РАЗДЕЛ 2
ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ЗАГРЯЗНЕНИЙ В РУСЛАХ РЕК
2.1. Особенности численной модели течения в руслах
В настоящем разделе рассматривается построение численных методов для реализации математических моделей, приведенных в разделе 1, в приложении к исследованию течения воды и распространения загрязнений в руслах рек разнообразной геометрической формы.
Для прикладных задач гидродинамики рек одной из важнейших задач является адекватный учет реального очертания русла, которое может иметь весьма сложную конфигурацию. При этом математические модели должны носить достаточно общий характер, позволяющий исследовать гидродинамику течений при решении самых разнообразных практических задач.
Для преодоления противоречия между общностью математической модели и разнообразием постановок задач практической гидродинамики в работах [69,77] был предложен подход, основанный на эффективном способе задания разнообразной по форме и физическому содержанию исходной информации о водоеме. Этот способ нашел свое дальнейшее развитие в работах автора [87-97].
Первой характерной чертой рассматриваемого подхода является использование прямоугольной разностной сетки, которой покрывается расчетная область, включающая как участок водоема, так и прибрежную сушу. При этом истинная граница береговой линии аппроксимируется ступенчатой ломаной линией.
Второй отличительной чертой этого подхода является использование маркеров (в качестве которых нами использовались целые числа), позволяющих идентифицировать принадлежность разностных ячеек соответственно к основному руслу водоема, притокам, островам, суше и т.п.
Третьей отличительной особенностью рассматриваемого подхода является преимущественно использование попеременно треугольной схемы расщепления, которая позволяет применять эффективный метод "бегущего счета".
Типичная схема маркировки для русла с притоком представлена на рис. 2.1.
00000033333333333333388888888888888444444444444444444444499999999
00000012222222222222188888888888888122222222222222222222199999999
00000001222222222222218888888888888122222222222222222222199999999
00000001222222222222221888888888888812222222222222222222199999999
00000000122222222222222188888888888812222222222222222221999999999
00000000122222222222222218888888888812222222222222222211999999999
00000000001222222222222222188888888122222222222222222199999999999
00000000000012222222222222221888888812222222222222221999999999999
00000000000000122222222222222188888812222222222222222199999999999
00000000000000001222222222222221188881222222222222222219999999999
00000000000000001222222222222222218888122222222222222221999999999
00000000000000000122222222222222221188812222222222222221999999999
00000000000000000012222222222222222218812222222222222222199999999
00000000000000000001222222222222222221812222222222222222219999999
00000000000000000000122222222222222222122222222222222111111999999
00000000000111111111222222222222222222222222222222221999999999999
00000000001222222222222222222222222222222222222222219999999999999
00000000001222222222222222222222222222222222222222221999999999999
00000000012222222222222222222222222222222222222222221999999999999
00000000122222222222222222222222222222222222222222219999999999999
00000001222222222222222222222222222222222222222222199999999999999
00000001222222222222222222222222222222222222222222199999999999999
00000005555555555555555555555555555555555555555555599999999999999
Рис. 2.1. Типичная схема маркировки разностных ячеек для задачи
слияния двух русел
Расчетная область разбивается прямоугольной, в общем случае неравномерной сеткой из ячеек. Все ячейки помечаются маркерами, например: номера "0", "8", и "9" - ячейки, расположенные на суше; "2"- разностные ячейки, расположенные в водоеме; маркером "1" отмечены ячейки, примыкающие к береговой линии, на границах которой в рамкам вязкой модели ставятся условия прилипания. Маркерами "3" и "4" отмечены ячейки, расположенные на границах втекания воды в расчетную область на основном русле и на притоке; маркером "5" отмечены ячейки, расположенные на границе вытекания воды из расчетной области.
Распознание номера маркера в программе позволяет использовать соответствующие начальные и граничные условия. Так, например, по значению маркера "3" или "4" задаются компоненты скорости втекания воды в расчетную область и т.д.
2.2. Численная модель течения в руслах постоянной глубины
2.2.1. Система уравнений плановой модели в руслах
постоянной глубины
Наиболее простая математическая модель течения и распространения загрязнения получается в предположении, что глубина изменяется незначительно (как с течением времени, так и по координатам ()), так что можно приближено положить . Кроме того, на данном этапе будем предлагать, что к водоему отсутствует приток жидкостей через свободную поверхность и поверхность ложа. Тогда система уравнений мелкой воды запишется в виде
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
, (2.4)
где через обозначен источниковый член в уравнении переноса и диффузии.
В уравнениях импульсов (2.2), (2.3) сохранены вязкие члены только в виде закона Ньютона. При этом турбулентное трение внутри среды учитывается введением эффективного коэффициента вязкости в уравнения (2.2), (2.3), или учитывается только интегрально за счет учета напряжений турбулентного трения на свободной поверхности и на дне ложа водоема (так называемые "регуляторные модели, [69,72-84,87-97]).
Уравнение неразрывности (2.1) показывает, что удобно ввести функцию тока из условий
. (2.5)
Тогда систему уравнений (2.1) - (2.4) можно привести к следующему виду [69,85,86]
, (2.6)
, (2.7)
, (2.8)
где
, (2.9)
, (2.10)
. (2.11)
Если выбрать в качестве масштаба длин некоторой линейный размер (например, поперечный размера русла), в качества масштаба скорости - скорость втекания воды во входном сечении, то в предположении, что , получим следующую систему уравнений в
- Київ+380960830922