Ви є тут

Лінійні дискретні ігрові задачі з розмитими множинами.

Автор: 
Онищенко Вікторія Валеріївна
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2003
Артикул:
0403U002287
129 грн
Додати в кошик

Вміст

розділ 2.3. Мінорантні ігрові задачі
для дискретних систем
Переміщення об'єкту описується системою різницевих рівнянь:
, (t=0, 1, ...), (2.3.1)
де z(t) - n-вимірний вектор стану об'єкта, z(t)?Rn, u(t), v(t) - керуючи параметри гравців P та E із областей керування U(t), V(t) розмитих по Заде на t кроці (або в t момент часу), U(t), V(t)?Rn, А(t), B(t), C(t) - невироджені постійні матриці розмірності nn.
Задано термінальну множину М, на яку гравець Р намагається вивести вектор стану об'єкта, а гравець Е йому протидіє.
По аналогії з нестаціонарною мажорантною грою вводиться множина досяжності гравця Р за один крок в силу системи (2.3.1).
Позначемо через Р2 оператор, який ставить у відповідність множині Z множину досяжності гравця Р із множини Z за один крок в силу системи (2.3.1) в мінорантній нестаціонарній грі.
Лема 2.3.1.
, (2.3.2)
де , () - невироджені постійні матриці розмірності nn системи (2.3.1), визначаються рекурентними співвідношеннями (2.1.2), Z - довільна розмита множина, U(t) і V(t) - області керування гравців на t кроці, розмиті по Заде.
Доведення: Оскільки дискримінується гравець Е, то на кожному кроці він вибирає своє керування де V(m) - розмиті множини з функціями належності і повідомляє його супернику. Враховуючи, що керування гравця Р має вигляд , де U(j) - розмиті множини з функціями належності , а також властивість 1.2.17, отримаємо потрібну формулу.
В подальшому важливу роль будуть відігравати оператори в деякому розумінні оберненні до Р2.
Позначимо через сукупність усіх точок, з кожної з яких гравець Р може забезпечити потрапляння об'єкта в силу системи (2.3.1) за один крок на довільну множину Z в мінорантній грі для довільних керуваннь
Лема 2.3.2.
, (2.3.3)
де , ()- невироджені постійні матриці розмірності nn системи (2.3.1.), визначаються рекурентними співвідношеннями (2.1.3), Z - довільна розмита множина, U(t) і V(t) - області керування гравців на t кроці, розмиті по Заде.
Доведення: Нехай для деякої точки z(0) і для довільного керування існує таке керування , де U(0), V(0) - розмиті множини в початковий момент часу з функціями належності , відповідно, що
,
переносячи керування в праву частину, отримаємо
це включення повинно бути справедливим для довільного тому за означенням операції геометричної різниці
Використовуючи усю область керування U(t), V(t), отримаємо
.....................................................................................
Оскільки А(t) невироджені постійні матриці, то N(t) невироджені матриці за теоремою про множення детермінантів. Отже
Згадаємо означення оператора отримаємо, що
або, за властивістю 1.2.19
,
що і треба було довести.
Побудуємо функцію належності для , враховуючи (1.4.1) -(1.4.3). Спочатку побудуємо функцію належності для де , , U(j) і V(j) - носії розмитих по Заде множин . За термінологію (2.1.5), враховуючи, що , , U*(t) і V*(t) - носії розмитих по Заде , отримаємо
(2.3.4)

(2.3.5)
Тоді
=
, (2.3.6)
де
(2.3.7)
Лема 2.3.3. Для довільного носія розмитої множини Z має місце включення
P2P2-1(Z) ? Z.
Доведення: Справедливість включення витікає із означення операторів P2, P2-1.
Парі поставимо у відповідність послідовність носіїв розмитих множин і ,
де
з функціями належності :
=
(2.3.8)
(2.3.9)
визначається за (2.3.6).
, (2.3.10)
, (2.3.11)

де
(2.3.12)
визначається за (2.3.6).
Зауваження 2.3.1. Із структури послідовності носіїв розмитих множин , витікає, що
звідки витікає, що
Зауваження 2.3.2. Має місце включення
, ,
причому рівність досягається при
? розмита множина початкових положень з носієм і функцією належності .
Теорема 2.3.1. Для того, щоб нестаціонарну мінорантну гру (2.3.1) можна було закінчити із розмитого початкового положення з функцією належності не більше, ніж за t кроків достатньо, щоб , .
Доведення проводиться методом математичної індукції і є аналогічним доведенню теореми 2.2.1 з тою різницею, що гра мінорантна.
Теорема 2.3.2. Для того, щоб нестаціонарну мінорантну гру (2.3.1) можна було закінчити не більше, ніж за t кроків із розмитого початкового положення з функцією належності необхідно і достатньо, щоб, .
Доведення:
Необхідність: Доведемо від супротивного. Нехай
і
,
але тим не менш нестаціонарну мінорантну гру (2.3.1) із розмитого положення з функцією належності можна закінчити не більше, ніж за t кроків. Для z(0) за побудовою послідовності множин існує таке керування з функцією належності , що
для довільного з функцією належності .
Міркуючи далі за індукцією, отримаємо, що існує така стратегія гравця Е, що для довільної стратегії гравця Р , тобто, мінорантну нестаціонарну гру (2.3.1) не можна закінчити за t кроків. Ми прийшли до протиріччя, яке і доводить необхідність теореми.
Достатність: Нехай . Із зауваження 2.3.1 витікає, що
Якщо , то доведення завершено. Якщо ж , тоді застосовуючи до обох частин приведеної вище рівності оператор Р2, де отримаємо в силу леми 2.3.3
тобто для і довільного з функцією належності існує таке з функцією належності , що
Далі, міркуючи за індукцією, отримаємо, що
де i ? k.
В подальшому отримаємо ефективно перевіряємі необхідні і достатні умови закінчення мінорантної нестаціонарної гри (2.3.1).
Звернемось до розгляду послідовності носіїв розмитих множин
і ,
і встановимо апріорні умови, при яких елементи послідовностей носіїв м