ГЛАВА 2
АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ ОДНОРОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ОБОБЩЁННОМ МЕТОДЕ ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ.
Цель данной главы состоит в таком обобщении метода частичных областей, которое позволяет унифицировать процесс создания вычислительного алгоритма, базирующегося на этом методе. Это позволит, сохранив вычислительную эффективность МЧО, приблизить его по лёгкости использования, универсальности и надёжности к характеристикам конечно-разностных методов.
Таким образом, такое обобщение МЧО сводится к созданию алгоритма, порождающего вычислительные алгоритмы МЧО для расчёта конкретных электродинамических структур. В дальнейшем будем называть такой обобщающий алгоритм "препроцессором геометрической обработки", либо просто препроцессором.
В главе рассматривается применение обобщенного МЧО к расчёту электродинамических линий с непредопределённым поперечным сечением произвольной сложности, образованным кусочно-линейными координатными границами.
2.1 Основные понятия, используемые при анализе геометрии краевой задачи.
Используется правосторонняя декартова система координат с осью , ориентированной в направлении однородности электродинамической линии. Поперечное сечение этой линии лежит в плоскости . Точка (начало системы координат) совпадает с левым нижним углом прямоугольника, описанного вокруг поперечного сечения.
Для описания алгоритмов работы препроцессора геометрической обработки введём некоторые обозначения. Назовём точкой структуру, состоящую из набора и -координат в координатной плоскости используемой (смотри выше) системы координат. Точка имеет координаты в глобальной системе координат.
Точка имеет двухмерные координаты, так как для описания электродинамических свойств отрезка линии проекционными методами требуется только знание её поперечного сечения, которое лежит (смотри выше) в плоскости
Точки и связаны соотношениями "меньше"
"равно"
или "больше"
где:
-знак операции импликации ("следовательно", "если...то"),
-знак операции конъюнкции (логическое умножение, логическое "и"),
-знак операции дизъюнкции (логическое сложение, логическое "или"),
-знак операции отрицания (логическое отрицание, логическое "не").
Дополнительно введём следующие понятия:
--я прямоугольная частичная область;
- левая нижняя, правая нижняя, правая верхняя и левая верхняя угловые точки прямоугольника, образующего -ю частичную область. Эти точки представлены парой декартовых координат , причём
;
- левая (правая) стенка -й частичной области;
- нижняя (верхняя) апертура -й частичной области.
Выполняются следующие условия:
,
где - произвольная точка плоскости, представленная координатами ,
и-величины, определённые в ,
-квантор всеобщности (-читается "для всех ").
Из формул следует, что все точки апертур принадлежат области, а точки стенок - нет. Более строго
, .
Области и считаются связанными, если
.
Обозначим множество точек, представляющих область определения краевой задачи как . Тогда существуют следующие правила для представления её множеством из частичных областей
где - общая граница между и областями.
Из следует, что она является горизонтальным отрезком, поскольку разбиение области определения краевой задачи на частичные области предполагает, что области могут пересекаться только своими апертурами. Общая граница может быть записана как
Входные и выходные данные. На рис. 2.1 изображена линия передачи, представляющая собою грубую ступенчатую аппроксимацию круглого коаксиального волновода. Поперечное сечение этой линии разбивается на восемь неперекрывающихся прямоугольных областей, однородных вдоль оси . Эти частичные области ограничены по бокам проводящими поверхностями, а сверху и снизу являются открытыми. Открытые апертуры различных областей могут, как соединятся друг с другом, так и быть электрически заглушены.
По сути, количество и координаты прямоугольных областей, на которые разбивается поперечное сечение сложной волноводной линии - это полная информация, которая необходима для её электродинамического расчёта.
Все дополнительные данные, необходимые для расчёта, получаются из этой информации путём её последующей обработки. К дополнительным относятся следующие данные:
1) Под каким потенциалом находится каждая из боковых стенок рассматриваемой области, что необходимо знать при расчёте TEM-волн.
2) В каком состоянии находятся апертуры частичной области - открытом или заглушенном.
3) Матрица связи между областями, описывающая какие области связаны с какими и их общие границы .
4) Какая из пары связанных областей является объемлющей (широкой) по отношению к другой. Если , то область является объемлющей по отношению к .
Так на рис. 2.1 область 0 (или 2) является объемлющей по отношению к области 1. Однако можно найти связанные области, не являющие объемлющими (или объемлемыми) по отношению друг к другу. Примером такой пары могут служить области 4 и 6. В этом случае вводятся дополнительные виртуальные области ( для рассматриваемой пары) нулевой высоты с шириной равной длине линии связи между рассматриваемыми областями. Таким образом, области 4 и 6 становятся несвязанными, а каждая из них связывается с областью , для которой и является объемлющей. Для повышения эффективности вычислительных алгоритмов выделяют группы несвязанных между собой частичных областей, и решают задачу для каждой группы как для отдельной независимой линии.
На рис. 2.2 представлен пример такого подхода, когда для расчёта весьма сложной волноводной структуры достаточно вычислить две (с учётом того, что все крестообразные щели обладают одинаковыми параметрами), гораздо более простые.
Дополнительного выигрыша для симметричных структур можно добиться путём разбиения вычислительной задачи на две. Вычислительная структура разбивается пополам вдоль линии симметрии. Решение полной задачи представляется как комбинация решений для двух половинных структур с электрической (PEW) и магнитной (PMW)стенками на месте бывшей линии симметрии