РАЗДЕЛ 2
ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ САМОНАГРЕВАНИИ РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ
2.1. Постановка одномерной краевой задачи
В тех случаях, когда один из размеров насыпи гораздо больше других ее размеров, присущих и очагу, расчет температуры можно проводить на основе одномерной модели. Распределение температуры существенно зависит лишь от одной пространственной координаты х. С ним приходится иметь дело при хранении зерна в силосах элеваторов, высота которых (порядка 30 м) гораздо больше, чем размеры горизонтального поперечного сечения. Горизонтальный пластовый очаг охватывает все поперечное сечение, вследствие чего распределение температуры по любому сечению можно считать равномерным. Достаточно учесть ее изменение лишь по высоте насыпи.
Выведем далее основное дифференциальное уравнение для расчета температурного поля пластового самонагревания в таких условиях. Поместим начало оси ох в центре верхнего торца массива и направим ось вниз, как показано на рис. 2.1. Удаление середины очага от верхнего торца примем равным ?, а его толщину - равной 2R. Удельную мощность тепловыделения в очаге обозначим через . Если , то очаг является однородным. Теплофизические свойства сырья характеризуем коэффициентом теплопроводности ?. Его принимаем постоянным, не зависящим от координаты х и фактической температуры сырья . Периметр и площадь поперечного сечения насыпи обозначим символами ? и F соответственно. Их также считаем постоянными величинами.
Выделим двумя поперечными сечениями элемент насыпи высотой dx и запишем условие его теплового баланса.
Рис. 2.1. Расчетная схема При этом рассеяние тепла в атмосферу, имеющую температуру , описываем зависимостью Ньютона
.
в которой h - коэффициент теплоотдачи (внешней теплопроводности).
Последний зависит от материала и толщины стенок силоса и должен определяться экспериментально или в ходе реконструкции температурного поля.
Из условия теплового баланса выделенного элемента насыпи следует .
Введя обозначения , получаем
. (2.1)
Это и есть основное дифференциальное уравнение одномерной модели, записанное относительно избыточной температуры сырья .
Для завершения постановки краевой задачи дополним уравнение (2.1) граничными условиями.
В основном далее будем рассматривать однородные граничные условия первого рода:
(2.2)
второго рода:
(2.3)
и смешанный вариант:
. (2.4)
Не представляет собой особых затруднений построить решение уравнения (2.1) и при граничных условиях третьего рода:
, (2.5)
где и - коэффициенты торцевого теплообмена. Но решения более сложны в вычислительном отношении.
Заметим, что в работах [40, 48, 116] уравнение (2.1) применялось для расчета температуры охлаждаемых стержней, причем рассматривались случаи, как постоянных, так и переменных коэффициентов. Решение в случае переменных коэффициентов строилось в специальных функциях.
Применительно к вопросам пластового самонагревания сырья уравнение (2.1), по-видимому, впервые использовалось в работе [75], где рассматривался вариант бесконечной насыпи. Другие решения для насыпи бесконечной протяженности построены в публикации [26]. Их воспроизводим с некоторым дополнением в следующем параграфе.
2.2. Одномерная модель насыпи бесконечной высоты и ее
применение к расчету температуры в окрестности
локализованного очага
Модель насыпи бесконечной высоты является наиболее простой в математическом отношении и может быть использовала для анализа распределения температур в окрестности пластового термоочага значительно удаленного от торцов насыпи. Поэтому есть смысл остановиться на такой модели.
Перенесем начало оси ох с верхнего торца массива в центр очага (смотрите рис. 2.1) и устремим к бесконечности расстояния ? и l.
Решение уравнения (2.1) найдем при граничных условиях:
. (2.6)
Это выполним с помощью метода функций Грина.
Поэтому найдем сначала функцию Грина , исходя из дифференциального уравнения
, (2.7)
в котором - функция Дирака.
Построение функции Грина.
Для построения решения дифференциального уравнения (2.7), подчиняющегося условиям (2.6), воспользуемся соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье [14]
; (2.8)
. (2.9)
Применив к уравнению (2.7) прямое преобразование (2.8) получаем в пространстве изображений
Переход к оригиналам с помощью обратного преобразования (2.9) дает
Полученный несобственный интеграл относится к табличным [24]. Учитывая его, находим функцию влияния
. (2.10)
Применим ее к решению более сложных задач теплопроводности с заданной плотностью тепловых источников.
Представление решений в квадратурах. Поместим начало оси ox в центре пластового очага. Плотность тепловых источников в нем зададим четной финитной функцией q(x) = q(-x), положив ее отличной от нуля только на некотором промежутке xI[-R; R]. Параметр 2R характеризует размер пластового очага.
Тогда в силу линейности задачи распределение разности температур по высоте насыпи представится интегралом
. (2.11)
В зависимости от значения x интеграл (2.11), с учетом функции (2.10), принимает различные формы.
В пределах пластового очага имеем
. (2.12)
Для вычисления максимальной температуры в центре очага из (2.12) следует
. (2.13)
За пределами очага интеграл (2.11) принимает вид
. (2.14)
Из выражения (2.14) вытекает, что при распределение температуры не зависит от плотности тепловых источников в очаге. Оно описывается одной и той же функцией , обеспечивающей стремление разности температур и ее производной к нулю при .
Если ввести первообразную
,