Ви є тут

Удосконалення індукторів-струмопроводів на основі аналізу імпульсних електродинамічних зусиль

Автор: 
Панасенко Олесь Тарасович
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2004
Артикул:
3404U000044
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ СИСТЕМЫ ИНДУКТОР-ТОКОПРОВОД - ПЛАСТИНА
2.1. Электромагнитное поле и интегральные характеристики системы c одновитковым индуктором-токопроводом
2.1.1. Распределение напряженности электрического поля в проводниках системы. Рассмотрим расчетную систему индуктор-токопровод - пластина, размеры поперечного сечения которой представлены на рис. 2.1. Одновитковый индуктор-токопровод 1, подключенный к источнику напряжения, расположен над обрабатываемой проводящей пластиной 2. Сформу-
Рис. 2.1. Поперечное сечение системы:
1 - индуктор-токопровод;
2 - пластина.
лированное ранее основное допущение о том, что магнитное поле системы индуктор-токопровод?-?пластина близко к плоскому, позволяет использовать для анализа электромагнитного поля системы интегродифференциальные уравнения, которые ранее применялись для токопроводов, соединяющих источник и нагрузку [84,85,89]. Основываясь на данном допущении, можно также записать структуру основных векторов электромагнитного поля системы: напряженности электрического поля (плотности тока) и индукции магнитного поля, соответственно: , .
Поперечное сечение системы индуктор-токопровод - пластина S представим в виде суммы двух слагаемых: поперечного сечения индуктора-токопровода S1П и S2П - поперечного сечения пластины.
Запишем уравнение электромагнитной индукции для индуктора-токопровода, то есть для случая, когда точка наблюдения P?S1П:
, (2.1)
где ??- магнитный поток,
u(t)?- напряжение, подаваемое на индуктор-токопровод.
Интеграл в левой части (2.1) значительно упрощается в соответствии с описанной выше структурой вектора .
. (2.2)
Так как вектор напряженности электрического поля имеет только одну составляющую, то в дальнейшем индекс z опускаем. Для магнитного потока справедливо соотношение, аналогичное (2.2):
, (2.3)
которое упростилось благодаря тому, что векторный магнитный потенциал совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля . Векторный магнитный потенциал описывается выражением
, (2.4)
которое является известным решением уравнения Пуассона для среды, не содержащей магнитных материалов. В (2.4) ?(M)?- это удельная электропроводность металла индуктора-токопровода или пластины, которая зависит от положения текущей точки M; ?0 - магнитная проницаемость вакуума; rPM - расстояние между точками P и M.
После подстановки выражений (2.2)-(2.4) в (2.1) получим интегродифференциальное уравнение, описывающее распределение напряженности электрического поля в индукторе-токопроводе (P?S1):
. (2.5)
Уравнение электромагнитной индукции для пластины (P?S2П) будет иметь вид:
. (2.6)
Действуя аналогичным образом, получаем интегродифференциальное уравнение, описывающее распределение напряженности электрического поля в пластине:
. (2.7)
Таким образом, интегродифференциальное уравнение, описывающее распределение напряженности электрического поля в системе индуктор-токопровод - пластина, имеет вид:
. (2.8)
Начальное условие:
. (2.9)
Введем новую функцию
,
с помощь которой преобразуем уравнение (2.8):
, (2.10)
которое в отличие от (2.8) имеет симметричное ядро
. (2.11)
Преобразуем (2.10) в обыкновенное дифференциальное уравнение на пространственной сетке, образованной центрами N прямоугольных элементов ?S(Mk), на которые разбиваем поперечное сечение S. Система ОДУ имеет такой вид:
,

или
, (2.12)
где
, (2.13)
i - индекс точки P;
k - индекс точки M.
Расчет aik может быть упрощен, если ?Sk достаточно малы. В частности, при i?k
. (2.14)
Однако из-за появления ?S(Mk) матрица ОДУ перестает быть симметричной. Для ее симметризации вводим вспомогательную функцию
, (2.15)
с помощью которой преобразуем систему ОДУ (2.12) к такому виду:
, (2.16)
где
, при i???k, (2.17)
, при i?=?k, (2.18)
. (2.19)
Правая часть (2.16) имеет вид
. (2.20)
Приведем к безразмерному виду . Для этого выбираем размерные базисные величины: базисное расстояние (R = 10-3м); базисную проводимость, равную проводимости меди (?б = 5,618?107 См/м); базисное напряжение (Uб = 1 В). Тогда для безразмерного элемента площади поперечного сечения ?S* и проводимости ?* проводников системы будут справедливы выражения , . После подстановки последних в (2.17) и выполнения тривиальных преобразований получаем выражение
, (2.21)
где .
В силу последних преобразований уравнение (2.16) примет вид
. (2.22)
Перейдем к изображениям по Лапласу: , .
С помощью преобразования Лапласа из системы ОДУ (2.22) получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
. (2.23)
Разделим обе части (2.23) на и введем обозначение . Получим
. (2.24)
Применим к (2.24) формулу Шмидта [59]
, (2.25)
где ;
?k, ?k(Pi) - соответственно собственные значения и проекции собственных векторов, удовлетворяющие СЛАУ
. (2.26)
В выражении для bk круглые скобки означают скалярное произведение. После приведения к безразмерному виду первого множителя скалярного произведения имеет место равенство
;
. (2.27)
Из изложенного следует, что в отличие от известных методик [63,85] сделано последовательное преобразование исходного интегродифференциального уравнения (2.8) вначале в систему ОДУ на пространственной сетке, а затем в СЛАУ с симметричной матрицей в пространстве изображений по Лапласу, для решения которой применена формула Шмидта.
В процессе численной реализации математической модели была учтена симметрия системы относительно оси Oy, то есть суммарное поперечное сечение системы S? представлено в виде суммы S=?S1?+?S2?+?S?1?+?S?2?, где S1, S2?- симметричные относительно оси Oy правые по