РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА НАУКОВО-МЕТОДИЧНОГО АПАРАТУ ОЦІНКИ ВПЛИВУ РІДКОГО ПАЛИВА НА ДИНАМІКУ ПОЛЬОТУ АВІАЦІЙНО-КОСМІЧНОЇ СИСТЕМИ
У другому розділі розроблено науково-методичний апарат оцінки впливу рідкого палива на динаміку польоту авіаційно-космічної системи. На підставі аналізу наукових досліджень вибрано найбільш відповідний метод для розв'язання задачі про сумісний рух системи "тіло-рідина", здійснена його модифікація з урахуванням витоку, інтегральних характеристик в'язкості і наявності демпферів коливань. Затим з урахуванням одержаної модифікованої моделі і математичної моделі ракети-носія авіаційно-космічної системи як твердого тіла змінної маси без урахування коливань рідкого палива була синтезована математична модель динаміки руху ракети-носія авіаційно-космічної системи з урахуванням коливань рідкого палива, його витоку, інтегральних характеристик в'язкості і наявності демпферів коливань. Ця модель стала основою методики визначення геометричних та вагових характеристик демпферів коливань в паливних баках ракети носія.
2.1. Синтез математичної моделі динаміки руху ракети-носія авіаційно-космічної системи з урахуванням коливань рідкого палива, його витоку, інтегральних характеристик в'язкості і наявності демпферів коливань
2.1.1. Математична модель ракети-носія авіаційно-космічної системи як твердого тіла без урахування коливань рідкого палива
РН розглядатимемо як тверде тіло змінної маси, що має площину інерційно-масової симетрії.
Нехтуючи нецентральністю поля земного тяжіння і несферичністю земної поверхні і враховуючи, що в бічному каналі стабілізується заданий кут рискання?, а кути крену ? і ковзання ? рівні 0, запишемо рівняння, що описують рух центру мас РН у подовжній площині, в проекціях на осі швидкісної системи координат ОXаYaZa (рис. 2.1) [44, 75, 134]:
, (2.1)
, (2.2)
Рис.2.1
де: V - швидкість польоту; m - маса ракети; P - сила тяги; Xy - втрата тяги на органах управління; X - сила лобового опору; g - прискорення вільного падіння; ? - кут нахилу траєкторії; ? - кут атаки; Y - підйомна сила; Yy - підйомна сила керма.
Рух ракети навколо центру мас визначається рівнянням [44, 75, 134]:
, (2.3)
де: - кут тангажу; xт - відстань центру тиску від вершини ракети; хц.м. - відстань центру мас від вершини ракети; хр - відстань від вершини ракети до точки прикладання підйомної сили керма.
Кінематичні співвідношення між параметрами руху задаються у вигляді:
, (2.4)
, (2.5)
, (2.6)
. (2.7)
Зміна маси ракети описується рівнянням: . (2.8)
При балістичних розрахунках приймається, що вісь ракети суворо виконує кутові повороти, які задаються їй програмним механізмом [44, 75, 134]
. (2.9)
З урахуванням коливань рідкого палива рівняння (2.1), (2.2) та (2.3) можна записати так:
, (2.10)
, (2.11)
, (2.12)
де Fрпод и Fрпоп - силовий подовжній і поперечний відгуки рідини відповідно, а Мр - моментний відгук.
Таким чином, знайшовши аналітичні вираження для силового і моментного відгуку рідини з достатньою для практики достовірністю, одержимо адекватну математичну модель динаміки РН АКС.
2.1.2. Варіаційний метод І.О. Луковського для дослідження нелінійної динаміки твердих тіл з порожнинами, що містять рідину
Найбільш доцільним підходом до розв'язання задач про рух АКС з урахуванням рухливості рідкого палива є метод побудови рівнянь І.O. Луковського [125-128, 133] для співвісних циліндрів. Він допускає відносно просту реалізацію на ЕОМ і дає змогу враховувати кутові обертання резервуару з рідиною.
Нехай механічна система, що складається з твердого тіла й ідеальної нестискуваної рідини, здійснює просторовий рух у полі сил тяжіння під дією прикладених до тіла сил ... (рис. 2.2). З твердим тілом жорстко зв'яжемо систему координат Oxyz, вісь Ox якої у незбуреному стані перпендикулярна вільній поверхні рідини. Рух твердого тіла у нерухомій системі координат О1ХYZ задаватимемо вектором поступальної швидкості точки О і вектором миттєвої кутової швидкості відносно точки О. Рідина частково заповнює порожнину, утворену співвісними круговими циліндрами. Глибину рідини у порожнині позначимо через h, координату днища у зв'язаній системі координат x0, вектор прискорення сил тяжіння -, радіус внутрішнього і зовнішнього циліндрів - R0 і R1 відповідно.
Рівняння вільної поверхні рідини у циліндровій системі координат Оx?? подамо так [125]:
. (2.13)
Тут , (2.14)
та - функції Беселя і Неймана m-ого порядку, - n - й корінь рівняння , (2.15)
де ?=R0/R1.
Якщо розглядати випадок, коли резервуар утворений одним циліндром, то функція (2.14) і рівняння (2.15) набудуть вигляду:
, (2.16)
. (2.17)
Запишемо у скалярній формі рівняння руху даної механічної системи [125]. Точку O пов'язаної з тілом системи координат розташуємо у центрі інерції G0 системи "тіло-рідина" при затверділій у незбуреному стані рідині, а за напрям вісей xyz виберемо головні вісі інерції тіла. Рівняння сил мають вигляд:
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Рівняння моментів відносно головних вісей інерції у точці G0 запишемо так:
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Підкреслені члени відповідають силовому і моментному внеску рідини, що коливається, у динаміку системи. Остання група нелінійних диференціальних рівнянь, замикаючих систему (2.18)-(2.23), у розгорненій формі записується таким чином:
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
Тут і - маса твердого тіла і рідини відповідно; - компоненти вектора прискорення і - компоненти тензора інерції твердого тіла і рідини відповідно; і - компоненти головного вектора і головного моменту всіх активних сил.
Система рівнянь (2.18)-(2.28) найбільш загальна з відомих нелінійних систем, що описують рух абсолютно твердого тіла з порожниною, що містить рідину. Метод складання цих рівн