РАЗДЕЛ 2
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
2.1. Формализм трансфер-матрицы для функции распределения решеточных моделей
2.1.1.Разновидности трансфер-матриц для решеточных моделей.
Метод трансфер-матрицы представляет собой один из наиболее эффективных методов теоретической физики. Он также получил применение для решения различных задач в квантовой химии. Мы ограничимся рассмотрением метода трансфер-матрицы для моделей с трансляционной симметрией.
Опишем коротко основную идею этого метода на примере простой одномерной модели Изинга в продольном магнитном поле [2]. Эта модель не имеет фазового перехода при какой-либо ненулевой температуре и представляет собой цепочку из N изинговских спинов (рис. 2.1).
1 2 3 N
Рис. 2.1. Одномерная решетка, состоящая из N узлов.
Полная энергия спиновой системы имеет вид:
. (2.1)
Для простоты предположим, что за узлом с номером N опять следует первый узел, то есть, цепочка замкнута в цикл. Такие периодические граничные условия обеспечивают трансляционную инвариантность системы.
Статистическая сумма одномерной решетки, описываемой гамильтонианом (2.1) имеет вид:
, (2.2)
где , .
Выражение под знаком суммы в формуле (2.2) может быть представлено в виде произведения сомножителей, каждый из которых зависит только от одной пары соседних спинов:
, (2.3)
где .
Такая запись для V обеспечивает выполнение равенства, которое является полезным свойством симметрии:
.
Множители можно представить как элементы матрицы 2х2:
, (2.4)
где, например, первый матричный элемент соответствует конфигурации, для которой спины на двух соседних узлах направлены вверх. Исходя из этих соображений, каждое суммирование по переменным в (2.3) можно представить в виде последовательного умножения матриц, а суммирование по ? как операцию взятия следа. Поэтому, используя матрицу (2.4), выражение (2.2) можно записать в виде:
.
Матрица называется трансфер-матрицей. На каждом шаге вычислительной процедуры умножение на соответствует суммированию по конфигурациям еще одного узла решетки. Пусть и - собственные значения трансфер-матрицы ():
Тогда выражение для статистической суммы может быть записано в виде:
.
В результате, для свободной энергии, приходящейся на один узел, получаем выражение:
,
так как .
Таким образом, использование техники трансфер-матрицы, существенно облегчает процесс вычисления статистической суммы, так как задача сводится к вычислению максимального собственного значения этой матрицы.
Трансфер-матрица может быть записана не только для одномерных моделей, но и для моделей более высокой размерности. Однако при этом матрица становится очень большой.
Разница между двумерным и одномерным случаями заключается в том, что, например, для модели Изинга на квадратной решетке трансфер-матрица использует два соседних ряда узлов, а не два соседних узла как в одном измерении. В зависимости от количества узлов в ряду, учитывая, что спин может принимать только два различных значения, получим трансфер-матрицы: для четырех узлов ? размерами 16x16, пяти узлов ? 32x32, а в общем случае 2 N x 2 N , где N ? число узлов в ряду. Такую матрицу называют трансфер-матрицей ряд-ряд. Умножение на эту матрицу соответствует добавлению к решетке одного ряда.
Если на расположение узлов в ряду наложить периодические условия, то для восьмивершинной модели (рис. 1.2) трансфер-матрица ряд-ряд имеет вид:
,
где ? параметр взаимодействий между соседними в ряду спинами;
? параметры, характеризующие взаимодействия между спинами, расположенными в соседних рядах (см. рис.1.2);
? параметр четырехспинового взаимодействия.
Для трехмерного случая можно записать трансфер-матрицу слой-слой. Так, трансфер-матрица трехмерной модели Изинга с учетом взаимодействий только ближайших соседей на простой кубической решетке имеет вид:
Умножение на эту матрицу соответствует добавлению к решетке одного слоя.
Впервые понятие угловой трансфер-матрицы было введено Бакстером [2] в вычислительной процедуре для определения функции распределения решеточных спиновых моделей типа модели Изинга на прямоугольной решетке. В этом случае угловая трансфер-матрица представляет больцмановский вес решетки, изображенной на рис. 2.2.а:
,
где представляет соседние спины, расположенные вокруг грани решетки, а сумма берется по всем узлам, отмеченных четными кружочками.
Рис. 2.2.а ? двумерная решетка, для которой строится угловая
трансфер-матрица.
б ? схема расширения угловой трансфер-матрицы.
Из рис. 2.2.а. видно, что и , принадлежащие разным наборам спинов и , соответственно, совпадают. Поэтому угловая трансфер-матрица имеет блочно-диагональный вид и =0 при ?. Отметим, что трансфер-матрицу можно построить с помощью объединения отдельных трансфер-матриц типа ряд-ряд.
Расширение системы производится с помощью присоединения еще одной строки и столбца к исходной квадратной решетке (рис. 2.4.б). Угловая трансфер-матрица расширенной системы определяется формулой:
Кроме этого производится расширение матриц типа ряд-ряд:
В дальнейшем новые матрицы используются для последующего расширения угловой трансфер-матрицы .
Редуцированная матрица плотности решетки, выраженная через угловые трансфер-матрицы, имеет следующий вид:
Статистическая сумма реш