РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ ПОКРИТТЯ ПОВЕРХНІ
В розділі 1 окреслені геометричні задачі, що виникають при побудові викройок. Більшість з них пов'язана з побудовою покриття поверхні. У цьому розділі розглядаються саме такі з них. У розділі 2.1 пропонуються базові методи побудови покриття [6,104]. У розділах 2.2 - 2.5 вирішуються проблеми, що виникають при побудові покриття і спрямовані на придання універсальності базовим методам.
При викладанні алгоритмів у роботі не наводяться формули аналітичної геометрії, що є змістом довідкової літератури [2,22,73,101]. В додатку Д приведені базові програмні модулі, які відтворюють відповідні алгоритми.
2.1. Базові методи побудови покриття
2.1.1 Побудова рівноланкової сітки на параметризованій гранній поверхні
За постановкою точки {Ci,j} дискретного покриття повинні належати вихідній поверхні ?. Моделлю ? поверхні прийнята чотириангульована "гранна" поверхня, що допускає просторові чарунки. При розв'язанні даної задачі використовується спосіб [104], за яким точки покриття будуються на основі перерізів вихідної поверхні взаємно перпендикулярними площинами, що належать нормалі поверхні у деякій точці. Переріз поверхні відшукується як апроксимуюча рівноланкова ламана, довжина ланки якої дорівнює деякій величині h. Поточна точка сітки Ci+1,j+1 (рис.2.1) будується на ? поверхні за умови рівності ланок Ci,j+1, Ci+1,j+1, та Ci+1,j, Ci+1,j+1. Для її побудови через точку О, що є серединою відрізка Ci,j+1, Ci+1,j, проводимо площину Т так, щоб вона була перпендикулярна даному відрізку. Нехай Pk - поточна грань ? поверхні, а g - лінія її перетину з площиною Т. Точка Ci+1,j+1 належить цій лінії і знаходиться на відстані R від точки О, де R=?(O,Cij). Оскільки ? поверхня може складатись з просторових та плоских чотирикутних, а також трикутних чарунок, то при роботі з поточною гранню породжується її локальна параметризація з параметрами u та v, що змінюються від нуля до одиниці так, що перша точка зі списку точок грані має значення Р1(00), друга - Р2(10), третя - Р4(11), четверта - Р3(01). У випадку трикутної чарунки породжується фіктивна четверта точка Р3 на середині останнього ребра.
Тоді білінійна параметризація гіперболічного параболоїду
Р=Р1(1-u)(1-v)+P2u(1-v)+ P3(1-u)v+ P4?uv (2.1)
однаково придатна, як для просторової чарунки, так і до трикутника. На рис.2.2 показана параметрична сітка, яка породжується у цьому випадку на трикутнику.
Параметричне рівняння лінії g знаходиться при спільному розв'язанні рівняння (2.1) та рівняння площини Т з коефіцієнтами A,B,C,D. У неявному вигляді воно записується:
.
З нього, вводячи позначення (i=1,2,3,4), отримуємо рівняння, розв'язане відносно u
, (2.2)
або відносно v
. (2.3)
Нехай точки G1 і G2 ? граничні точки лінії g із значеннями параметрів (u1,v1) та (u2,v2). Тоді ці параметри набувають одне з таких значень:
Якщо |v1-v2| ? |u1-u2|, то точка Ci+1,j+1 знаходиться наближеним методом поділу відрізка параметрів [v1v2] навпіл, при мінімізації величини , де координати - поточної точки наближення, знаходяться за (2.2) і (2.1). В іншому випадку використовується відрізок параметрів [u1u2] та формули (2.3) і (2.1).
Алгоритм побудови покриття послідовний і, як усі послідовні обчислювальні алгоритми, може накопичувати похибку. Одним з запобіжних заходів по її усуненню є проведення площини Т через точку О, а не через точку Cij. Геометрично такі площини збігаються, а з оглядом на точність обчислень можуть мати розбіжність. Прийнятий спосіб коректує можливе відхилення. Другий прийом - заміна величини R=?(О,Cij), що отримується на попередньому кроці на еквівалентну
Цих заходів достатньо, щоб забезпечити обчислювальну незалежність побудови поточної точки. Експеримент підтвердив, що на точність побудови не впливає кількість чарунок і при обмеженні ?=?min=h?10-8 відносна похибка становить , де - реальна довжина довільної ланки покриття.
З алгоритмічної точки зору, найбільш суттєвим є знаходження грані Pk, на якій розташована поточна вершина покриття. На розміри граней вихідної моделі і довжину h не встановлено обмежень і як одна грань може містити кілька чарунок {Cij}, (рис.2.3), так і одна чарунка {Cij} може перекривати кілька граней (рис.2.4).
В процесі побудови покриття, його вершини "шукають" межу, якою можуть бути як ребра природньої межі ? поверхні, так і ребра штучно побудованих швів, що мають властивість "Lim". На рис.2.3 наведено приклад побудови сітки, яка досягла природної межі, а на рис.2.4 сітка обмежена штучною межею.
На відміну від ? поверхні, покриття {Cij} моделюється як двовимірна сітка, точки якої задані як об'єкти з сімома властивостями: три декартові координати, номер k грані ? поверхні, на якій вона була побудована, параметри u,v цієї точки на Рk грані, та властивість "Lim", якої набувають точки, що досягли природної чи штучної межі. Ці точки при індексній розгортці сітки задають контур викройки. Вигляд викройки залежить від початкових умов. Всього може бути побудована чотирипараметрична множина покриттів, які відрізняються положенням точки на поверхні (2 параметри), орієнтацією січних площин (1 параметр) та величиною h, але на вигляд викройки найбільш суттєво впливає орієнтація площин, що задає напрям нерозтяжних ниток.
При виконанні певних технологічних умов індексна розгортка сітки може стати основою побудови реальних викройок елементів м'яких меблів.
Рис. 2.1. Побудова поточної точки покриття.Рис. 2.2. Білінійна параметризація трикутника.
Рис. 2.3. Приклад побудови покриття з природними межами.
Рис. 2.4.Приклад побудови покриття з штучними межами.
2.1.2. Згладжувальна апроксимація гранної поверхні рівноланковою сіткою
Пропонуєтьс