ГЛАВА 2
РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОВОГО И ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
2.1. Общая схема решения краевых задач вариационно-структурными методами
При решении краевых задач используется традиционная схема реализации прямых методов, которая сводится к последовательному выполнению следующих этапов [17]:
- учет геометрической информации (в разностных методах - построение сетки, в классических вариационных - координатных последовательностей, в структурном методе - построение структуры решения , );
- формирование разрешающих систем линейных алгебраических уравнений
, . (2.1)
Так как неопределенная компонента , то , где .
В (2.1) элементы aij и bi определяются в общем случае по формулам:
; (2.2)
, (2.3)
где Ia и Ib - функции, которые могут быть полиномами, элементарными, финитными и другими функциями.
Так как функции Xi имеют вид единого аналитического выражения, то их дифференцирование осуществляется по точным алгоритмам на ЭВМ. Трудоемким является процесс вычисления интегралов по областям сложной формы. Важным вопросом является формирования матриц. В зависимости от выбранных структур решения и необходимых аппроксимационных средств существенно изменяется тип матрицы (полная, ленточная, блочная, разреженная и др.), поэтому в каждом конкретном случае используются специальные приемы, обеспечивающие формирование, обработку и хранение полученных матриц;
- обработка полученных матриц и решение систем линейных алгебраических уравнений или проблемы собственных чисел и векторов (отыскание ненеизвестных коэффициентов сj). В качестве результатов в процессе обработки получают числа обусловленности матриц, значения собственных чисел и векторов, искомые решения систем уравнений и т.д. Метод решения алгебраической задачи выбирается в зависимости от способа хранения и типа матрицы. После решения задачи линейной алгебры, после нахождения неопределенных компонент структуры решения, осуществляется оформление результатов на основе полученного решения. Так как решение задачи имеет вид аналитического выражения, легко получают различные дифференциальные или интегральные характеристики, относящиеся ко всей области или отдельной ее части, самого выражения и, если необходимо, его суперпозиции с другими элементарными функциями. Результаты решения задач выдают на печать и другие устройства в виде графиков, таблиц, картин линий уровня, аксонометрических построений и т.д.
2.2. Структуры решений задач теплопроводности для основных типов краевых условий
Приведем примеры структур решения, удовлетворяющих граничным условиям Дирихле, Неймана и третьего рода.
Решение неоднородной задачи Дирихле было получено Л.В. Канторовичем. Его математическая запись имеет вид:
. (2.4)
Структуры решения задач теплопроводности c краевыми условиями второго и третьего рода записываются следующим образом:
, (2.5)
, (2.6)
где - оператор дифференцирования, определяемый по формуле (1.46).
Для нахождения неизвестных коэффициентов неопределенной компоненты Ф применим один из вариационных методов - метод Ритца, который при краевых условиях (1.12) и модели (1.6) приводит к минимизации функционала:
, (2.7)
где - коэффициент теплопроводности.
Обозначим , где , а . Так как , то
. (2.8)
Тогда . Метод Ритца приведет к минимизации функционала
. (2.9)
Система алгебраических уравнений для определения cij будет иметь вид:
(2.10)
где для осесимметричного тела элемент .
2.3. Алгоритм решения задачи термоупругости для однородного осесимметричного тела
При решении задачи термоупругости (1.18)-(1.20) вариационно-струк-турным методом выполняется следующая последовательность действий [21]:
1. Строятся уравнения участков границы рассматриваемой области , а затем общее уравнение границы области в виде .
2. Строится структура решения задачи теплопроводности в виде (1.34), которая точно удовлетворяют всем или части краевых условий.
Структура решения задачи теплопроводности, например, при условиях (1.12) на границе тела имеет вид:
. (2.11)
3. После нахождения функции распределения температуры Т переходим к решению задачи теории упругости (1.19)-(1.20), для решения которой находим компоненты ur и uz вектора перемещений.
Структуры решения задачи термоупругости имеют вид:
(2.12)
где неопределенные компоненты Фi1 и Фi2 представляются так: , , а Ф12=Ф22=0, , , - элементы некоторой полной последо-вательности функций.
Используя представление , ,
(, при и при ) и
, (2.13)
, (2.14)
, (2.15)
, (2.16)
коэффициенты находим, минимизируя функционал энергии:
, (2.17)
что приводит к алгебраической системе уравнений
, (i=1,2...,n), (2.18)
где
, (2.19)
. (2.20)
Принимая во внимание соотношения
, , (2.21)
где E - модуль упругости, а - коэффициент Пуассона и , будем решать вариационную задачу о мини