РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА МОДЕЛЕЙ інвестиційного портфеля,
що містить безризикові та ризикові активи
2.1. Оптимізація дохідності інвестиційного портфеля, один з активів якого не
супроводжується ризиком, а інші незалежні між собою
Проведемо дослідження інвестиційного портфеля, один з активів якого не
супроводжується ризиком. Здебільшого безризиковими вважаються облігації
державної позики, які забезпечують гарантовану дохідність. Інші активи портфеля
вважаються такими, що випадкові величини дохідностей їх незалежні між собою,
тобто кореляція між дохідностями нульова.
Нехай потрібно сформувати інвестиційний портфель з активів, дохідності яких є
незалежними випадковими величинами з математичними сподіваннями та дисперсіями
. При цьому дисперсія дохідності одного з активів нульова, оскільки один з
активів безризиковий, скажімо, . Такими, як правило, вважаються активи,
фіксована дохідність яких гарантується державою.
Розглянемо задачу про обчислення таких часток вкладень в активи, які б надавали
максимального значення математичному сподіванню дохідності портфеля
(2.1)
при допустимому фіксованому рівні ризику
. (2.2)
З рівності
(2.3)
визначимо
(2.4)
і підставимо її у формулу (2.1):
. (2.5)
З формули (2.2) виразимо
, (2.6)
де .
Підставивши вираз (2.6) у формулу (2.5), отримаємо математичне сподівання
дохідності портфеля як функцію незалежних змінних
. (2.7)
Щоб знайти точки екстремуму функції (2.7), обчислимо її частинні похідні за
змінними
. (2.8)
Прирівнявши отримані похідні до нуля, отримаємо систему з (п – 2) рівнянь
, . (2.9)
Оскільки ліві частини в рівняннях системи (2.9) невідўємні, то для існування
дійсних розвўязків цієї системи необхідно, щоб такими ж були і її праві
частини:
, . (2.10)
Вважаючи, що умови (2.10) виконуються, перетворимо систему (2.9)
, ;
; . (2.11)
Для зручності розвўязування системи (2.11) введемо позначення
,, (2.12)
, . (2.13)
З врахуванням цих позначень отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з
невідомими
, . (2.14)
Систему (2.14) можна записати у більш наочній формі
. (2.15)
Обчислимо головний визначник системи (2.15) (п – 2)-го порядку
. (2.16)
Як відомо з теорії детермінантів довільний визначник (п – 2)-го порядку є сумою
(п – 2)! доданків, кожен з яких є добутком (п – 2) його компонентів. Так,
наприклад, при п = 7 визначник 5-го порядку – це сума з 5! = 120 доданків,
кожен з яких є добутком 5-х множників, а при п = 9 отримується сума з 7! = 5040
доданків, кожен з яких є добутком сімох компонент.
Однак обчислення визначника (2.16), якщо врахувати структуру його компонентіів,
можна значно спростити.
Лема. Визначник (2.16) можна обчислити за формулою
. (2.17)
Доведення. Поряд з визначником розглянемо визначник
. (2.18)
Детермінант отримується з , якщо з його 1-го стовпчика винести , з другого – ,
і т.д., з (п – 2)-го – . Отже, отримуємо формулу
. (2.19)
Отже, залишається довести формулу
(2.20)
Для цього у визначнику (2.18) від кожного з перших стовпчиків віднімемо
наступний і отримаємо
. (2.21)
Скориставшись правилом Лапласа, розкладемо визначник (2.21) по останньому
стовпчику. В результаті отримаємо
що і треба було довести.
Як бачимо, формула (2.17) набагато економніша, ніж загальна, оскільки містить
лише (п – 2) доданки, тобто 5 доданків замість 120 при п = 7, чи 7 доданків
замість 5040 при п = 9.
Як видно з формули (2.17), головний визначник системи (2.15) додатний, оскільки
Di > 0 і згідно формули (2.13) , а, отже, ця система сумісна і має єдиний
розвўязок.
Для того щоб знайти цей розвўязок за правилом Крамера, потрібно обчислити ще (п
– 2) допоміжні визначники (п – 2)-го порядку:
У кожному з цих визначників з кожного стовпчика винесемо спільні множники.
Отримаємо:
.
Отримані формули можна узагальнити так:
, , (2.22)
де – визначники, які не залежать від дисперсії портфеля . Потрібно тепер
обчислити визначники . У першому з них від кожного стовпчика, починаючи з
другого віднімемо перший.
Скориставшись в даному визначнику правилом Лапласа [106] його розкладу за
компонентами першого рядка, отримаємо:
. (2.23)
Відповідно в 2-му визначнику від кожного стовпчика, крім другого, віднімемо
компоненти 2-го стовпчика
Аналогічно отримаємо
. (2.24)
Відповідно, віднімаючи у від кожного стовпчика 3-й (крім самого третього),
отримаємо:
, (2.25)
і т.д.
Останній з допоміжних визначників також зводиться до обчислення одного
добутку:
. (2.26)
Узагальнюючи формули (2.23)-(2.26), можна отримати наступну:
. (2.27)
Підставивши отриманий результат (2.27) у формулу (2.22), дістаємо допоміжні
визначники в досить наочній формі
. (2.28)
Використовуючи формули (2.17) та (2.28) знайдемо розвўязок системи лінійних
рівнянь (2.15)
, . (2.29)
Як видно з формул (2.13) та (2.29), отримані розвўязки додатні , а, отже,
зважаючи на формулу (2.12), отримаємо розвўязок системи рівнянь (2.11) з
додатними компонентами
, . (2.30)
Якщо при цьому точка, координати якої визначаються формулою (2.30), належить
області визначення функції , то ця точка задовольняє необхідні умови екстремуму
(згідно відомої теореми Ферма) [106].
Однак точка, яка задовольняє необхідні умови екстремуму, може бути або точкою
максимуму функції – кращий для особи, що приймає рішення, випадок, або точкою
мінімуму – найгірший варіант розподілу коштів між активами, або й взагалі не
бути ні точкою максимуму, ні точкою мінімуму.
Тому потрібно дослідити достатні умови екстремальності точки з координатами
(2.30). Для цього обчислимо частинні похідні другого порядку функції:
Продиференціюємо спочатку кожну
- Київ+380960830922