РОЗДІЛ 2
АНАЛІТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ТЕПЛОВОЇ ВЗАЄМОДІЇ ГАЗОПРОВОДУ І ГРУНТУ
2.1. Математичні моделі і їх аналіз
При транспортуванні газу за допомогою трубопроводів відбувається нагрівання
грунту, що оточує газопровід. Перш ніж перейти до складання математичних
моделей процесу нагрівання грунту введемо ряд обмежень на самі фізичні процеси,
що відбуваються при його нагріванні.
Грунт є дисперсним і не цілком однорідним середовищем з неоднаковою вологістю
по його глибині. Для вологих грунтів необхідно при теплообміні розглядати
взаємопов’язано процеси переносу тепла і вологи [56]. В зонах розповсюдження
мерзлих грунтів мають місце фазові переходи води в лід і навпаки. Врахування
всіх цих факторів привело б до значного ускладнення математичної моделі, яку
практично надзвичайно важко було б реалізувати. І навіть саме складання
математичної моделі у цьому випадку можливе тільки на стохастичному рівні.
У зв’язку з цим обмежимо своє розглядання тільки відносно сухими
непромерзаючими і слабовологими сезоннопромерзаючими грунтами. Такі грунти
розглядаються як квазіоднорідне тверде тіло, до якого можна застосувати модель
“еквівалентної теплопровідності” [57]. У цих грунтах перенос тепла за рахунок
грунтової вологи незначний і ним можна знехтувати. Оскільки температура газу в
трубопроводі менша 1000С, то фазові переходи води в пару в грунті не
враховуються. Теплофізичні властивості грунту в діапазоні можливих температур
газу в трубопроводі практично не залежать від температури і їх приймаємо
сталими. І накінець, тепловий потік у грунті вздовж осі газопроводу надзвичайно
малий у порівнянні з тепловим потоком у поперечному напрямі (на 4-5 порядків),
а тому теплову задачу в грунті слід розглядати як плоску задачу.
На рис.2.1 зображена схема однониткового газопроводу. Область , яка
нагрівається газом, включає в себе грунт 1, ізоляцію труби 2 і трубу 3. Тобто
область нагрівання – це кусково-однорідна область. Тепло передається від газу
стінці труби і далі за рахунок теплопровідності відбувається нагрівання труби з
ізоляцієї і грунту, а з поверхні грунту має місце тепловіддача в повітря.
Рис. 2.1. Схема розміщення однониткового газопроводу:
1 – грунт; 2 – ізоляція труби; 3 – труба
Оскільки область нагрівання є кусково-однорідною, то її теплофізичні
характеристики залежать від координат і . Враховуючи все сказане, процес
нагрівання грунту з трубою і ізоляцією можна описати такою математичною моделлю
(модель 1):
, (2.1)
, , (2.2)
, (2.3)
де - координати точок;
- температурне поле в області ;
- теплофізичні характеристики твердих тіл в області (функції відповідно
коефіцієнта теплопровідності, питомої теплоємності і густини);
- час;
- коефіцієнти теплопровідності відповідно матеріалу труби і грунту;
- внутрішня нормаль, проведена через границю ;
- коефіцієнти тепловіддачі від газу в трубу і від грунту в повітря
(узагальнений);
- температура газу і температура повітря;
- природне температурне поле в грунті в момент .
Оскільки область є кусково-однорідною і непростою (півплощина з отвором),
теплофізичні характеристики якої є функціями координат точок області, а
температури газу і повітря є функціями від часу, то точна аналітична реалізація
цієї моделі неможлива. Задача (2.1)-(2.3) може бути розв’язана або числовими
методами, або, наприклад, структурним методом (методом R-функцій) [58,59].
Вказані методи є непростими і вимагають значної затрати часу на їх реалізацію.
Тому математичну модель (2.1)-(2.3) доцільно використовувати для перевірки
точності більш простих моделей процесу нагрівання грунту від газопроводу.
Математичну модель (2.1)-(2.3) можна значно спростити, якщо відкинути трубу з
ізоляцією і на границі ізоляції з грунтом поставити таку граничну умову
(рис.2.2):
, (2.4)
при цьому, як відомо [17,29]
, (2.5)
де - коефіцієнт теплопередачі від газу в грунт;
- внутрішня нормаль, проведена через границю ;
- товщина -го шару ізоляції і його коефіцієнт теплопровідності;
- кількість шарів ізоляції;
- товщина стінки трубопроводу.
Рис. 2.2. Область теплової дії однониткового газопроводу (модель 2)
Всі інші рівняння спрощеної моделі будуть
, (2.6)
, , (2.7)
де - коефіцієнти теплопровідності і температуропровідності грунту (тут і далі
застосовується вказане позначення замість ).
Рівняння (2.4)-(2.7) є простішою математичною моделлю процесу нагрівання грунту
навколо однониткового газопроводу (модель 2).
Виграш у простоті моделі є одночасно певним програшем у точності температурного
поля, яке описує модель 2. Це пояснюється тим, що коефіцієнт , знайдений за
формулою (2.5), є точним для стаціонарного теплового режиму. У випадку
нестаціонарного режиму коефіцієнт відрізнятиметься від свого стаціонарного
значення. Ця різниця не повинна бути суттєвою, оскільки товщина стінки труби і
ізоляції є незначними у порівнянні з шаром грунту над верхньою твірною труби.
Дану модель можна реалізувати не тільки числовим чи структурним методом, але і
методом, що пов’язаний з використанням конформного відображення, можна
застосувати наближений аналітичний метод, описаний у [53] і деякі інші.
Якщо теплову дію газопроводу замінити лінійним джерелом тепла змінної
потужності, то отримаємо ще простішу математичну модель (модель 3) процесу
нагрівання грунту навколо газопроводу у такому вигляді (рис.2.3):
, , (2.8)
, , (2.9)
де - дельта
- Київ+380960830922