РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА ІНТЕРВАЛЬНОЇ АРИФМЕТИКИ ДЛЯ
ОБЧИСЛЕННЯ ДОПУСКІВ
Оператори інтервальної арифметики для обчислення допусків
Основним недоліком існуючих інтервальних арифметик Каухера, Маркова, Кахана і
т. ін. [64, 73, 74] при обчислені допусків є те, що вони не враховують усіх
особливостей обчислення допусків, зокрема не дозволяють отримати напівдопускову
і повну допускову множину розв’язків [75]. Виникають також утруднення із
практичним застосуванням загального виразу (1.31) для операцій множення і
ділення. Тому для цього використовуються або зведення формул [63, 67] або
спеціальні таблиці [65]. Але вони також не розв’язують задачу більш прозорого
формування результатів арифметичних операцій.
Застосування інтервальної арифметики для обчислення допусків при проектуванні
РЕА неминуче пов’язано з необхідністю врахування дії зовнішніх впливів. Ця
задача в інтервальній арифметиці стала розглядатись тільки в останній
час [76-79].
При практичному застосуванні інтервальних методів обчислення допусків необхідно
усунути вказані недоліки. Першочерговою задачею при цьому є визначення
операторів, які повинні використовуватись при розв’язанні допускових задач і
враховувати можливість отримання напівдопускової і повної допускової множин
розв’язків. Виникає також необхідність розробки більш прозорих правил
застосування операторів інтервальної арифметики і врахування дії зовнішніх
впливів.
При визначенні операторів інтервальної арифметики будемо вважати, що межи
результуючого інтервалу арифметичної операції вибираються з множини сполучень
арифметичних операцій над межами інтервалів. Вибір елементів множини
здійснюється за допомогою подвійного застосування операторів пошуку
екстремальної підмножини. При кожному пошуку упорядкована множина розділяється
на дві підмножини з рівною кількістю елементів.
ОЗНАЧЕННЯ 2.1. Елементи упорядкованої множини , визначаються за допомогою
співвідношень:
; (2.1)
; (2.2)
; (2.3)
. (2.4)
ТЕОРЕМА 2.1 (пряма операторна). Результуючий інтервал прямої арифметичної
операції визначається виразами:
де ; .
Доведення. Результуючий інтервал при операції додавання визначається виразами:
(2.9)
Ранжування елементів множини призводить до таких послідовностей:
, (2.10)
, (2.11)
, (2.12)
, (2.13)
Вибір елементів послідовностей (2.9)–(2.13) за допомогою
співвідношень (2.5) –(2.8) завжди призводить до виразу (2.9). Аналогічно
доводиться придатність співвідношень (2.6) і (2.7) для неправильних a і
правильних x інтервалів.
Розв’язки інтервального рівняння
(2.14)
при , , , надаються на рис.2.1 для допускової (рис.2.1, а) та керованої
(рис.2.1, б) множин розв’язків. З використанням наведених на рис.2.1 позначень
меж інтервалу результуючий інтервал при множенні визначається виразами:
(2.15)
Ранжування елементів множини для цього випадку множення інтервалів призводить
до послідовностей:
, (2.16)
, (2.17)
, (2.18)
, (2.19)
Вибір елементів послідовностей (2.16)–(2.19) за допомогою
співвідношень (2.5)–(2.8) призводить до виразу (2.15). Аналогічно доводиться
придатність операторів (2.5)-(2.8) для інших сполучень ненульмістивних
інтервалів.
Вибір операторів при множенні нульмістивних інтервалів розглянемо за допомогою
графічного розв’язку на рис.1.4. Множенню правильних інтервалів
а)
б)
Рис. 2.1 Розташування допускової (а) і керованої (б)
множин розв’язків інтервальних рівнянь при
відповідає випадок , . Якщо виконуються умови:
,
то множення призводить до інтервалу
. (2.20)
Ранжована послідовність
відповідає застосуванню операторів (2.5). Інші випадки множення правильних
нульмістивних інтервалів також призводять до використання цих операторів.
Множення правильного і неправильного інтервалів відповідають межам , . Якщо
виконуються умови:
,
то множення призводить до інтервалу:
. (2.21)
Ранжована послідовність
відповідає застосуванню операторів (2.6). Аналогічно доводиться застосування
операторів (2.6)–(2.8) для інших співвідношень між елементами множини й інших
сполучень правильних і неправильних інтервалів. Оскільки операції віднімання і
ділення можуть бути перетворені до операцій додавання і множення, то
оператори (2.5)–(2.8) можуть використовуватися й у цих випадках.
У інтервальній арифметиці звичайні для дійсних чисел відповідності між прямими
й зворотними арифметичними операціями набувають інтервального характеру, що
призводить до подвоєння числа арифметичних операцій у інтервальній арифметиці
(табл.2.1).
Таблиця 2.1
Відповідність між прямими й зворотними операціями в інтервальній арифметиці
Операція
Позначення
Пряма
/
Зворотна
ПРОПОЗИЦІЯ 2.1. Будемо вважати, що результат прямої арифметичної операції
існує.
Це дозволяє здійснювати зворотне ділення двох нульмістивних інтервалів.
Процедура може розглядатися як розкриття невизначеності виду 0/0. Очевидно, що
результуючий інтервал зворотної арифметичної операції також визначається за
допомогою операторів (2.5)–(2.8). Умови їхнього застосування визначаються
теоремою 2.2.
ТЕОРЕМА 2.2 (зворотна операторна). Результуючий інтервал зворотної арифметичної
операції визначається виразами:
крім випадків
де ** , , , ; ; .
Доведення. Зворотні арифметичні операції можуть бути перетворені до прямих
шляхом застосування оператора dual до правого операнду [73]:
. (2.28)
Співвідношення (2.28) перетворить умови виразів (2.22)-(2.25) до
умов (2.5)-(2.8).
Вирази (2.26) відповідають пошуку внутрішніх меж керованої множини
розв’язків (1.51). Для зображеного на рис.1.6 випадку вони призводять до
інтервалу:
. (2.