Оглавление
0.1. Введение......................................... 3
1. Свойство малого индекса для алгебр. 11
1.1. Предварительные сведения, определения и обозначения................................................ 11
1.2. Предварительные результаты.......................13
1.3. Основные результаты..............................19
2. Системы примитивных элементов и автоморфизмы свободных метабелевых алгебр Ли. 23
2.1. Свободные метабелевы алгебры Ли..................23
2.2. Главные идеалы конечно порожденных свободных метабелевых алгебр Ли, содержащие примитивные элементы..............................................26
2.3. Проблема сопряженности...........................30
2.4. /.Е-сводимость...................................32
2.5. Определяемость эндоморфизмов свободной мета-белевой алгебры Ли своим действием на конечных множествах элементов..................................33
2.6. Алгебраические эндоморфизмы......................41
2.6.1. Свободные коммутативные р—алгебры Ли. . 41
1
2.6.2. Свободные метабелевы алгебры Ли..........44
3. Определяющие соотношения в группах автоморфизмов свободных алгебр. 48
3.1. Определения и обозначения......................48
3.2. Определяющие соотношения группы Г.............51
2
0.1. Введение
Основным объектом исследования в настоящей диссертации являются группы автоморфизмов относительно свободных алгебр. Изучение групп автоморфизмов — одно из важнейших направлений современной математики. Это не удивительно, так как понятие автоморфизма тесно связано с различного рода симметриями, а многие основные свойства не только математических структур, но и природных объектов естественным образом объясняются их симметриями.
Диссертация содержит 64 страницы, состоит из введения, трех глав и библиографии. Список литературы состоит из 36 наименований.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
В первой главе изучаются группы автоморфизмов абсолютно свободных алгебр, свободных (анти)коммутативных алгебр, свободных алгебр Ли бесконечного счетного ранга над не более чем счетным полем. Установлено, что абсолютно свобдные алгебры, свободные (анти)коммутативные алгебры, свободные алгебры Ли бесконечного счетного ранга над не более чем счетным полем обладают свойством малого индекса.
Это понятие впервые возникло в теории моделей. Известно, что группа АЫМ автоморфизмов счетной модели М является польской группой (см. например [9]) в естественной топологии, определяемой поточечными стабилизаторами конечных подмножеств из М. Это означает, что группа Аи&М> является метризу-емым, сепарабельным, полным топологическим пространством.
3
В том случае, когда М обладает свойством малого индекса, топологическая структура АиЬМ полностью определяется ее групповой структурой. Это может быть использовано для изучения модели по ее группе автоморфизмов. Более полную информацию можно найти в обзорах [13] и [11].
Свойство малого индекса установлено в ряде других интересных случаев. Перечислим здесь некоторые модели, обладающие свойством малого индекса.
1. Бесконечное множество без структуры [18], [6].
2. Счетные плотные линейные порядки [19].
3. Счетные безатомные булевы алгебры [19].
4. Векторные пространства бесконечной счетной размерности над конечными или счетными полями [7]. .
5. ^-категоричные и;-стабильиые структ}фы [9].
В этой главе используются методы статьи [9] Ходжеса, Ход-кинсона, Ласкара и Шелаха, а также работы [2] Брайанта и Эванса, в которой установлено свойство базисной кофинально-сти для свободной группы бесконечного счетного ранга и, как следствие, свойство малого индекса для нее.
Последняя работа имеет важное значение. До нее прежде всего рассматривались а;—категоричные модели. В этой же работе было впервые замечено, что свойство базисной кофиналь-ности является очень сильным. Из него можно вывести ряд свойств, используемых для получения свойства малого индекса чисто теоретико-модельными методами. Фактически было показано, что свободные в многообразиях группы бесконечного счетного ранга часто обладают свойством малого индекса.
Например, в этот список можно включить группы, соответствующие нильпотентным многообразиям, произведениям абелевых многообразий.
В работе [3] доказано, что указанным свойством обладает произвольное подмногообразие произведения многообразия всех нильпотентных грз'пп данной произвольной ступени на многообразие всех абелевых групп. До сих пор нет ни одного примера свободной грз'ппы бесконечного счетного ранга в каком-нибудь многообразии, не обладающей свойством малого индекса, хотя известно, например, что свободная группа бесконечного счетного ранга в многообразии, порожденном неабелевой конечной простой группой, не обладает свойством базисной кофинально-сти [4].
В этой главе устанавливается свойство базисной кофинально-сти для свободной алгебры Ли бесконечного счетного ранга над не более чем счетным полем (лемма 6) и доказывается
Теорема 5. Пусть Ь относительно свободная алгебра Ли бесконечного счетного ранга над не более чем счетным полем, обладающая свойством базисной ко финально сти. Тогда алгебра Ь обладает свойством малого индекса. Более того, группа Аиі(Ь) не являет,ся объединением счетной последовательности собственных подгрупп.
Прямым следствием этой теоремы и леммы 6 является основной результат этой главы
Теорема 2. Свободная алгебра Ли бесконечного счетного ранга над не более чем счетным полем обладает свойством малого
- Київ+380960830922