РАЗДЕЛ 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМАХ
2.1. Математическая модель установившегося потокораспределения в трубопроводных транспортных системах
При решении задач проектирования и реконструкции трубопроводных транспортных систем, а также в процессе их эксплуатации, в частности на этапах оперативного и долгосрочного планирования требуемого потокораспределения в них, широкое распространение получила математическая модель установившегося потокораспределения в этих сетях, которую можно представить в виде
(2.1)
(2.2)
где - как правило, монотонно возрастающая нечетная функция
, а - монотонно убывающая или постоянная функция , т. е.
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Здесь E - множество дуг графа трубопроводной транспортной системы; - аэро- или гидродинамическое сопротивление и расход целевого продукта j - го участка трубопровода; - матрица фундаментальных циклов для ветвей дерева; - множества дуг графа, отнесенных к ветвям дерева и хордам соответственно; ; ; .
Предполагается, что принципиально в магистральном участке может находиться активный источник, направление которого совпадает с выбранным направлением этого участка; , если в j-м участке есть такой активный элемент и в противном случае. Причем хотя бы для одного.
Система (2.1), (2.2) при условиях (2.3)-(2.5) является системой ( -цикломатическое число графа транспортной системы) нелинейных уравнений при линейном уравнении связи, где v - количество вершин этого графа. Причем , где . Решение системы (2.1), (2.2) относительно расходов целевого продукта называется решением прямой задачи анализа или цифровым моделированием распределения целевого продукта в транспортной системе.
Модель (2.1), (2.2) была получена при следующих предположениях:
а) трубопроводная транспортная система структурно может быть представлена в виде большого числа взаимосвязанных подсистем трех типов: нагрузок, или потребителей, активных элементов, линий связи. Причем в качестве потребителя в сети рассматривается реальный или эквивалентный участок, называемый фиктивным (или стоком) и направленный от какого-либо узла графа транспортной системы к некоторой точке с нулевым давлением. К активным элементам, или источникам, следует отнести вентиляционные установки (для вентиляционных сетей), а также насосные и компрессорные станции (для гидравлических и газовых сетей). Линии связи (пассивные элементы) представляют собой участки трубопровода. Поскольку с увеличением расхода по такому участку потери напора возрастают, а при равных, но противоположных по направлению расходах они одинаковы по абсолютной величине, но противоположны по знаку, зависимость потери напора от расхода является монотонной и нечетной функцией (2.3), (2.4). К пассивным элементам следует также отнести различные регулируемые и нерегулируемые задвижки (запорную арматуру);
б) каждая подсистема i характеризуется двумя переменными величинами: последовательной (расходом) и параллельной (потерей напора) , рядом параметров, а также выбранным направлением. Потеря напора представляет собой разность давлений, под которой находится газ или жидкость в начале и конце i-го участка трубопровода. Иногда для газа в качестве параллельной переменной берется разность квадратов давлений;
в) взаимосвязь между основными элементами трубопроводной транспортной системы, т. е. её структура может быть представлена в виде линейного графа;
г) общий поток жидкости или газа, подаваемый в сеть, равен суммарному потоку, потребляемому из сети;
д) в сети имеют место законы Кирхгофа (постулаты сетей):
алгебраическая сумма расходов в любом узле сети равна нулю;
суммарная потеря напора по любому замкнутому циклу (контуру, кольцу) также равна нулю.
Указанные предположения дают возможность рассматривать трубопроводную транспортную сеть как сильно связный линейный граф, на котором определены два закона Кирхгофа. Этот граф содержит вершин и дуг, каждой из которых поставлены в соответствие ряд активных и пассивных элементов и две переменные величины: расход целевого продукта, или последовательная переменная , и потеря напора, или параллельная переменная , связанные между собой монотонной зависимостью. Термины "последовательная" и "параллельная" переменные подчеркивают основную характеристику переменных и по способу их измерения, а именно: последовательная переменная (расход) измеряется при последовательном включении измерительного прибора, а параллельная (потеря напора) ? при параллельном подсоединении последнего.
Совокупность величин и () образует два - мерных вектора: и .
Эти векторы характеризуют состояние потокораспределения в сети, а их текущие (например, i-е) компоненты связаны зависимостью, определяемой параметрами активных и пассивных элементов соответствующей (i-й) ветви сети, но не зависящей от геометрической структуры последней. С другой стороны, первый постулат сетей позволяет найти зависимость между составляющими вектора , второй ? зависимость для компонентов вектора . Эти зависимости определяются только графом сети, т.е. ее геометрией . Система е уравнений для ветвей совместно с е уравнениями, вытекающими из законов Кирхгофа, и является той математической моделью процесса потокораспределения в трубопроводной транспортной сети, которая однозначно отражает взаимосвязь между переменными, параметрами и структурой сети.
Очевидно при этом, что модель (2.1), (2.2), полученная при использовании метода контуроразделения, должна быть дополнена в общем случае e уравнениями для параллельной переменной
(2.6)
здесь
(2.7)
параллельная переменная j-го пассивного элемента,
(2.8)
параллельная переменная j-го активного элемента; , если направление последовательной переменной j-й дуги графа трубопроводной транспортной системы совпадает с выбранным направлением этой дуги; в противном случае; , если ; , если . Предполагается