РАЗДЕЛ 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
В этом разделе на основе анализа зависимости дисперсии различных оценок результата измерения от эксцесса распределения результатов наблюдений производится синтез эффективных оценок результата измерения и его рассеяния. Оценивается эффективность предложенных оценок по сравнению с классическими оценками, применяемыми на практике.
2.1 Определение эффективной оценки результата измерения
При выполнении многократных измерений за результат измерения принимается оценка математического ожидания результатов отдельных наблюдений. Эффективность - одно из основных требований к этой оценке, поскольку определение всех последующих оценок базируется на ней, и погрешность в ее определении может повлечь за собой неправильную оценку СКО, границ доверительного интервала, вида распределения и т. п. При этом использование более эффективных оценок позволяет оценить параметр по меньшему числу наблюдения при сохранении точности.
2.1.1 Сравнение эффективности различных оценок результата измерения
Поскольку эффективность оценки определяется ее дисперсией, то для выбора наиболее эффективной оценки для данного распределения и числа наблюдений необходимо непосредственно определить дисперсии исследуемых оценок и сопоставить их.
Дисперсия среднего арифметического определяется по известной формуле (1.5), а дисперсии оценки медианы и центра размаха - численным методом, изложенным в п. 1.5.
Порядок применения численного метода в данном случае следующий. После генерации генеральных совокупностей и формирования из них малых выборок, для каждой малой выборки вычисляются оценки центра размаха и медианы по формулам (1.3) и (1.4) соответственно. По каждой совокупности значения этих оценок для данного распределения и данного числа наблюдений определяется дисперсия исследуемых оценок. Графики зависимости дисперсии исследуемых оценок от числа наблюдений для некоторых распределений приведены на рис. Б.1 приложения Б, из которого видно, что для распределения со значением эксцесса -1,2 (равномерного) наименьшей дисперсией обладает , для распределения со значением эксцесса -0,6 (треугольного) и имеют практически одинаковую дисперсию, для распределения со значением эксцесса 0 (нормального) имеет наименьшую дисперсию, для распределения со значением эксцесса 3 (Лапласа) наименьшей дисперсией обладает . Для определения значений эксцессов распределений, ограничивающих диапазоны эффективности рассматриваемых оценок результата измерения, определяется сравнительная эффективность центра размаха по отношению к среднему арифметическому и сравнительная эффективность оценки медианы по отношению к среднему арифметическому по формулам соответственно:
; ,
Рассчитанные численные значения сравнительной эффективности для различных распределений и различного числа наблюдений приведены в табл. Б.1 и Б.2 приложения Б. По данным этих таблиц построены графики зависимости сравнительной эффективности от эксцесса распределения результатов наблюдений для числа наблюдений от 3 до 21 с шагом 2 (см. рис. 2.1).
Из рис. 2.1 видно, что для распределений со значением эксцесса эффективнее , поскольку , для распределений со значением эксцесса
эффективнее , поскольку . является эффективной оценкой для распределений со значением эксцесса . Кроме того, из рис. 2.1 видно, что различие в эффективности оценок растет с ростом числа наблюдений, поскольку графики зависимости для большего числа наблюдений имеют более крутой вид.
Особый интерес представляют распределения, для которых значение сравнительной эффективности близко к 1, здесь для распределений с отрицательным эксцессом, для распределений с положительным эксцессом. В этом случае оценка в виде линейной комбинации оценок и или и может обладать дисперсией, меньшей, чем у каждой из комбинируемых [29].
2.1.2 Синтез выражения, обеспечивающего наиболее эффективную оценку
результата измерения для произвольных распределений результатов наблюдений
Рассмотрим оценку в виде взвешенной суммы сравниваемых оценок
. (2.1)
Для того чтобы не вносить дополнительное смещение в оценку (2.1) необходимо, чтобы выполнялось условие . Если принять , то . Тогда выражение для взвешенной оценки принимает вид
(2.2)
Дисперсия оценки (2.2) определяется выражением
, (2.3)
где - коэффициент корреляции между оценками и . При делении правой и левой части выражения (2.3) на получается выражение для сравнительной эффективности взвешенной оценки по сравнению со средним арифметическим
. (2.4)
Выражение (2.2) обеспечивает наиболее эффективную оценку при таком значении , при котором выражение (2.4) достигает минимума. Для нахождения этого значения определяется производная выражения (2.4) по и приравнивается к 0:
. (2.5)
Из выражения (2.5) определяется , которое обеспечивает наиболее эффективную оценку
. (2.6)
Для определения характера экстремума в точке находится вторая производная (2.4) по
Поскольку вторая производная больше нуля, то выражение (2.4) имеет в точке минимум. Таким образом, оценка (2.1) может обеспечить более эффективную оценку, чем или .
Для нахождения численным методом определяются значения и для распределений из табл. 1.3 и различного числа наблюдений и подставляются в формулу (2.6). Численные значения , и приведены в табл. Б.1, Б.2 и Б.3 соответственно. Результаты расчета приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1 - Результаты расчета
30,220,480,630,750,720,580,3050,210,500,650,780,720,580,2970,270,530,660,770,720,570,2890,260,530,630,770,710,590,28110,300,520,620,800,720,560,26130,310,520,610,800,750,530,27150,330,550,640,790,790,590,28170,340,540,630,810,810,600,34190,320,540,630,810,790,520,27210,360,530,640,8