ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКИ НАСТРАИВАЕМОГО ГИРОСКОПА
Погрешности динамически настраиваемых гироскопов (ДНГ) вызываются действующими на него вредными возмущающими моментами, которые имеют различную физическую природу. Все эти моменты приводят к дрейфу ротора гироскопа в инерциальном пространстве.
Одним из преобладающих факторов, приводящим к изменению величены дрейфа во времени, являются тепловые поля, которые при работе гироскопа могут иметь случайный характер.
Для борьбы с тепловыми дрейфами навигационных приборов применяется термостабилизация приборного блока, либо алгоритмическая компенсация влияния вредных воздействий. Во втором случае необходимо иметь адекватную математическую модель дрейфа прибора. Решение алгоритмической компенсации погрешностей гироскопа при его использовании в составе навигационной системы может быть облегчено при существовании взаимосвязи между дрейфами гироскопа, имеющими место в обоих выходных каналах, и вызванных влиянием одного и того же возмущающего воздействия.
Рассмотрим погрешности ДНГ, которые вызваны изменением температуры окружающих его тепловых полей, и выясним возможность существования такой взаимосвязи.
2.1. Дифференциальные уравнения движения динамически ` настраиваемых гироскопов
Не ограничивая общности задачи, рассмотрим дифференциальные уравнения движения ДНГ с двухколечным упругим подвесом (рис. 2.1), учитывая, что применяемые для анализа уравнения движения ДНГ различных кинематических схем имеют одинаковую структуру [42,43,52-55].
Рис. 2.1. Кинематика динамически настраиваемого гироскопа
Поскольку уходы ДНГ обусловлены как возмущающими моментами, так и присущими ему нелинейными факторами, зависящими от параметров гироскопа, в общем случае необходимо рассмотреть нелинейные дифференциальные уравнения движения. Эти уравнения, как показано в работах [42,53], имеют наиболее простую структуру во вращающейся с валом приводного двигателя системе координат , где отклонения ротора относительно вала зададим углами поворота ?, ?. Вращение вала зададим углом ?1.
Тогда, применив теорему об изменении кинетического момента системы, получим следующие дифференциальные уравнения движения ДНГ, аналогичные работам [65,78].
(2.1)
где А, аi - осевой, В, С, bi, ci, - экваториальные моменты инерции ротора (B=C), кардановых колец (i=1,2), cу - коэффициент жесткости упругого подвеса при повороте ротора на углы ?, ?;
ki- коэффициенты моментов сил вязкого трения ротора (i=3) и кардановых колец (i=1,2) вокруг соответствующих осей,
?y , ?z- угловые скорости вращения основания, на котором установлен ДНГ.
M?, M? -возмущающие моменты, действующие на ротор гироскопа.
Придадим уравнениям (2.1) вид
. (2.2)
Здесь ?M1, ?M2 - малые нелинейные члены, обусловленные особенностями кинематики упругого подвеса и сложным характером деформации упругих элементов, несовершенной упругостью материала подвеса, а также демпфирующие моменты;
, , ,
, , ,
, , , ,
, , , .
где - функционалы, учитывающие несовершенную упругость материала подвеса ротора.
Если кардановы кольца одинаковы, то
.
Приведенные дифференциальные уравнения движения получены в системе координат, вращающейся вместе с валом приводного двигателя. Здесь при составлении уравнений использованы выражения моментов сил упругости в наиболее простой форме. Однако использование гироскопических приборов в навигационных системах делает целесообразным получение уравнений движения ДНГ в сопутствующей [79] системе координат. Для малых углов связь между углами поворота ротора во вращающейся и в сопутствующей системах координат выражаются уравнениями [42,53,79]
используя которые, после преобразований получим уравнения движения
. (2.3)
В случае симметрии упруго-массовых характеристик подвеса ДНГ уравнения движения (2.3) примут более простую структуру и будут иметь вид
(2.4)
Скорость вращения вала приводного двигателя выбирается из условия динамической настройки
,(2.5)
при которой ДНГ становится свободным гироскопом.
2.2. Математическая модель погрешностей динамически
настраиваемого гироскопа на подвижном основании
Для получения математической модели уходов ДНГ с учетом нелинейных факторов наиболее просто обратиться к дифференциальным уравнениям (2.2) во вращающейся системе координат. Тогда при постоянных (не зависящих от времени) возмущающих моментах M?, M? , действующих на ротор гироскопа, по осям отклонения ротора на углы ? и ? будут действовать гармонические возмущения, частота которых при динамической настройке равна собственной частоте ДНГ. Следовательно, имеют место вынужденные нелинейные резонансные колебания гироскопа по координатам ? и ?.
Для нахождения приближенных решений системы уравнений (2.2) удобно воспользоваться методом осреднения [80], который позволяет решить задачу более эффективно и является одним из наиболее распространенных и обоснованных методов в нелинейной механике и теории нелинейных колебаний. С помощью этого метода, возможно исследовать движение системы не только при резонансах, но и в околорезонансной области, а также получать решение линеаризованной системы.
Решение уравнений (2.2) будем искать в форме, аналогичной решению системы линейных дифференциальных уравнений, т.е.
(2.7)
которая представляет собой замену переменных ?, ? новыми переменными Сj, Dj. Частоты искомого решения (2.7) близки к собственным частотам системы,
,
где ?j - расстройка частоты.
Коэффициенты представляют отклонения