Розділ 2
ОСНОВНІ РІВНЯННЯ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ
СИСТЕМ СФЕРИЧНИХ ЧАСТИНОК ПОБЛИЗУ МЕЖІ ПОДІЛУ ФАЗ
(ДОВГОХВИЛЬОВЕ НАБЛИЖЕННЯ)
Розділи 2 та 3 присвячені теоретичному вивченню взаємодії електро-магнітного випромінювання з різноманітними структурами на поверхні твердого тіла, утвореними частинками сторонньої речовини.
Задачею розділу 2 є розробка математичного апарату, придатного до аналізу електромагнітних властивостей просторових систем малих частинок на підкладці, і особливо до отримання аналітичних розв'язків для таких систем. Хоча зміст даного розділу має, за необхідністю, переважно математичний характер, він становить основу для подальшого аналізу фізичних явищ в розглядуваних системах.
В даному розділі для модельної системи однорідних ізотропних неоднакових куль поблизу напівнескінченного однорідного ізотропного середовища сформульовано крайову електростатичну задачу і знайдено її розв'язок у вигляді розкладу електростатичного потенціалу за кульовими гармоніками.
Основні результати цього розділу були одержані вперше і опубліковані в роботах [77-82].
2.1 . Формулювання задачі: модельна система та вихідні рівняння
Перед тим як приступити до розробки математичного апарату, охарактеризуємо спочатку системи, до яких він має бути застосований.
В центрі нашої уваги буде взаємодія світла (400...800 нм) з досить розповсюдженими в науці й техніці системами нанорозмірних частинок (~ 10 нм) на підкладці, товщина якої набагато більша за розміри частинок. Ці системи можуть бути охарактеризовані наступним чином:
- частинки в системі є полідисперсними (мають різні розміри);
- розміри частинок знаходяться в межах 5...100 нм;
- частинки розподілені на підкладці або над нею довільним чином (регулярно або нерегулярно) і можуть утворювати просторові кластери;
- товщина підкладки становить ~ 1 мм, а два інші її розміри є набагато більшими за товщину;
- товщина шару частинок є набагато меншою за товщину підкладки;
- частинки та підкладка виготовлені з однорідних ізотропних матеріалів;
- матеріали різних частинок можуть відрізнятися.
Маючи на увазі існування потреби в "мікроскопічній" теорії для систем розглядуваного типу, будемо намагатись розробити саме таку теорію, в якій властивості всієї системи виводились би виходячи з параметрів матеріалів підкладки, оточуючого середовища і куль та з геометричних параметрів системи - розмірів куль та їх просторового розташування.
Безпосереднє застосування мікроскопічної теорії до тих чи інших конкретних систем потребує знання точних координат усіх частинок в системі. Оскільки точний опис координат є можливим лише для регулярних розподілів частинок (типу кристалічної ґратки), то в більшості випадків результати мікроскопічної теорії необхідно ще належним чином усереднювати. Однак в розділах 2 та 3 даної роботи ми не цікавитимось розрахунками конкретних систем і тому залишаємо операції усереднення поза нашою увагою. Ці операції можуть бути здійснені в разі необхідності і за умови, що функція розподілу частинок в системі є відомою.
З огляду на складність вихідної фізичної системи, для її теоретичного розгляду введемо деякі спрощення. По-перше, будемо вважати частинки однорідними ізотропними кулями, хоча насправді форма частинок рідко коли наближається до сферичної.7 По-друге, оскільки товщина підкладки є набагато більшою за товщину шару частинок, будемо розглядати підкладку як однорідний ізотропний напівпростір. Таким чином, приходимо до розгляду модельної системи однорідних ізотропних неоднакових куль поблизу напівнескінченного однорідного ізотропного середовища, яке умовно будемо називати підкладкою (рис. 2.1а).
Слід зауважити, що ми не накладаємо ніяких обмежень на характер просторового розподілу частинок в нашій модельній системі. Кулі можуть бути розташовані довільним чином (регулярно або нерегулярно), можуть дотикатися як одна одної, так і підкладки. Тому наша модельна система є досить загальною і може бути застосована до опису широкого класу реальних систем частинок різної природи поблизу межі поділу фаз. Такі системи вивчаються в багатьох областях природознавства (фізиці, хімії, біології). Приклади можливих реалізацій модельної системи показано на рис. 2.1б-2.1з.
Оскільки нас цікавить взаємодія систем нанорозмірних (~10 нм) частинок з електромагнітним випромінюванням оптичного діапазону (~500 нм), то з огляду на можна вважати, що електричне поле падаючої плоскої електромагнітної хвилі, що освітлює систему, майже не змінюється в об'ємі та околі кожної окремої частинки. В цьому випадку оптичні властивості системи можна отримати з електростатичного наближення, тобто розглядаючи її як таку, що знаходиться в однорідному електростатичному полі напруженістю .
Хоча далі ми обмежуємось розглядом електростатичної задачі для модельної системи куль поблизу напівнескінченної підкладки, слід очікувати, що результати нашого розгляду будуть придатні також і до опису реальних систем частинок в змінному електромагнітному полі. Точність опису реальних систем буде тим більшою, чим краще виконуватиметься для них умова застосовності електростатичного наближення (), чим меншими будуть відхилення від сферичності частинок та чим меншим буде вплив границь підкладки. Останнє пов'язане з тим, що в нашій модельній системі підкладка є напівнескінченною і, отже, має лише одну границю, в той час як всі реальні системи є просторово обмеженими, і кожна з границь системи певною мірою впливає на її властивості.
Перейдемо тепер до математичного формулювання розглядуваної електростатичної задачі. Нехай , та є відносні діелектричні проникності відповідно -ї кулі (), оточуючого середовища (ambient) та підкладки (substrate) (рис. 2.1а). За умови електронейтральності та однорідності всіх об'єктів (куль, оточуючого середовища та підкладки) потенціал результуючого поля, яке встановлюється в системі після включення зовнішнього поля , повинен задовольняти рівнянню Лапласа
(2.1)
всередині областей оточуючого середовища (область ), -ї кулі (область )
- Київ+380960830922