РАЗДЕЛ 2
Дискретный метод наименьших квадратов
Необходимость разработки дискретного метода наименьших квадратов (ДМНК)
обоснована в первой главе. Его особенностью является то, что в процессе
моделирования в качестве определяющих параметров могут выступать не только
ординаты моделирующей ДПК, а и значения разделенных (конечных) разностей
заданного порядка. При этом реализуются два подхода:
аппроксимация по критерию МНК с учетом аппроксимирующей функции, когда
определяющие параметры выбираются на основании свойств этой функции;
аппроксимация без учета аппроксимирующей функции, когда определяющие параметры
опираются на дифференциальные свойства аппроксимирующей функции (множество
разделенных или конечных разностей) без фиксации закона их изменения.
Очевидно, что при реальном моделировании более распространенной является схема
с весовыми коэффициентами, выбор значений которых определяется условиями
эксперимента. Введение весовых коэффициентов видоизменяет вычислительные
алгоритмы и влияет на результат моделирования. Эти вопросы рассматриваются в
предстоящей главе.
2.1. Общий алгоритм ДМНК
Вначале рассмотрим точечную аппроксимацию на основе непрерывного МНК. Пусть
задан на равномерной сетке с шагом h= xi+1 – xі точечный ряд (хі, yі),
некоторой ДПК, не имеющий точек с совпадающими абсциссами. Требуется
аппроксимировать его по критерию МНК некоторой функцией y=f(x). Непременным
условием является линейность параметров этой функции. Решение задачи
заключается в следующем.
Алгоритм 1 точечной аппроксимации по критерию МНК.
1. Выбирается вид аппроксимирующей функции. Чаще всего это алгебраический
полином, реже - тригонометрический, экспоненциальный полином или другие
функции, например, их комбинации, линейные относительно своих коэффициентов
(параметров).
2. Записывается условие МНК
F=? (yі -f(xі ))2 = min. (2.1)
3.Функция F дифференцируется по параметрам а0, а1,….,ак, k
(2.2)
4. Решается полученная система нормальных уравнений (2.2) и определяются
значения параметров аj, . Матрица системы (2.2) является симметрической и
поэтому решение всегда существует.
5.Полученные значения коэффициентов подставляются в функцию f(x) и определяются
отклонения заданных точек от расчетных
(2.3)
6. Рассчитывается значение критерия F из (2.1)
Для повышения точности аппроксимации, т.е. уменьшения значения F, необходимо
увеличить число параметров. Этот процесс уменьшения F (увеличения числа
параметров) – сходящийся и при числе параметров, равном числу точек, F=0,
происходит интерполяция заданного ряда функцией y = f(x). В многочисленной
литературе по МНК и его приложениям приведено множество решенных примеров по
алгоритму 1.
Рассмотрим суть ДМНК. Его алгоритм заключается в следующем.
Алгоритм 2 дискретной аппроксимации по критерию МНК.
1.Выбирается зависимость между ординатами моделирующей ДПК и определяющими ее
параметрами.
(2.4)
Если в качестве параметров выступают ординаты точек, определяющих
аппроксимирующую ДПК, то рассматриваемая зависимость имеет вид разностного
соотношения [30, 101]. Другие возможности будут рассмотрены позднее.
2.Назначается, какие из параметров являются определяющими (например, ординаты и
параметры ) и определяются ординаты уі каждой из точек аппроксимирующего ряда в
зависимости от этих параметров
уі = уі (уо,у1,...,уp,mo,m1,…,mк); (2.5)
3.Записывается условие ДМНК
(2.6)
4.Дифференцируется (2.4) по каждому из параметров и составляется система
нормальных уравнений
, ,…,; , ,…, (2.7)
5.Решается система нормальных уравнений (2.7) и определяются значения
управляющих параметров и mo, m1,…,mк. Как и в алгоритме 1 матрица системы (2.7)
является симметрической, поэтому решение всегда существует.
6.Полученные значения управляющих параметров подставляются в (2.5) и
определяются ординаты остальных точек аппроксимирующего ряда.
7.Рассчитываются отклонения
и значение критерия F из (2.6)
Рассмотрим пример.
Задан точечный ряд таблицей 2.1
Таблица 2.1
Координаты точек исходного ряда
х
0
Требуется аппроксимировать его прямой линией по критерию МНК.
Действуем согласно алгоритму 2.
1.Соотношение между ординатами точек моделирующей прямой линии на равномерной
сетке имеют вид
, (2.8)
2.Выбираем в качестве управлящих параметров ординаты и . Тогда из (2.8) имеем
. (2.9)
Можно записать в общем виде
; . (2.10)
3.Условие ДМНК имеет вид
(2.11)
4.Дифференцируем (2.11) по и. Имеем окончательно
,
или
(2.12)
5.Решаем систему (2.12) и определяем значения и.
= 2,1428, = 2,2857.
6.Ординаты остальных точек аппроксимирующей прямой согласно (2.9) равны
= 2,428, =2,5715, =2,7144, =2.8573777.
7.Отклонения
, , , , , ,
F = 13,1428
-2,1428
0,7143
1,5714
1,4285
0,2856
-1,8573
Результаты моделирования изображены на рис.2.1.
Приведенный пример иллюстрирует работоспособность алгоритма 2
Если решить эту задачу согласно алгоритму 1, то получим ту же самую прямую
у = ао+а1 х , (2.13)
где из системы (2.2) нормальных уравнений определены параметры ао = 1,857, а1 =
0,1429, в отличие от алгоритма