РАЗДЕЛ 2
МЕХАНИКА ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ГО СВП
2.1. Механика плоской круглой диафрагмы с круговым воздуховодным вырезом внутреннего ГО СВП
2.1.1. Математическая модель НДС круглой диафрагмы внутреннего ГО. Одним из элементов внутреннего гибкого ограждения СВП является плоская круглая диафрагма с круговым вырезом, предназначенным для прохода воздуха (см. рис. 1.1). Диафрагма придает необходимую форму внутреннему гибкому ограждению в рабочем состоянии.
Решение задачи о НДС круглой диафрагмы ГО СВПА сводится к рассмотрению задачи об осесимметричной деформации круглой мягкой пластины радиусом с круговым отверстием радиуса . Пластина подвержена всестороннему растяжению усилием . Пластина в напряженном состоянии также останется круглой с круговым отверстием. При этом радиусы пластины и отверстия соответственно будут равны и (рис. 2.1,а).
Приняты следующие допущения: материал диафрагмы растяжимый и подчиняется закону Гука.
Цель данного пункта - нахождение аналитических зависимостей, определяющих НДС диафрагмы, создание математической модели напряженно-деформированного состояния круглой диафрагмы с круглым воздуховодным вырезом внутреннего гибкого ограждения судна на воздушной подушке.
Составим уравнение равновесия элемента пластины, проектируя силы, действующие на элемент, на ось (рис. 2.1,б).
. (2.1)
Преобразуем и сократим (1)
разделим на
, (2.2)
где и - внутренние погонные натяжения в направлении радиусов пластины (радиальные натяжения), и в направлениях, перпендикулярных радиусам (тангенциальные натяжения).
Для решения уравнения (2.2) воспользуемся геометрическими соотношениями (связь между деформациями и перемещениями) в системе координат (рис. 2.1,а), которые имеют вид [80]:
(2.3)
где - перемещение точки пластины в направлении ; - перемещение точки пластины в направлении ; - перемещение точки пластины в направлении нормали; - относительное удлинение материала оболочки в направлении ; - относительное удлинение материала оболочки в направлении ; и - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности деформированной пластины в записи Ляме-Дарбу.
Для плоской пластины:
;
;
тогда выражение (2.3) примет вид:
; . (2.4)
Относительную тангенциальную деформацию найдем из подобия треугольников (рис. 2.1,в):
.
Следовательно,
. (2.5)
Из выражений (2.4) и (2.5) можно получить уравнение совместности деформаций:
или
а
б
Рис. 2.1. К расчету круглой мягкой пластины с круговым вырезом:
а - нагружение диафрагмы; б - силы, действующие на элемент пластины;
в - деформация пластины.
. (2.6)
Преобразуя (2.6), получим
. (2.7)
Учитывая, что значительно меньше 1, примем следующие допущения:
С учетом допущений выражение (2.7) примет вид:
.
На основе уравнений равновесия и совместности деформаций получена система дифференциальных уравнений:
; (2.8)
. (2.9)
Относительные деформации выражаются зависимостями:
, ; (2.10)
Преобразуем уравнение (2.8), подставив в него из (2.10) ,
;
. (2.11)
Упростив выражение (2.11), система дифференциальных уравнений
(2.8) - (2.9) преобразуется:
; (2.12)
. (2.13)
Решение системы дифференциальных уравнений (2.12) - (2.13) в общем виде относительно и :
, ,
где , - неизвестные постоянные интегрирования.
Полное решение системы дифференциальных уравнений находится с использованием граничных условий
Решение системы дифференциальных уравнений относительно и с учетом граничных условий:
, . (2.14)
Упростив (2.14), получим:
, . (2.15)
Подставляя (2.15) в (2.10), найдем выражение для :
. (2.16)
Учитывая, что и получим:
.
,
где ; ; .
Связь между недеформированной и деформированной системами координат выглядит следующим образом:
, . (2.17)
Подставив (2.16) в (2.17), найдем выражение для :
. (2.18)
Из (2.18) найдем зависимость для :
. (2.19)
где , , , ,
, , ,
В (2.19) остаются неопределенными и . Найти их можно, если подставить в (2.18) и . Таким образом, для нахождения и необходимо численно решить следующую систему уравнений:
Решение задачи при исходных данных: м; м; м; Н/м, , Па дает следующие результаты:
Н/м, м, м,
мм, мм, Н/м, Н/м,
Н/м, Н/м,
, , , ,
Па, Па, Па, Па,
Зависимости и от для указанных исходных данных представлены на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Графики зависимостей
2.1.2. Проверка достоверности математической модели круглой диафрагмы внутреннего ГО с помощью МКЭ. Для проверки достоверности результатов теоретических расчетов задача была решена с теми же исходными данными с использованием МКЭ. В качестве конечного элемента (КЭ) был принят 8-узловой оболочечный элемент.
В качестве расчетной модели круглой диафрагмы внутреннего ГО рассматривалась четверть пластины (рис. 2.3.). Симметричность пластины в расчете учитывалась наложением на рассматриваемую модель граничных условий (линия L1 - не перемещается вдоль оси X, линия L3 - не перемещается вдоль оси Y). Внешние силы, действующие на модель пластины, и ограничения показаны на рис. 2.3,б.
а)
б)
в)
Рис. 2.3. Расчетная модель круглой диафрагмы внутреннего ГО:
а - обозначения линий расчетной модели; б - внешние силы и ограничения;
в - уплотнение сетки конечных элементов в районе выреза.
Для повышения точности результатов расчета модель пластины разбивалась на конечные элементы с уплотнением сетки в районе выреза, рис. 2.3,в.
Результаты расчета по МКЭ с