РАЗДЕЛ 2
НЕОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ НЕСОВЕРШЕННЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПОКРЫТИЯ
2.1. Вывод разрешающих уравнений для определения
критической нагрузки
Несоответствие теоретических верхних критических нагрузок экспериментальным, при расчете оболочек на устойчивость, отмечается в работах многих авторов [9, 30, 38, 42, 163]. Особенно большие расхождения наблюдаются в оболочках, обладающих начальными несовершенствами формы [29, 42, 160, 163, 185].
Современные исследования устойчивости оболочек можно разделить на два направления [69]. Первое направление состоит в анализе устойчивости симметричных форм равновесия оболочек при малых несимметричных возмущениях или кривизны оболочек. Исследование соответствующего определителя позволяет судить о появлении ветвления решений и об устойчивости состояния равновесия системы [17, 20, 22, 52, 91].
Второе направление связано с учетом начальных несовершенств формы срединной поверхности и их влияние на устойчивость оболочек [36, 135, 157, 160, 163].
Совместное применение этих подходов позволит ответить на комплекс вопросов по определению минимальной критической нагрузки несовершенных оболочек покрытий.
Состояние несовершенной пологой оболочки при нагружении равномерно распределенной нагрузкой описывается системой двух дифференциальных уравнений [30]:
(2.1)
где
D - цилиндрическая жесткость;
h - толщина оболочки;
w0 - начальные несовершенства;
Ф - функция напряжений;
R1 , R2 - радиусы главных кривизн;
q - интенсивность равномерно распределенной нагрузки;
Е - модуль упругости.
Для получения решения системы уравнений ее необходимо дополнить граничными условиями закрепления контура оболочки. При шарнирном опирании по контуру, отдельностоящая оболочка покрытия, граничные условия записываются так
(2.2)
Неизвестные функции w и Ф, а так же начальные геометрические неправильности формы аппроксимируем тригонометрическими рядами
(2.3)
где
?k = k? /a; ?l = l? /b; ?t = t? /a; ?s = s? /b.
Аппроксимирующие выражения (2.3) удовлетворяют условиям шарнирного опирания (2.2).
Уравнения Бубнова-Галеркина для системы (2.1) запишем так
(2.4)
где i = 1,2,3,...
j = 1,2,3,...
Поставив (2.3) в систему разрешающих уравнений (2.1) и решая ее по методу Бубнова-Галеркина, приходим к системе нелинейных алгебраических уравнений
где
{i, j, k, l, n, r, s, t} = 1, 2, 3,...
Значения коэффициентов B (i), а так же разрешающая система нелинейных алгебраических уравнений для двух первых членов ряда приведены в приложении 1.
2.2. Выявление форм волнообразования неосесимметричного
деформирования несовершенных оболочек
Экспериментальными исследованиями установлено, что характер волнообразования находится в зависимости от целого ряда факторов, таких как:
- начальная кривизна оболочки;
- геометрические размеры в плане а ? в;
- условия на контуре;
- начальные несовершенства формы.
Сопоставление результатов испытаний оболочек на устойчивость с расчетными данными, полученными теоретическим путем, указало на большие расхождения между значениями критических нагрузок, относящиеся к номинально идентичным оболочкам [38]. При этом значения экспериментальных верхних критических нагрузок оказываются ниже теоретических.
Интерес к этой задаче обусловлен тем, что значения нагрузок в бифуркационных точках оказываются в ряде случаев меньшими, чем верхние критические нагрузки по осесимметричной теории, а это значит, что может произойти смена форм равновесия оболочки до того, как она достигнет верхней критической нагрузки по осесимметричной форме.
Для исследования неосесимметричного деформирования несовершенных оболочек средней длины разработана программа NESVET, укрупненная схема которой показана на рис. 2.1.
После ввода и контроля исходных данных производится анализ информации о поле начальных несовершенств срединной поверхности оболочки. Возможны два варианта:
а) амплитуды несовершенств по полю оболочки известны;
б) амплитуды несовершенств неизвестны.
В первом варианте выполняется разложение в ряд Фурье поля начальных несовершенств по переменным х и у (2.3); определяется форма потери устойчивости /ФПУ/. Слагаемые ФПУ подбираются из условия минимума бифуркационной нагрузки совершенной оболочки. В случае отсутствия неосесимметричной формы потери устойчивости, производится проверка на потерю устойчивости совершенной оболочки, при этом ФПУ подбирается с одним несимметричным слагаемым, которое приводит к неосесимметричному деформированию при больших кривизнах, но с наименьшей величиной нагрузки ветвления. Отсутствие бифуркации ведет к осесимметричному расчету на устойчивость по ФПУ, совпадающей с формой начальных несовершенств /ФНН/.
Во втором варианте первоначально проводится анализ геометрии совершенной оболочки на возможность неосесимметричного деформирования и по наименьшей критической нагрузке подбирается ФПУ. Далее по ФПУ и известным геометрическим характеристикам расчетной модели осуществляется поиск информации о расчетах несовершенных оболочек выполненных ранее /по данной программе или другими авторами/.
Положительный ответ приводит к окончанию работы программы. Если расчеты отсутствуют, то подбор невыгодной ФНН ведется методами математического программирования.
По ФПУ, ФНН и начальному значению параметра формируется система нелинейных алгебраических уравнений. В качестве параметра выбраны: вели-
Рис. 2.1. Укрупненная схема программы NESVET
чина поперечной нагрузки и амплитуда относительного прогиба . Второй вариант используется в случае не единственности решения, получаемого с первым параметром.
Решение системы нелинейных алгебраических уравнений выполняется по методу последовательных приближений [197] со