ГЛАВА 2
МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ СВЯЗАННОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ В НАКОПИТЕЛЕ
При исследовании динамики связанного движения частиц в накопительных кольцах используются два основных подхода:
1. Метод в котором используются транспортные матрицы. [73, 89, 90];
2. Гамильтонов формализм с теорией возмущений [91].
2.1. Метод транспортных матриц
В натуральной системе координат (x1=x, x2=z, x3=s), связанной с произвольной плоской кривой, однозначно определяемой кривизной , уравнения траекторий частиц в магнитостатическом поле имеют вид [92]:
(2.1)
где Bx, Bz, Bs - компоненты ведущего магнитного поля, c - скорость света, p - импульс частицы, ? - радиус поворота равновесной частицы, ? - угол поворота равновесной траектории в магните.
Общие решения линеаризованных уравнений (2.1) записываются в матричном виде. Решения этих уравнений приведены в работах А.Чао [90], Х. Майса, Г.Рипкена [93], В.И.Котова [94]. Особый интерес представляют результаты Г.Рипкена по расширению теории Куранта - Снайдера на случай связанного синхро-бетатронного движения без привлечения приближения тонких линз. Результаты, полученные Г.Рипкеным, дали возможность исследовать эффекты, связанные с энергетическим разбросом и ошибками выставки элементов в линейном приближении и получать точные значения линейных параметров пучка.
Матрицы основных электромагнитных элементов структуры накопительного кольца имеют следующий вид:
Квадрупольная линза:
, (2.2)
где L - длина квадрупольной линзы, - сила квадрупольной составляющей поля, - градиент поля.
Повернутая квадрупольная линза:
, (2.3)
где - сила повернутой квадрупольной линзы.
Дипольный магнит в плоскости XS:
, (2.4)
где L - длина магнита, , , - показатель спада, re, me - классический радиус и масса покоя электрона.
Из общего вида матрицы дипольного магнита видно, что в зависимости от значения показателя спада n вид матрицы изменяется [92].
Аналогично с (2.3) можно записать матрицу дипольного магнита с ненулевой кривизной как в плоскости XS, так и в плоскости XZ с ненулевыми перекрестными элементами транспортной матрицы М13, 14, 23, 24, 31, 32, 41, 42, 36, 46 [93].
Транспортные матрицы, описывающие связанное движение частиц в накопителе, могут быть использованы для получения линейных характеристик магнитооптической структуры и ее интегральных характеристик. Кроме того, использование матричного формализма целесообразно при численном моделировании методом одночастичного трекинга. Идея использования транспортных матриц 7х7 для расчета некоторых линейных параметров пучка в накопительном кольце впервые была использована в программе SYNCH [95]. Впоследствии в программе SLIM этот же подход использовал А. Чао [90]. Эти программы были написаны в приближении тонких линз, что ограничивало возможности программ в рассмотрении многих эффектов.
2.2. Гамильтонов формализм
Применение гамильтонова формализма имеет ряд неоспоримых преимуществ при решении задач связанных с возмущениями:
* Имеется возможность рассматривать нелинейные силы точно так же как линейные;
* Метод позволяет решать задачу возмущений без предположений, базирующихся на малости возмущений;
* При использовании полного набора канонических переменных, преобразование фазового пространства всегда симплектично;
* Метод позволяет получать не только точные решения уравнений движения, но и интегралы движения.
Кратко остановимся на понятиях гамильтоновой механики [70, 96]. С помощью координатных преобразований можно получить различные эквивалентные формы уравнений движения. Одну из таких форм можно получить, вводя функцию Лагранжа [97, 98]:
, (2.5)
где обобщенные координаты и - пробегают все степени свободы, T - кинетическая энергия, U - потенциальная энергия. Уравнения движения в Лагранжевой форме для каждой координаты имеют следующий вид:
, (2.6)
где Qi - силы, не вытекающие из потенциала (силы трения).
Если определить гамильтониан как:
, (2.7)
то получим форму уравнений движения, содержащую только первые производные:
. (2.8)
Здесь pi - обобщенный импульс, который для нашего случая сводится к обычному импульсу. Если предположить, что все силы имеют потенциал (в этом случае Qi=0 ), то уравнения (2.8) сводятся к каноническим уравнениям Гамильтона:
, (2.9)
где H=H(p1,...,p3n,q1,...,q3n,t) - полная энергия частиц (кинетическая плюс потенциальная), qi - координаты положения частиц в прямоугольной системе координат, pi - соответствующие импульсы частиц.
Решая уравнения (2.9) относительно p и q как функций времени, в пространстве двух измерений с координатными осями p и q, можно проследить траектории движения в одном пространственном измерении n частиц от начального момента t1, отвечающего начальным pi1 и qi1, для каждой i-й частицы, до некоторого более позднего момента t2 . Пространство p-q называется "фазовым пространством".
Перехода от переменных p, q к новой группе переменных можно осуществить посредством некоторой функции, называемой "производящей функцией", зависящей от одной старой и одной новой переменных.
Выражения для всех возможных вариантов "производящей функции" и нового гамильтониана записываются в виде:
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Пользуясь каноническими преобразованиями (2.10-2.13), можно приводить исходную систему уравнений (2.9) к виду, наиболее приемлемому для решения.
На частицу в произвольном электромагнитном поле действует сила Лоренца:
, (2.14)
где - электрический и магнитный потенциал соответственно, e - заряд частицы, - скорость движения частицы во внешнем поле.
Введя обобщенный потенциал , и учитывая выражения (2.5 - 2.7), а также то, что выполняется соотношение , получаем выражение для гамильтониана частицы, движущейся в электромагнитном поле:
. (2.15)
Для релятивистской частицы, учитывая, что , выражения для компонент импульса и гамильтониана принимают вид:
(2.16)
При перех