Розділ 2
Математичні моделі допплерівсько-поляриметричного зондування хмар та опадів
2.1 Феноменологічні моделі допплерівських спектрів
Розподіл крапель за швидкостями падіння. У випадку нерухомого повітря швидкість
падіння та радіолокаційний відбиваючий об’єм залежать тільки від діаметру
краплі. Тобто причина падіння крапель – дія сил гравітації. Швидкість падіння
краплі – це вектор спрямований вертикально вниз. Розглянемо випадок нахиленого
зондування, коли важлива проекція швидкості падіння на промінь радіолокатора.
Проекція швидкості падіння краплі на промінь антени можна записати, якщо ввести
кут нахилу и в формулу (1.1):
де (2.1)
Зворотна до (2.1) функція має вигляд: та похідна . Швидкість падіння краплі
розглядається як функція випадкової величини , яка є розподілом, що
визначається формулою (1.10). Аналітичний вираз розподілу крапель за
швидкостями падіння можна отримати, якщо розділити (1.10) на похідну та
підставив . Після спрощення отримаємо наступний вираз з максимальною похибкою
менш ніж 0.1% [31]:
. (2.2)
Результати розрахунків за формулою (2.2) при показано на рис. 2.1. Суцільна
лінія відповідає =30o і =0; пунктирна - =90o and =0; лінія точечками - =30o and
=1; лінія з кружечками - =90o and =1.
Рис. 2.1. Розподіл крапель за радіальними швидкостями падіння при різних
розподілах крапель за розмірами та кутах нахилу антени.
В загальному випадку неможливо отримати аналітичний вираз для нормального
розподілу , який би міг використовуватися як щільність ймовірності. При
необхідності можна застосувати цифрову нормалізацію. У випадку розподілу
Маршала-Палмера (m=0), а також для інших конкретних значень m (=1, =2, ...),
інтегрування виразу (2.2) по можливо зробити аналітично, але отриманий вираз
для нормального розподілу є громіздким і не дається в цій роботі.
Можна одержати розподіл крапель за швидкостями падіння для даної висоти одного
роздільного радіолокаційного об‘єму, якщо дотримувати такої ж методики прийняв
до уваги формули (1.2) і (2.1).
Розподіл крапель за турбулентними швидкостями. Виявлення турбулентності в
опадах допплерівськими РЛС базується на припущені, що часточки (розсіювачі)
захоплюються турбулентними рухами повітря. Тому допплерівський спектр, який
обумовлено рухом крапель дощу, вміщує інформацію про турбулентність. Однак,
краплі, особливо дощові краплі, завдяки інерції не повністю дотримуються рухам
повітря. В цій частині розглядається тільки вплив турбулентності на формування
спектру швидкості краплі.
Скористуємося методикою, що запропонована в [37]. Насправді, чим більший
просторовий масштаб вихору, тим більший розмір крапель, яки захоплюються ним.
Припустимо, що для кожної групи крапель з однаковим розміром існує деякий
мінімальний просторовий масштаб турбулентності . Це означає, що вихор з
просторовим масштабом захоплює в свій рух усі часточки розмірами . І навпаки,
масштаби турбулентності, які менші за не мають значної дії на краплі з
розмірами DіDL.
Припустимо, що ті краплі, які захоплюються, захоплюються повністю та мають таку
саму швидкість як і вихор. Але краплі, які не захоплюються, не мають ніякої
додаткової швидкості з-за дії турбулентного вихору даного просторового масштабу
(але їх захоплюють вихори більших масштабів). Таке спрощення дозволяє
скористатися інтегруванням по всіх просторових масштабах і всіх розмірів
крапель і прийняти до уваги неповну залежність руху крапель від дії
турбулентних вихорів. Відповідно до цієї концепції кожний еквівалентний діаметр
краплі зкоординован зі своїм індивідуальним значенням мінімального масштабу ,
таким чином, і - функціонально пов‘язані величини: , , і означає зворотну до
функцію.
Маючи за основу вищезазначену концепцію, розподіл крапель за турбулентними
швидкостями для крапель з можна записати в наступному вигляді:
= , (2.3)
де - щільність ймовірності турбулентної швидкості, - щільність ймовірності
просторових масштабів для даних параметрів турбулентності. Як вже було
зазначено, будь-яка складова випадкової турбулентної швидкості описується
законом нормального розподілу з нульовим математичним очікуванням і дисперсією,
що залежить від швидкості дисипації кінетичної енергії турбулентності (ШДКЕТ)
[1 ШДКЕТ – це параметр який характеризує інтенсивність турбулентності, а отже
ступень її небезпеки на ПС [28, 30]], що позначається , і просторового масштабу
турбулентності відповідно до виразу (1.21).
. (2.4)
Розглянув і як функціонально пов‘язані випадкові зміні, отримаємо функцію як ,
де щільність ймовірності змінної визначається формулою (1.6) з відповідною
нормалізацією. Нормовану функцію щільності запишемо як
= . (2.5)
Величина з‘являється як ліміт інтегрування по при нормуванні і її можна
інтерпретувати як найбільший просторовий масштаб турбулентності, який
розглядається.
Підставивши і , які визначаються формулами (2.4) і (2.5) в формулу (2.3),
одержимо наступний результат:
. (2.6)
Інтеграл в формулі (2.6) можна виразити аналітично через функцію похибок . Тоді
рівняння для має вигляд:
. (2.7)
Найнижча границя інтегрування в формулі (2.3) - це мінімальний просторовий
масштаб, який захоплює краплі в свій рух. Він є функцією діаметру крапель .
Основою детермування прийнято числова залежність між діаметром краплі та часом
релаксації, яку показано в таблиці 1.1. Прийняв, що параметр може змінюватись в
середині деякого діапазону, залежність можна аппроксимувати наступним виразом:
, (2.8)
де =10 м/с і відповідає початковим даним [37]. і в формулі (2.8) вимірюються в
міліметрах та метрах відповідно.
Верхня границя інт