Ви є тут

Скелеты локально-конечных конгруэнц-модулярных многообразий и многообразий решеток

Автор: 
Мордвинов Яков Леонидович
Тип роботи: 
диссертация кандидата физико-математических наук
Рік: 
2000
Кількість сторінок: 
79
Артикул:
1000301806
179 грн
Додати в кошик

Вміст

У
Оглавление
1 Введение и необходимые сведения
по теории многообразий и их скелетам 3
1.1 Введение.............................................. 3
1.2 Необходимые сведения по теории многообразий
и их скелетам........................................ 13
2 Скелеты конгруэнц-модулярных многообразий 21
2.1 Скелеты локально-конечных неразрешимых многообразий . 21
2.2 Фактор-линейная упорядоченность счетных скелетов .... 32
3 Решеточные свойства счетных скелетов
дискриминаторных многообразий 36
4 Скелеты многообразий решеток 57
4.1 Полурешеточные свойства счетных скелетов многообразий решеток....................................................57
4.2 Проблема покрытия......................................62
4.3 Независимость отношений вложимости и эпиморфности . . 68
2
Глава 1
Введение и необходимые сведения по теории многообразий и их скелетам
1.1 Введение
При изучении строения различных классов алгебраических систем можно выделить два основных подхода: построение и изучение различных представлений систем из этого класса и изучение самого класса или систем из него при отождествлении изоморфных алгебраических систем. Такое отождествление, т. е. рассмотрение изоморфных алгебраических систем как единого объекта, типа изоморфизма, происходит в большом числе вопросов теории моделей и современной алгебры. В качестве одного лишь примера подобного вопроса назовем проблему спектра класса, т. е. нахождение числа неизоморфных систем данного класса, имеющих фиксированную мощность. А. Тарским, в монографиях [41,51], была поставлена задача изучения различных операций и отношений, ко-
4
3
торые возникают между типами изоморфизма алгебраических систем данного класса при перенесении на типы изоморфизма “алгебраически значимых” операций и отношений между алгебраическими системами. При изучении строения многообразий, в силу теоремы Г. Биркгофа [28], описывающей многообразия как классы алгебр, замкнутые относительно подалгебр, гомоморфных образов и декартовых произведений, важнейшая роль принадлежит изучению отношении ’’быть подалгеброй”, ’’быть гомоморфным образом”и операции декартова произведения. Решению задачи Л. Тарского служит изучение так называемых скелетов многообразий алгебраических систем, введенных в систематическое изучение Л. Г. Пннусом в работе [10]. С решением отмеченной выше задачи Л. Тарского и связана данная диссертация.
Введем некоторые обозначения. Готическими буквами 21, (Г, с верхними и нижними индексами будем обозначать алгебры. Букву 03 (с индексами) используем только для булевых алгебр. Классы алгебр будем обозначать буквами Я, 91 (возможно с индексами). Для любого кардинала К и любого класса алгебр Я через Як обозначаем совокупность Я-алгебр мощности, не большей чем N.
Если Я — некоторый класс алгебр, то через ^Я обозначим совокупность типов изоморфизма Я-алгебр. Заметим, что традиционный вопрос о спектре класса Я является вопросом о мощностях множеств $ЯН. Здесь Як = {21 6 Я : |21| = К}. Если а, с е §Я, т. е. являются типами изоморфизма некоторых Я-алгебр 21, <£, то пусть а < с {а «С с) имеет место тогда и только тогда, когда алгебра 21 изоморфна некоторой подалгебре алгебры С (21 является гомоморфным образом алгебры С). Для любого класса алгебр Я отношения <, < являются отношениями квазипорядка на £ЗЯ.
- 4 -
Скелетом вложимости многообразия 9Л (скелетом эпиморфиости Ш?) назовем квазнупорядочениый класс (ЗДШ; <) (($ШТ; <^)); К-ограничен-ным скелетом вложимости (эпиморфиости) многообразия Ш? будем называть <) ((ЗДШк; <^)). В частности, счетным скелетом вложимости
(эпиморфиости) многообразия Ш называется квазиупорядоченное множество (9ЯЛк0; <) ((39ЯКо; <)).
Дважды квазиупорядоченный класс (ЗЯЯ; <, <^С) называется двойным скелетом многообразия Ш. Будем говорить, что отношения вложимости < и эпиморфиости < независимы (финито независимы) на многообразии 9Я если любое (любое конечное) дважды квазиупорядоченное множество {Л\ <1, <2) изоморфно вложимо в двойной скелет многообразия ШТ.
Заметим, что скелеты вложимости и эпиморфиости многообразий занимают промежуточное положение между такими традиционными объектами универсальной алгебры как ” грубые” решетки подмногообразий с одной стороны и ’’тонкие”решетки конгруэнций и подалгебр — с другой. Действительно, как нетрудно заметить, для любого многообразия ШТ существуют изотопные отображения скелетов эпиморфиости и вложимости многообразия 9Л на решетку подмногообразий этого многообразия. С другой стороны, для любого бесконечного кардинала N существует антиизотонное отображение решетки конгруэнций Ш?-свободной К-порожденной алгебры на К-ограниченный скелет эпиморфиости ШТ (существует изотопное отображение решетки подалгебр ^-универсальной по вложимости Ш-алгебры,если таковая существует, на ^-ограниченный скелет вложимости 9Л).
Отметим, что эпизодическое изучение различных вопросов, связанных со скелетами конкретных многообразий и некоторых других классов алгебраических систем, проводилось в целом ряде работ различных
- 5 -
авторов. В работах Бонне [30,33] изучался скелет вложимости некоторых подклассов многообразия булевых алгебр. Большое число работ посвящено изучению скелетов вложимости и эпиморфностн класса линейно упорядоченных множеств. Среди них работы Фрессе, Поуза, Бонне, Лавера, Ландрайтиса и других. Сводку результатов такого рода можно найти в монографии Фрессе [36]. В ряде работ А. Г. Пинуса [1-6,8,9] также изучались вопросы, связанные со скелетами вложимости и эпи-морфности класса линейных порядков. Наиболее значимым из результатов о скелетах эпиморфностн и вложимости класса линейных порядков, по-видимому, является результат Лавера [46,47], давшего положительное решение проблемы Фрессе и даказавшего, что счетный скелет вложимости класса всех линейно упорядоченных множеств является лучшим квазипорядком и, в частности, не содержит бесконечно убывающих цепей и бесконечных антицепей. Большое число результатов о строении скелетов конгруэнц-днетрибутивных многообразий содержится в работах А. Г. Пинуса [7,10-27].
Основное внимание в данной диссертации уделено изучению скелетов конгруэнц-модулярных многообразий. Этот класс многообразий играет заметную роль в современной алгебре. Примерами конгруэнц-модулярных. многообразий являются все многообразия групп и колец, булевых алгебр и решеток, весь класс дискриминаторных многообразий, включающий в себя такие многообразия как многообразия алгебр Поста, цилиндрических алгебр, реляционных алгебр, многообразия, порожденные конечным множеством конечных полей, и целый ряд других. Известно решение Балдвимом - Маккензи [32] проблемы спеектра для класса конгруэгц-модулярных многообразий: для любого такого неабелевого многообразия 9Я, любого бесконечного кардинала К число типов изомор-
- 6 -