РАЗДЕЛ 2
УРАВНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
ПЕРЕМЕННОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КОНФИГУРАЦИИ
Основная идея метода конечных элементов (МКЭ) в перемещениях применительно к
задачам механики состоит в следующем: сплошная среда (область, конструкция)
разбивается на подобласти (конечные элементы). В пределах каждого из элементов
деформирование среды описывается с помощью отдельного набора выбранных функций,
представляющих собой усилия, перемещения, скорости и ускорения. Принимается,
что элементы взаимодействуют только в конечном числе отдельных точек - узлах,
поэтому все перечисленные величины выражаются через их значения в узловых
точках. Для каждого элемента составляются узловые уравнения равновесия, а
затем, на основе их, строятся уравнения равновесия всей системы конечных
элементов (производится “сборка” конструкции из элементов). На конструкцию
налагаются связи, запрещающие ее перемещения без деформирования – условия
закрепления и начальные условия. Из решения полученной системы уравнений
определяются узловые перемещения, а затем деформации и напряжения.
Однако применение МКЭ к задачам динамики систем с изменяемой геометрией требует
дополнительных исследований. Один из таких возможных подходов развивается в
данной главе.
2.1. Дифференциальные уравнения динамики конечного элемента
МКЭ. в решении динамических задач без учета демпфирования приводит к следующему
матричному дифференциальному уравнению движения отдельно взятого элемента [13,
29, 31, 32]:
, (2.1)
где - векторы узловых ускорений и перемещений при упругом деформировании
соответственно;
, - матрицы жесткости и масс, зависящие от физико-механических постоянных и
вида конечного элемента;
- вектор внешних по отношению к элементу узловых сил.
Матричное уравнение (2.1) - условие равновесия сил, приложенных в узлах К.Э. в
каждый момент времени в системе координат, связанной с элементом (локальных
координатах). Для построения системы уравнений конструкции, уравнения (2.1)
преобразуются к неподвижной системе координат, общей для всей совокупности
элементов (глобальным координатам). Внешний вид уравнений при этом сохраняется,
матрицы коэффициентов при узловых неизвестных остаются постоянными, однако
зависят от ориентации локальной системы координат каждого элемента относительно
глобальной. Затем производится “сборка” конструкции из элементов – строится
система уравнений узлового равновесия для всей конструкции [32, 48, 52].
Уравнения вида (2.1) применимы тогда, когда отдельные части конструкции не
имеют взаимных перемещений как абсолютно твердые тела в процессе
функционирования. В этом случае матрицы жесткости и масс постоянны. Однако, у
большинства машин отдельные конструктивные узлы получают существенные взаимные
смещения при выполнении рабочей операции. В таких задачах непосредственно
уравнения (2.1) использовать нельзя, так как в них не содержатся члены,
определяющих движение конечного элемента как твердого тела. Для описания
динамики систем с переменной геометрией следует построить систему уравнений
движения, которая бы учитывала указанное обстоятельство.
Дифференциальные уравнения движения отдельного конечного элемента с учетом
деформирования могут быть получены в форме уравнений Лагранжа II рода в виде
[43, 44]:
(2.2)
где , - кинетическая и потенциальная энергии КЭ соответственно,
N – число степеней свободы элемента (узловых перемещений),
- обобщенные координаты и скорости,
- обобщенные внешние силы, приложенные в узлах элемента.
Для построения таких уравнений следует выразить Т и П через узловые
перемещения, приняв их за обобщенные координаты.
В МКЭ перемещения любой внутренней точки элемента должны определяться через
конечное число узловых перемещений. Функции, используемые для такой
аппроксимация, называются функциями формы КЭ [45, 46, 52]. Как правило, это
полиномы. Выбор количества узлов в элементе, числа узловых перемещений и
степени аппроксимирующих полиномов обеспечивает многообразие конечных
элементов.
При помощи функций формы перемещения внутренней точки можно записать в виде
(2.3)
где - вектор упругих перемещений произвольной точки внутри элемента,
- матрица, элементами которой являются функции формы. Число столбцов этой
матрицы равно суммарному числу узловых перемещений, число строк – числу
степеней свободы точки. Конкретный вид матрицы зависит от формы конечного
элемента.
Для обеспечения сходимости решения метода конечных элементов, функции формы
должны удовлетворять следующим (критериям): [46, 50, 63]
1. При движении элемента как абсолютно твердого тела узловые перемещения должны
быть такими, чтобы это не приводило к возникновению деформации элемента.
2. От функции формы требуется, чтобы в случае, когда узловые перемещения
соответствовали условию постоянной деформации, это состояние действительно
реализовывалось в элементе. Критерий 2 согласуется с критерием 1, т.к. нулевая
деформация есть частный случай постоянной.
3. Функции формы должны обеспечивать совместность деформаций между элементами.
Рассмотрим конечный элемент произвольной формы, движущийся в пространстве.
Свяжем его со следующими системами координат (рис 2.1)
Система координат - (описание переносного движения) неподвижная, общая для всей
конструкции, состоящей из конечных элементов. Ее принято называть глобальной
системой координат.
- локальная система координат, (описание относительного движения) жестко
связанная с элементом. Выбор начала ее в пределах конечного элемента обусловлен
только удобством и простотой получения необходимых соотношений. В этих
координатах