РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТРУЙНОГО ПРОФИЛЯ
ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Задаче о работе профиля без струйного закрылка (профиль крыла экраноплана) вблизи земли были посвящены несколько исследований. В работе [168] с помощью конформного преобразования получено точное решение двумерной задачи об обтекании плоской пластины вблизи земли. На базе теории несущей поверхности были получены решения трехмерных задач [119], причем решения находились, вообще говоря, с помощью быстродействующих вычислительных машин. В работах [54, 55] методом граничных интегральных уравнений исследованы задачи о механизированных профиле и прямоугольном крыле конечного размаха, движущихся вблизи плоской поверхности раздела в потоке идеальной несжимаемой жидкости. К сожалению такого рода масштабных исследований струйной механизации не существует.
2.1. Интегральное представление решения краевой задачи внешнего обтекания
Классическое интегральное представление решения задачи (1.10) в виде криволинейных потенциалов простого и двойного слоев имеет вид [29, 36]:
(2.1)
где , а потенциал скоростей функция неизвестная на границах потока.
Вторая внутренняя краевая задача для уравнения Лапласа (1.10) однозначно разрешима в односвязной области, поскольку выполняется необходимое и достаточное условие . Так как плотности потенциалов основной и отображенной систем одинаковы при выделении интегралов по контрольной поверхности, то
, (2.2)
Необходимо отметить, что такой общий и строгий подход к задачам аэрогидродинамики предпринимается, по-видимому [27, 35, 78], впервые.
2.2. Геометрические характеристики в зеркально отображенной системе
Для тонких профиля и струи рассмотрим характерные интегралы в (2.1, 2.2). Бесконечно тонкая струя S, вытекающая из задней кромки профиля- пластины, представляется ломаной с вершинами, расположенными на струе (рис. 2.1).
Выделим произвольно расположенный нормированный плоский элемент со своим зеркальным отражением относительно оси Ox (рис. 2.2.).
Учитывая взаимное расположение декартовых осей на рис.2.2 перейдем к местным декартовым координатам на каждом элементе последовательно по формулам аналитической геометрии переноса и поворота:
Рис. 2.2. Зеркально отображенные элементы
.
Окончательно, для основного элемента:
,
а для отображенного:
Тогда в интегральном представлении (1.12) необходимо положить:
(2.3)
; (2.4)
(2.5)
(2.6)
(m = 0, ?1)
2.3. Дифференцирование потенциалов
Для преобразования интегрального представления решения (2.2) задачи (1.10) в систему соответствующих граничных интегральных уравнений необходимо удовлетворить граничным условиям задачи (1.10). Но это возможно только в случае, если дифференцирование не приводит к несуществующим (расходящимся) интегралам. Для предотвращения такого случая, пользуясь соотношениями Коши - Римана для фундаментальных решений оператора Лапласа
, (2.7)
интегрируя по частям эту составляющую потенциала двойного слоя в выражении (2.2), получим
+, (2.8)
где - касательная составляющая вектора скорости на границах потока, а - сопряженная функция, которая равняется углу между осью Ox и радиусом вектором r.
Таким образом, приходим к нормальным производным потенциалов с учетом условий Коши-Римана (2.7)
(2.9)
и аналогично для касательной производной
(2.10)
В общем случае рассмотрим взаимодействие произвольных элементов профиль-профиль, профиль-струя или струя-струя. Причем влияние нормированного (|AkBk| = 1) элемента AkBk на элемент AlBl происходит с учетом его отображения относительно оси Ox (рис. 2.3).
При вычислении производных по характерным направлениям в выражениях (2.9 - 2.10), в случаях, когда граничное условие выполняется в точке M(x', y') ? AlBl, а интегрирование потенциалов выполняется вдоль некоторых других элементов по точкам N(?, ?) ? AkBk, и N'(?', ?') ? A'kB'k необходимо учитывать, что
во-первых,
а, во-вторых,
;
и поэтому для корректного интегрирования по реальным переменным при дифференцировании потенциалов по внешним переменным производные представляются в виде:
нормальные направления -
на основной системе:
, (2.11)
на отображенной системе:
; (2.12)
касательные направления -
на основной системе:
; (2.13)
на отображенной системе:
, (2.14)
где под функцией понимается или , или сопряженная ему функция ?.
Аналогично
но, в силу гармоничности,
и поэтому
Таким образом,
Тогда производные потенциалов (2.9, 2.10) переписываются следующим образом
(2.15)
и аналогично для касательной производной
. (2.16)
Причем интегралы по границе контрольной области (?) - известны.
2.4. Расчетная модель и интегральные представления поля скоростей
Для тонких профиля и струи рассмотрим характерные интегралы в (2.15, 2.16) по произвольному замкнутому контуру (K), охватывающему элемент-пластинку (L) (рис.2.4):
; (2.17)
1. (2.18)
В силу граничного условия непротекаемости производные по нормали потенциала скорости на элементах несущих систем
. (2.19)
А касательные производные с двух сторон поверхности разрыва образуют вихревой слой с интенсивностью ? [76]:
. (2.20)
На этом основании интегральные представления компонент вектора скорости в поле течения (2.15, 2.16) принимают вид
+
(2.21)