Ви є тут

Структурування та дослідження стійкості динамічних систем дискретного аргументу

Автор: 
Киращук Дмитро Дмитрович
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2004
Артикул:
0404U000020
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РОЗДІЛ 2
СТІЙКІСТЬ І ОЦІНКИ ЗБІЖНОСТІ РІЗНИЦЕВИХ СИСТЕМ З ДРОБОВО-РАЦІОНАЛЬНОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ
Як було показано в попередньому розділі, багато моделей динамічних процесів можуть бути описані системами різницевих рівнянь дробово-раціонального вигляду. Тому природно встає питання про розробку уніфікованого апарату дослідження систем такого вигляду. На наш погляд, достатньо універсальним апаратом є другий метод Ляпунова [5,14,19,21,26,47,48,74]. Якщо матриця лінійного наближення асимптотично стійка, то функцію Ляпунова можна брати у вигляді квадратичної форми [14, 26].
За допомогою функцій Ляпунова квадратичного вигляду можна одержати деякі якісні характеристики аналізу систем. Можна обчислити оцінку області стійкості і збіжності розв'язків (для нелінійних систем), величину перерегулювання (), час перехідного процесу (час, за який розв'язок досягає заданий окіл стану рівноваги), деякі інтегральні критерії якості.
Останнім часом поняття "системи із запізненням" було перенесено з диференціальних рівнянь на різницеві. І модифікація другого методу виду "функціоналів Ляпунова-Красовського" була перенесена на системи різницевих рівнянь. При цьому інтеграл був замінений на скінчену суму.
В другому розділі розглядаються системи двох видів. По-перше, це лінійні системи великої розмірності із запізненням. По-друге, нелінійні системи дробово-раціонального вигляду. З використанням другого методу Ляпунова одержані конструктивні достатні умови стійкості і обчислені оцінки асимптотичної збіжності.

2.1. Лінійні різницеві системи великої розмірності

Припустимо, що система складається з т взаємозв'язаних підсистем , , динаміка кожної з яких описується системами різницевих рівнянь
, (2.1)
Тут - вектор стану підсистеми , розмірності , - вхідний вектор (вектор управління) розмірності , - вихідний вектор розмірності . Постійні матриці , мають відповідні розмірності. Матриці , характеризують взаємозв'язки підсистем, а матриця - нульові матриці, повністю характеризує взаємозалежність окремих підсистем. Передбачається, що неперервні векторні функції. В замкнутому вигляді система (2.1) має вигляд
, , . (2.2)
Розглянемо кожну з підсистем
(2.3)
окремо. Нехай , тобто підсистеми мають нульові положення рівноваги, які асимптотично стійкі "з деяким запасом". А саме, існують функції Ляпунова , що задовольняють уздовж розв'язків кожної з підсистем (2.3) умовам:
1) ,
2) ,
3) ,. (2.4)
При зроблених припущеннях (2.4) нульовий розв'язок кожної з підсистем (2.3) буде експоненціально стійким, тобто виконуватимуться нерівності
де .
Тоді за певних умов, що накладаються на зв'язки між підсистемами, буде асимптотично стійким і нульовий розв'язок початкової системи (2.1) (або (2.2)) .
В цьому параграфі одержимо умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи (2.1) (або (2.2)) в двох припущеннях. В першому вважатимемо, що зв'язки між підсистемами аналогічні по швидкодії зв'язкам усередині системи. В другому вважатимемо, що взаємодія між підсистемами відбувається з деяким запізненням, тобто система рівнянь (2.1) переходить в систему із запізненням.

2.1.1. Лінійні різницеві системи без запізнення великої розмірності.

Очевидно найпростішим є випадок лінійних підсистем, тобто коли (2.3) має вигляд
(2.5)
Відповідно замкнута система має вигляд
(2.6)
Одержимо умови експоненціальної стійкості нульового розв'язку системи (2.6) в припущенні малості матриць взаємозв'язків .
Позначимо
, ,
де - симетричні додатно визначені матриці, визначувані матричним різницевим рівнянням Ляпунова
. (2.7)
Тут , - квадратна матриця, елементи якої визначаються наступними співвідношеннями
(2.8)
. (2.9)
Тут симетричні додатно визначені матриці, що входять в матричні різницеві рівняння Ляпунова
, . (2.10)
Теорема 2.1. Нехай для кожної з підсистем (2.5) існують додатно визначені матриці , такі, що матриця асимптотично стійка (тобто має власні числа ). Тоді вихідна система (2.6) також асимптотично стійка і для її розв'язку справедлива експоненціальна збіжність
. (2.11)
Доведення. Оскільки кожна з підсистем (2.5) асимптотично стійка, то існують додатно визначені матриці , що задовольняють матричним різницевим рівнянням Ляпунова (2.10) де , - додатно визначені матриці. І для квадратичних функцій Ляпунова - виконуватимуться нерівності (2.4), з сталими
. (2.12)
Розглянемо першу різницю кожної з функцій Ляпунова в силу відповідної підсистеми (2.6). Одержуємо
Розкривши дужки, запишемо
Використовуючи позначення і нерівності (2.4) з позначеннями (2.12), одержимо систему лінійних матричних нерівностей
Використовуючи позначення (2.8), перепишемо одержану систему нерівностей у вигляді
.
І, якщо матриця асимптотично стійка, тобто , то для векторної функції , виконуватиметься
де симетричні додатно визначені матриці, що задовольняють (2.7). Звідси для розв'язків вихідної системи (2.6) виконуватиметься
,
де величина визначена в (2.9).
Приклад 2.1.1. Розглянемо систему без запізнення
де матриці мають наступний вигляд:
, , , .
Використовуючи результати теореми 2.1., визначимо при яких значеннях параметрів система буде асимптотично стійкою.
Узявши матриці
і розв'язавши матричні різницеві рівняння Ляпунова (2.10), отримаємо
Очевидно, що .
Далі знайдемо добуток матриць і їх норми
, ,
, ,
, ,
, .
Згідно (2.8) знаходимо матрицю :
Звідси характеристичне рівняння матриці має вигляд:
Його коренями будуть
Матриця асимптотично стійка, тоді і тільки тоді, коли , тобто
Звідси