с минимальной.
Нами получены следующие результаты.
Теорема 1. Пусть трехмерная терминальная особенность (Х,о) имеет тип сД,+ь п > 3 и 7г: У —> X — произвольное разрешение. Тогда на многообразии У есть не более одного нерационального дивизора Е с центо-ром сепЬС1'х(Е) = о и дискрепантностью а(Е, X) — 1. Если особенность (Х,о) изоморфна особенности в С4, заданной стандартным уравнением ((2.1.2) или (2.1.3)), то при п — 2к — 1 нерациональный дивизор реализуется как один из исключительных дивизоров взвешенного раздутия с весом (к, к — 1,1,1), а при п — 2к — как один из исключительных дивизоров взвешенного раздутия с весами (к, к, 1,1). В обоих случаях Е представляет собой бирациопальпо-линейчатую поверхность над гипероллиптической кривой рода д ^ к — 1.
6
- Київ+380960830922