РОЗДІЛ 2
ФАЗОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЙСМІЧИХ ХВИЛЬ, ЇХ РЕГУЛЯРИЗАЦІЯ І КОРЕКЦІЯ
Функції дисипації енергії сейсмічних хвиль при їх поширенні у середовищі
визначаються переважно за амплітудними і фазовими характеристиками елементарних
сигналів. Проте методи іх оцінок за реальними хвильовими полями мають
принципові недоліки. Це може спричинити грубі помилки у визначенні
характеристик середовища, пов’язаних з поглинанням: перехідних і передаточних
характеристик, спектрів коефіцієнтів поглинання (СКП), фазових і групових
швидкостей, логарифмічних декрементів згасання (ЛДЗ) тощо.
У даному розділі пропонуються методи регуляризації і корекції рішень задач по
визначенню мінімально-фазових спектрів за перетворенням Гільберта. Побудовано
формули для продовження до неперервності фазових характеристик за їх розривними
головними значеннями. Запропоновано метод оцінки немінімально-фазових
характеристик елементарних сигналів на основі статистичного аналізу. Неперервні
фазові спектри елементарних сигналів використовуються в усіх розділах роботи.
Відповідні елементарні сигнали можуть застосовуватись для математичного
моделювання, побудови обернених операторів, тощо.
Мінімально-фазова характеристика елементарного сигналу як уявна складова
аналітичної функції, згідно з перетворенням Гільберта, визначається за
логарифмом модуля його амплітудного спектра. Тому вимоги щодо точності
визначення амплітудного спектра елементарного сигналу особливі.
2.1. Амплітудні спектри елементарних сигналів.
За результатами вивчення впливу на хвильове поле верхньої частини розрізу (див.
“Додаток”), елементарні сигнали (далі скорочено - сигнали), виділені на різних
ділянках розрізу СГТ, помітно відрізняються між собою. Це пов’язано з
різноманітністю будови, складу і властивостей середовища, а також з умовами
збудження і спостереження на різних точках профілю. У реальних
сейсмогеологічних умовах виникають різноманітні регулярні і випадкові
хвилі-завади, що істотно ускладнюють можливості рішення задач за динамічними
ознаками хвиль, починаючи з визначення елементарних сигналів. Для цієї мети
хвильове поле повинно бути одного типу, наприклад, P, S чи інше, неускладнене
хвилями-завадами. В протилежному випадку визначається середньоквадратичний
сигнал, що не відповідає жодному з існуючих типів хвильових полів [47]. Тому у
сейсміці в цілому, існує проблема розділення цільових хвиль і завад.
У більшості робіт [6, 24, 68 та ін.] вважається, що випадкова завада
некорельована, а також що імпульсна реакція середовища підпорядкована
нормальному, Пуасоновому закону або розподілу Джефріса. Як відомо, за функцією
автокореляції (ФАК) з випадкового процесу виділяється невипадковий елемент,
тобто ѕ ФАК елементарного сигналу. За теоремою Кембела [20, 100], ФАК
сейсмічної траси з точністю до деякого постійного множника співпадає з ФАК-ом
елементарного сигналу [9, 24, 68], а його спектр відповідає квадратному
кореневі зі спектра сейсмічної траси. Для його оцінки на сейсмічній трасі
вибирають «вікно» по часу порядку 0.7-1с і більше.
Амплітудні спектри елементарних сигналів визначаються також безпосере-дньо за
матсподіванням спектрів вибірок сейсмічних трас у деякому вікні :
. (2.1)
При цьому оцінки , як і спектри за даними ФАК чи ФВК не обгрунтовані. Це
означає, що дисперсія густини модулів спектрів
(2.2)
де (2.1) при як завгодно великій кількості складових для жодної гармоніки не
наближається до нуля. Навпаки, тобто наближається до квадрата спектра сигналу
[30]. При цьому спектр ускладнюється значною кількістю екстремумів.
Щоб досягнути обгрунтованої оцінки густини спектрів, застосовують вагові
функції: Хенінга, Бартлета, Пугачова, Хемінга, Даніеля, Парзена [30, 105] тощо,
та їх згортки у спектральному просторі. Крім забезпечення обгрунтованості,
вибір типу і параметрів вагової функції зглажування впливає на
середньоквадратичну похибку оцінки спектра, роздільність сигналів, їх зміщення.
У даній роботі для досягнення обгрунтованості застосовано вагову функцію
Хемінга :
, (2.3)
де - максимальний час існування вагової функції, приймається наближено рівним
часу тривалості шуканого сигналу, тобто 0,05 - 0,08 с, а смуга по частоті якої
становить Гц. Вагова функція Хемінга доволі селективна і найбільш значні її
бокові пелюстки (третя та четверта) мають амплітуду, що не перевищує одного
відсотка основного екстремуму.
2.2 Регуляризація і корекція мінімально-фазових спектрів за перетворенням
Гільберта та оцінка сигналів.
Як відомо, однозначної залежності між амплітудними і фазовими спектрами не
існує. Одному і тому ж амплітудному може відповідати скільки завгодно фазових ,
отже, і часових функцій . Єдиним винятком є мінімально-фазовий спектр. Логарифм
комплексного спектра сигналу
(2.4)
є періодичною функцією частоти:
. (2.5)
Для головного значення, при , зв’язок між дійсною і уявною складовими виразу
(2.5) є однозначним, якщо вони належать до класу аналітичних функцій. Уявну
компоненту комплексної функції за дійсною і навпаки можна визначити з точністю
до деякої постійної величини за інтегралом Коші з ядром Гільберта інтегруванням
по контуру на дійсній осі і у безмежності. Відомо декілька модифікацій
перетворення Гільберта [11, 94 та ін.]. У даній роботі застосовується найбільш
поширений варіант пари прямого і оберненого перетворення Гільберта [28, 64, 65,
121]:
(2.6)
Функцію , визначену за першим з виразів (2.6), називають мінімально-фазовим
спектром. Символ у (2.6) означає головне значення по Коші, яке розуміють у тому
сенсі, що у межах інтегрування для кожного значення арг
- Київ+380960830922