РОЗДІЛ 2
ДИСКРЕТНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТВІРНИХ КВАЗІКАНАЛОВИХ ПОВЕРХОНЬ
2.1. Конструювання та управління формою центрально-організованої ДПК, що
обмежує задану площу
Пропонується спосіб побудови твірної квазіканалової поверхні у вигляді
центрально організованої ДПК, яка обмежує задану площу і проходить через
визначені точки [57].
2.1.1. Формування дуги ДПК.
Постановка задачі. За визначеними вихідними даними, серед яких площа, яка
обмежується дискретно представленою кривою лінією та віссю абсцис, побудувати
ДПК методом сил за умови перетину всіх векторів зовнішніх зусиль, що діють на
вузли, у загальному центрі, який лежить на осі абсцис.
Частину площини заданої площі, що обмежена замкненою ДПК або дугою ДПК і
відрізками будь-яких прямих, надалі, для стислості, будемо називати «зона
ДПК».
З точки зору управління формою та врахування наперед заданих вимог найбільш
універсальним і конструктивним способом формування дискретно представлених
кривих та дискретно представлених поверхонь є спосіб сил [61, 84].
Його сутність полягає в тому, що на кожний вузол ДПК діє зовнішнє зусилля, яке
врівноважує сили у в’язях, котрі сходяться в цьому вузлі. Якщо сили у в’язях
прямо пропорційні довжинам цих в’язей, рівновага системи описується системою
лінійних рівнянь рівноваги вузлів ДПК.
Рівновага плоскої ДПК, наприклад, описується системою різницевих рівнянь:
(2.1)
де i - номер вузла ДПК,
, - координати і-го вузла ДПК,
k - коефіцієнт пропорційності зусиль і довжин відповідних в’язей ДПК,
- проекції зовнішніх зусиль, прикладених до вузлів ДПК, на відповідні осі.
Система рівнянь (2.1) описує довільну ДПК, бо в кожному її вузлі завжди можна
визначити зовнішню силу Pi , яка врівноважить суму зусиль, що виникають у парі
суміжних в’язей.
Властивість 2.1. Якщо вектори зовнішніх зусиль Pi , прикладених до вузлів
плоскої ДПК, перетинаються в спільній точці Т на прямій, що з’єднує початковий
О та кінцевий N вузли ДПК, то вектори цих зусиль поділяють зону, яка обмежена
ДПК і прямою ON, на рівновеликі трикутники (рис. 2.1).
Дійсно, паралелограм ACDB подібний паралелограму сил AGHF, тому що довжина
векторів зусиль у в’язях AB і AC, які сходяться в довільному вузлі ,
пропорційна довжинам цих в’язей. Тому вершина D належить діагоналі AH
паралелограма сил, а вектор поділяє діагональ BC паралелограма ABCD навпіл.
Трикутники BAT і ACT із загальною стороною АТ мають рівні висоти, а отже і
рівні площі.
Прив’яжемо ДПК до прямокутної декартової системи координат так, як це показано
на рис. 2.1. Тоді властивість 2.1 дозволяє визначити залежність між ординатою
y1 першого (Е) або останнього yn-1 (R) незакріплених вузлів ДПК з однієї
сторони, та площею S, яку обмежує ДПК та вісь Ох - з іншої:
, (2.2)
де n - число трикутників , на які поділяється зона ДПК (число в’язей ДПК);
n+1 - число вузлів ДПК.
З формул (2.2) можна визначити ординати першого й останнього незакріплених
вузлів ДПК за заданою площею S:
(2.3)
. (2.4)
Ординати інших незакріплених вузлів визначаються при розв’язанні системи
рівнянь рівноваги вузлів ДПК (2.1). Для цього за допомогою лінійного графіка
задається розподіл проекцій зусиль Pi на вісь ординат між вузлами ДПК.
Умови рівновеликості трикутників, на які поділяється зона ДПК, дозволяє вивести
формулу для визначення абсциси довільного вузла. Площа трикутника ОЕТ
визначається згідно з вихідними даними:
. (2.5)
Площа довільного трикутника АВТ визначається, як різниця площ прямокутника і
трьох трикутників (рис. 2.2):
, (2.6)
а із врахуванням того, що формула приймає такий вигляд:
(2.7)
Дорівнюючи (2.5) та (2.7), одержимо:
(2.8)
У відповідності з (2.8) визначаємо абсциси незакріплених вузлів ДПК:
………………………………………………..
(2.9)
Формула (2.9) у скороченому вигляді з урахуванням (2.3) приймає такий вигляд:
. (2.10)
Формула (2.10) дозволяє визначати абсциси вузлів ДПК за заданими: площею S
зони ДПК, абсцисою незакріпленого вузла та ординатами всіх вузлів ДПК.
Відповідно до формули (2.10), після визначення ординат вузлів ДПК, параметром
абсциси довільного вузла є абсциса першого незакріпленого вузла , яку задаємо
вільно і яка може служити параметром управління формою ДПК.
Приклад 1 (рис. 2.3). Вихідні дані: центр Т (40; 0), число вузлів ДПК n+1=7,
координати вузлів О (0; 0) і N (90; 0), площа зони ДПК S=2400 кв. од.
Необхідно побудувати ДПК при лінійному розподілі координатних складових
зовнішніх сил між вузлами кривої: .
За формулами (2.3) і (2.4) визначаються ординати першого та останнього
незакріплених вузлів ДПК: ; .
Складемо систему (2.1) рівнянь рівноваги проекцій зусиль на вісь ординат із
врахуванням лінійного розподілу :
або (2.11)
де ; .
Ординати незакріплених вузлів визначаються при розв’язанні системи рівнянь
рівноваги вузлів ДПК (2.11) (див. перший і другий рядки табл. 2.1). Далі, за
формулою (2.10), розраховуються їх відповідні абсциси:
(2.12)
Варіювання значенням абсциси у системі (2.12), при постійній площі S, дозволяє
керувати формою ДПК. У табл. 2.1 (останні 3 рядки) наведено розрахунки абсцис
вузлів ДПК при = 0, = -10, = 10. ДПК, що побудовані за даними табл.
2.1 (рис. 2.3), обмежують однакову площу S=2400 кв. од. над віссю абсцис.
Неважко помітити, що кожну з побудованих ДПК можна одержати з іншої (при різних
значеннях параметра ) перетворенням зсуву [27] відносно осі абсцис із невласним
центром, у напряму тієї ж осі. Дійсно, формули (2.9) і (2.
- Київ+380960830922