РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ МИС
2.1 Математическая модель диагностики биологических процессов в организме пациента
В основе медицинской диагностики лежит применение методов термодинамики необратимых процессов к анализу состояний биологической системы пациента [46].
Одной из важнейших характеристик биологической системы пациента являются свойства устанавливающихся в них стационарных состояний. Математические модели, построенные на основе дифференциальных уравнений, позволяют изучать свойства стационарных состояний, а также характер переходных процессов в таких системах.
Математическая модель, отражает сложную цепь взаимосвязанных реакций, в которых одновременно происходят превращения различных веществ. Скорость изменения концентрации каждого вещества зависит от концентраций всех других веществ, что записывается в виде следующей системы дифференциальных уравнений:
(2.1)где - общее число компонентов, все по смыслу, а функции представляют собой полиномы переменных , как правило, не выше второй степени, что соответствует реакциям второго порядка. Аналитическое решение такой системы представляется в виде функций:
(2.2)изучение которых и позволяет определить те или иные свойства организма пациента. Установление в организме пациента (2.1) стационарного состояния означает, что концентрации ее компонентов не изменяются во времени, т.е. имеем:
(2.3) Следовательно, стационарному состоянию соответствует следующая система алгебраических уравнений:
(2.4)решение которой позволяет найти стационарные концентрации:
(2.5)или координаты стационарной точки . Однако, часто бывает невозможно найти аналитическое решение системы уравнений (2.1). Тогда на помощь приходят методы качественной теории дифференциальных уравнений, которые позволяют, не решая в явном виде уравнения (2.1), но пользуясь некоторыми свойствами их правых частей, изучить характер стационарных состояний (2.5), их устойчивость, а также особенности переходных процессов вблизи стационарного состояния. Если в исходной системе происходит изменение концентрации какого-то одного компонента, причем скорость этого изменения складывается из алгебраической суммы скоростей притока и оттока этого вещества:
(2.6)В стационарном состоянии и, следовательно, (см. (2.4)):
(2.7)откуда можно найти величину - значение стационарной концентрации. Если после возмущения значение концентрации компонента стало , тогда величина отклонения от первоначального стационарного состояния составит:
(2.8)где - небольшая величина, такая, что:
(2.9)Подставляем в уравнение (2.6) выражение из (2.8), найдем, что:
Воспользовавшись малостью величины (2.9), разложим в ряд по степеням вблизи стационарной точки . Имеем:
(2.10)Поскольку согласно (2.4), (2.7):
то, ограничиваясь в (2.6) величинами первого порядка малости, найдем, что:
(2.11)где величина есть значение производной правой части уравнения (2.6) по переменной в стационарной точке . Решая полученное уравнение (2.11), найдем:
(2.12)где - величина отклонения от стационарного значения в начальный момент времени . Уравнение (2.12) показывает, каким образом происходит самопроизвольное изменение во времени первоначального отклонения, вызванного внесенным возмущением. Очевидно, что в устойчивой системе эти отклонения должны со временем исчезать, т.е.:
при что, как видно из (2.12), выполняется при:
(2.13)или:
Наоборот, в неустойчивой системе первоначальные отклонения будут в течение времени нарастать, условием чего является неравенство:
(2.14)Таким образом, знак производной правой части дифференциального уравнения в стационарной точке указывает на характер устойчивости стационарного состояния. Схематически это представлено на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Зависимость вблизи стационарной точки в устойчивой (кривая 1) и неустойчивой (кривая 2) системах
В качестве примера рассмотрим простую систему, в которой осуществляется приток вещества согласно реакции нулевого порядка, а отток описывается реакцией первого порядка:
здесь - константы скоростей притоку и оттока соответственно. Поэтому:
(2.15)Система обладает единственным стационарным состоянием, в котором т.е.:
Это состояние всегда устойчиво, так как:
Сложная система может обладать несколькими стационарными состояниями, что соответствует наличию нескольких корней в алгебраических уравнениях (2.4) для определения координат стационарной точки. В случае одной переменной это означает, что кривая пересекает ось абсцисс в нескольких точках, в каждой из которых функция обращается в нуль и которые соответствуют, таким образом, разным стационарным состояниям . В зависимости от значений тех или иных параметров системы или констант скоростей реакции изменяются значения самих стационарных концентраций и, кроме того, в системе могут реализоваться различные стационарные состояния.
Рассмотренные процессы существования бифуркационных состояний в биологических объектах являются основой диагностики патологий в организме пациента, физические факторы которой целесообразно учитывать при построении МИС.
2.2 Математическая модель физического процесса турбулентности при транспортировании биологических сред
Одной из моделей МИС является модель физического процесса транспортирования биологических сред. Для создания методов расчета процессов переноса в усложненных условиях необходимо располагать экспериментальной информацией о раздельном воздействии каждого из факторов. Такая экспериментальная информация позволяет установить их общие закономерности и описать их уравнениями подобия.
Изучению турбулентного пограничного слоя, развивающегося в невозмущенном внешнем потоке, т.е. при низкой степени его турбулентности , при отсутствии продольного градиента давления посвящены работы [127-128].
Вместе с тем при повышенной степени турбулентности внешнего потока , интегральные характеристика турбулентного пог