РАЗДЕЛ 2
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ КОДОВ
Прогнозирование вероятностей П, W, Z и V соответственно отсутствия, наличия, обнаружения и необнаружения ошибок в выходной последовательности Yк канала как функций параметров n и k равновесного кода при текущем состоянии КС необходимо для решения задачи (1.9) оптимизации процесса передачи сообщений методом адаптивного кодирования. В данном разделе на основе теоретических положений, касающихся оценки помехоустойчивости неразделимых кодов [18,37,38, 81], рассматриваются вопросы наблюдаемости вероятностей П, W, Z и V вычислительными методами и характера их изменения при вариации параметров n и k равновесного кода. Определяются принципы построения алгоритма адаптации и области эффективного применения равновесных кодов в информационных системах.
2.1. Вероятностные характеристики помехоустойчивости неразделимых
кодов
Рассмотрим опубликованный в [81] метод оценки помехоустойчивости неразделимых кодов. Исходное сообщение Xj?Qп, j= генерируется источником сообщений (рис.1.1) с вероятностью Pj (см. п.1.1.2) и поступает в кодер (рис.1.2), который осуществляет преобразование Xj?Xкj сообщения Xj в помехозащищенную кодовую комбинацию Xкj?Qр, j= из множества Qр разрешенных кодовых комбинаций применяемого неразделимого кода. Естественно полагать, что мощность Mр множества Qр удовлетворяет соотношению
, (2.1)
соблюдение которого гарантирует осуществимость кодирования любой кодовой комбинации из множества Qп. Выполнение условия (2.1) осуществимости кодирования с очевидностью обеспечивается соответствующим выбором характеристических параметров неразделимого кода. Имеет место очевидное отношение включения множеств
, (2.2)
где Qдв - множество мощностью Мдв=2n всех двоичных кодовых комбинаций длиной n простого двоичного кода.
Множество Qр упорядочим отношением
, (2.3)
где Qрп и Qрн - множества разрешенных кодовых комбинаций Xкj с номерами j=1,...,Mп и j=Mп+1,...,Mр соответственно.
Упорядочение множества Qр позволяет принять следующие положения. Все кодовые комбинации Xкj с номерами j=1,...,Mп, составляющие множество Qрп, находятся во взаимно однозначном соответствии с одинаковыми по нумерации исходными сообщениями Xj, j=1,...,Mп и выдаются кодером с вероятностями Pj, j=1,...,Mп. Все остальные кодовые комбинации Xкj, составляющие множество Qрн, выдаются кодером с вероятностями Pj=0, j=Mп+1,...,Mр. Тогда будет иметь место равенство
. (2.4)
В процессе передачи по КС кодовая комбинация Xкj?Qр преобразуется в одну из возможных двоичных последовательностей Yкi?Qдв. Множество Qдв можно представить в виде объединения множеств Qр и Qз, второе из которых представляет собой множество запрещенных кодовых комбинаций Yкi, i=:
. (2.5)
В результате однократной передачи по КС (рис.1.2) разрешенной кодовой комбинации Xкj?Qрп полученная на его выходе кодовая комбинация Yкi?Qдв будет принадлежать одному из следующих подмножеств множества Qдв:
1) одноэлементному множеству {Xкj}, j?{1,...,Mр};
2) множеству Qз запрещенных кодовых комбинаций Yкi, i= мощностью Mдв-Mр;
3) множеству Qнj разрешенных комбинаций с необнаруживаемыми ошибками мощностью Мр-1, отличающемуся от множества Qр отсутствием элемента Yкj=Xкj.
Различие множеств Qнj и Qр можно выразить отношением
Qр=Qнj?{Xкj}, ?j?{1,...,Mр}. (2.6)
Первый исход передачи кодовой комбинации Xкj по КС интерпретируется как переход j-ой разрешенной кодовой комбинации в себя (правильный переход), происходящий с вероятностью Pjj. Второй исход интерпретируется как переход j-ой разрешенной кодовой комбинации в i-ю запрещенную (обнаруживаемый ошибочный переход), происходящий с вероятностью , а третий - как переход (необнаруживаемый ошибочный) j-ой разрешенной кодовой комбинации в i-ю разрешенную, происходящий с вероятностью . Имеет место очевидное тождество
. (2.7)
Воспроизведем (с точностью до обозначений) изложенный в [81] вероятностный анализ процесса передачи множества исходных сообщений по КС без исправления обнаруживаемых ошибок. В качестве показателей помехоустойчивости неразделимого кода используются доли Dп, Dw, Dz и Dv соответственно правильных переходов, ошибочных переходов, обнаруживаемых и необнаруживаемых ошибочных переходов. Выражения этих показателей имеют вид
, (2.8)
, (2.9)
, (2.10)
. (2.11)
Пределы суммирования в формулах (2.8), (2.10) и (2.11) установлены на основании упорядочения множеств Qр и Qдв, в соответствии с отношениями (2.5) и (2.6). Повторяя передачу множества сообщений сколько угодно раз, по всей совокупности испытаний будем получать точно такие же выражения долей Dп, Dw, Dz и Dv. Следовательно, они равны вероятностям П, W, Z и V переходов входных последовательностей канала соответственно в себя, в любые ошибочные, в запрещенные (содержащие обнаруживаемые ошибки) и разрешенные ошибочные (содержащие только необнаруживаемые ошибки в количестве не менее одной):
, (2.12)
, (2.13)
. (2.14)
Суммированием правых частей (2.12), (2.13) и (2.14) с учетом (2.4) и (2.7) подтверждаются тождественные равенства
, (2.15)
, (2.16)
. (2.17)
Завершая обсуждение известных результатов исследования помехоустойчивости неразделимых кодов, приходим к следующему заключению. При использовании любого неразделимого кода вероятности П, V, Z и W идентифицируются вычислительными методами по формулам (2.12-2.16) при наличии информации о вероятностях генерирования источником всех исходных сообщений из их множества Qп, а также о вероятностях перехода кодовой комбинации Xк в себя, в обнаруживаемую и необнаруживаемую ошибочные комбинации.
2.2. Вероятностные характеристики помехоустойчивости равновесных кодов
В основу методики оценки помехоустойчи