РОЗДІЛ 2
РОЗРЯДНО-логарифмічне ПРЕДСТАВЛЕННЯ ДАНИХ
У даному розділі розглядаються основні положення розрядно-логарифмічного
представлення даних в ЕОМ. Представлений алгоритмічний базис виконання
арифметичних і логічних операцій над даними, представленими в
розрядно-логарифмічному коді. Пропонується аксіоматичний підхід в аналізі
арифметичних операцій. Матеріали даного розділу опубліковані в [53],[54],[55].
2.1. Основні положення розрядно-логарифмічного представлення даних
Основні положення розрядно-логарифмічного представлення наступні [47,48]. Нехай
А - двійкове число розрядністю n представлене у форматі з фіксованою комою: А=
ai pi , де ai О{0, 1}, p = 2 - основа системи числення.
Кожен розряд ai , який не дорівнює нулю (aipi № 0) , можна представити у виді
номера позиції (розряду) Ni . Таким чином, двійкове число А представляється
набором номерів ненульових розрядів:
А ®® АN = { N1 , N2 , …, Ni , …, Nn},
де Ni - номер ненульового розряду (aipi №0).
Перехід від двійкової форми представлення А к формі, де кожен ненульовий
розряд представлено своїм номером, визначається однозначно і реалізується без
додаткових функціональних перетворень - виконується операція підстановки по
кожному ненульовому розряду.
Якщо ненульовий розряд числа А представлений номером цього розряду в
позиційному коді, який (номер) кількісно дорівнює логарифму від ваги, який
визначається цим розрядом
Ni=i=log2aipi,
то така форма представлення числа А визначається як розрядно-логарифмічна (РЛ)
[47]. Двійкові числа А=1101000101 і В =101101101 у РЛ представленні мають
наступний вид: АN = 9.8.6.2.0. і BN = 8.6.5.3.2.0. Для зворотного переходу в
двійкове представлення (двійковий код) необхідно застосувати операцію
дешифрування. Для кодування можна використовувати операцію логічного додавання
двійкового числа й ступенів двійки. Для дешифрування необхідно скласти двійки в
ступенях, показники яких знаходяться в масиві РЛ числа.
Для зображення номера ненульового Ni розряду потрібно ]log2(n+1)[ двійкових
розрядів ( ].[ найбільше найближче ціле), де n - розрядність операнда. У
пам'яті ЕОМ n - розрядне число з кількістю значущих (ненульових) розрядів
рівним Q займає об’єм рівний Q*] log2(n + 1) [ біт. Необхідно відзначити, що
для представлення операнда, що не має значущих розрядів (рівного нулю), варто
застосовувати дескриптор, що позначає рівність нулю даного операнда. Найбільше
практично застосовна структура РЛ представлення з указівкою кількості значущих
одиниць. Операнд АN з Q(A) значущими одиницями записується (для фіксованої
коми) як sign A, Q(A), AN і, тому що для запису Ni необхідно ]log2(n + 1)[
розрядів, займає обсяг
V = Q*]log2(n+1)[ + ]log2(n +1)[ +1 біт.
Моделювання інформаційних потоків при реалізації розрядно-логарифмічного
представлення даних в ЕОМ показує, що реальні числа представлені у виді масиву
з кількістю елементів від 5-7 до 15-20. Наприклад, операнд А = + 1011.0101
представимо як:
Sign A, Q(A), N1 N2 N3 N4 N5 ®® 0,5,3.1.0. - 2. - 4.
Застосування РЛ представлення дозволяє побудувати єдину структуру для
плаваючої (ПК) і фіксованої (ФК) коми. Для ПК можна збільшити розрядність
зображення кожного номера ненульового розряду на один біт і додати до кожного
номера значення порядку, якщо порядок виражається показником ступеня двійки.
Отже, структура узагальненого представлення для ПК і ФК має вид:
sign A
N1 + p
N2 + p
N1 + p
Nn + p
де р - порядок.
Використання єдиної структури для даних дозволяє спростити організацію як
апаратних, так і програмних засобів.
Визначимо діапазон зміни чисел в ЕОМ при використанні РЛ представлення. Нехай
Вmax, Bmin - числа, що відповідають максимальним і мінімальним значенням, n -
довжина розрядної сітки. Якщо коефіцієнт перекриття діапазону S для двійкового
представлення визначається як S = Bmax/Bmin [49], то для РЛ представлення
аналогічно як SРЛ = ВNmax/BNmin. Мантиса двійкового операнда А з розрядністю n
може бути використана для зображення номера позиції значущої одиниці при РЛ
представленні числа А. При розрядності n максимальне число (максимальний номер)
визначається як 2n -1 і з огляду на те, що номер значущої одиниці записується
зі знаком, визначимо максимальне ВNmax і мінімальне число BNmin при РЛ
представленні:
BNmax = і BNmin = .
Коефіцієнт перекриття діапазону SРЛ дорівнює SРЛ= , що значно більше, ніж при
розрядності рівній n. Відзначимо, що при РЛ представленні збільшується
розрядність від n2 до nРЛ = 2(2n - 1). У табл. 2.1 приведені кількості
двійкових розрядів n2 і розряди РЛ представлення nРЛ, які одержані при
кодуванні у відповідних n2, а також діапазони зміни чисел D при розрядних
сітках nРЛ.
Таблиця 2.1
Діапазони зміни чисел
n2
10
nРЛ
255
511
1023
2047
2-127 ЈЈx ЈЈ 2+127
2-255 ЈЈ x ЈЈ 2+255
2-511 ЈЈ x ЈЈ 2+511
2-1023 ЈЈ x ЈЈ 2+1023
Розширення діапазону зміни даних є основою для підвищення точності обчислень у
засобах обчислювальної техніки. На відміну від традиційного представлення
чисел, РЛ коди дозволяють скоротити вплив фактора округлення, тому що поряд з
найбільш значущими розрядами числа можливо зберігати найменш значущі розряди,
що звичайно відкидалися. Зазначена властивість має важливе практичне значення:
наприклад при цифровій обробці сигналів з'являється можливість комплексної
обробки сигналів з великими і малими амплітудами.
2.2. Арифметико-логічний базис операцій в ЕОМ з використанням
розрядно-логарифмічного представлення
Спосіб представлення чисел визначає правила виконання й алгоритми виконуваних
операцій. Розглянемо реалізацію машинних операцій у РЛ представленні.
- Київ+380960830922