РАЗДЕЛ 2
ОДИН КОНСТРУКТИВНЫЙ МЕТОД ОТОБРАЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ЛИНЕЙНЫЕ
В данном разделе рассмотрен вопрос глобального отображения нелинейной системы
дифференциальных уравнений на линейную систему с помощью замены переменных. Для
класса треугольных систем такое отображение построено конструктивно.
Исследуется вопрос об отображении треугольных управляемых систем на линейные.
Выделен класс треугольных управляемых систем, отображающихся на линейные без
замены управления. Для этого класса получено точное решение задачи
быстродействия.
2.1. Отображение нелинейных неуправляемых систем на линейные
Пусть задана система дифференциальных уравнений
(2.1)
где компоненты вектор-функции f непрерывно дифференцируемы n раз.
Рассмотрим вопрос о существовании отображения вида
(2.2)
где компоненты вектор-функции F(x) непрерывно дифференцируемы n раз,
переводящего систему (2.1) в линейную систему
(2.3)
где - постоянная матрица в форме Фробениуса,
Необходимые и достаточные условия такого отображения дает следующая теорема.
Теорема 2.1. Для того, чтобы система (2.1) отображалась на линейную систему
(2.3) с помощью отображения (2.2), необходимо и достаточно, чтобы существовала
функция такая, чтобы выполнялось равенство
(2.4)
где - производная k-го порядка в силу системы (2.1), и отображение z=F(x),
задаваемое равенством
(2.5)
было биективным.
Доказательство. Необходимость. Пусть при отображении (2.2) система (2.1)
переходит в систему (2.3). Тогда, поскольку то для компонент отображения F
справедливы равенства
Поэтому из уравнения следует равенство (2.4).
Достаточность. Пусть функция удовлетворяет (2.4). Обозначим
Тогда и в силу (2.4) т.е. z удовлетворяет системе (2.3). Поскольку по
предположению оператор , определяемый (2.5), является биективным, то
достаточность доказана.
2.2. Отображение треугольной неуправляемой системы на линейную
Соотношение (2.4), с одной стороны, можно рассматривать как дифференциальное
уравнение относительно неизвестной функции при заданной правой части системы
(2.1). С другой стороны, можно выбрать функцию и задать (n-1) функцию
произвольным образом, но так, чтобы отображение F(x) было биективным, а
соотношение (2.4) рассматривать как уравнение относительно оставшейся функции .
Тем самым мы выделим систему, которая отображается на систему (2.3) с помощью
замены (2.2). Этот прием особеннo эффективен для треугольных систем, т.е.
систем вида
(2.6)
В этом и следующем разделах будем рассматривать отображение вида
Зададим функции тогда соотношение (2.4) не будет содержать производных
неизвестной функции что позволяет при известных предположениях легко найти эту
функцию.
Пусть - дифференциальные операторы вида
(2.7)
где I – тождественный оператор. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.2. Пусть в системе (2.6) функции являются (n-i+1) раз непрерывно
дифференцируемыми и удовлетворяют в неравенствам
(2.8)
а функция связана с функциями соотношением
(2.9)
где - некоторые константы, а операторы определены равенствами (2.7).
Тогда система (2.6) отображается на линейную систему (2.3) с помощью замены
переменных (2.5), где
(2.10)
Доказательство. Действительно, пусть в системе (2.6) функция имеет вид (2.9).
Проведем замену переменных (2.5), положив . Для треугольной системы (2.6) она
имеет следующий вид
Дифференцируя компоненты вектора z в силу системы (2.6), имеем
Докажем равенство
(2.11)
Доказательство проведем по индукции. Имеем Пусть справедливы равенства
Установим его справедливость при k=s. По определению оператора получаем
Так как функции и при не зависят от то, учитывая предположения индукции
имеем
Равенство (2.11) установлено. Тогда для получаем
Таким образом, в новых переменных система имеет вид (2.3) . Покажем также, что
отображение (2.10) биективно. А именно, покажем, что систему уравнений
можно однозначным образом разрешить относительно для любых . Эту систему будем
разрешать последовательно: из первого уравнения системы по известному найдем ,
из второго уравнения системы при известных и найдем , и так далее, из
последнего уравнения системы при уже известных найдем . Установим, что
уравнение при известных однозначно разрешимо относительно . Для этого
воспользуемся доказанным равенством
Из условия теоремы следует, что для всех
Поскольку является непрерывной функцией, то последнее неравенство означает, что
при любых фиксированных функция , рассматриваемая как функция переменной ,
отображает на все взаимно однозначно. Тогда по теореме о неявной функции
уравнение при заданных имеет единственное решение , что доказывает биективность
отображения (2.10).
Теорема 2.2 доказана.
2.3. Отображение нелинейных управляемых систем на линейные
В этом подразделе для треугольной управляемой системы
(2.12)
рассмотрим вопрос об отображаемости с помощью замены переменных (2.5) на
(2.13)
Известно, что система (2.13) линейным невырожденным преобразованием приводится
к виду
(2.14)
где
и - коэффициенты характеристического полинома матрицы А. Следовательно,
отображаемость на систему (2.13) сводится к отображаемости на систему (2.14).
Теорема 2.3. Пусть в системе (2.12) функции являются (n-i+1) раз непрерывно
дифференцируемыми и удовлетворяют нер