РАЗДЕЛ 2
нестационарное температурное поле гнездового
самонагревания растительного сырья, порожденное сферическим очагом
2.1. Решение температурной задачи гнездового самонагревания растительного сырья
в одномерной постановке
Изучение нестационарного температурного поля самонагревания сырья ГСО
проводилось в работах [2, 3, 21 – 23, 47, 92, 102], причем в [21 – 23, 92, 102]
рассматривалась модель бесконечной насыпи, а в [2, 3, 47] рассматривалась
шаровидная область конечного радиуса, в центре которой был очаг такой же формы.
Предполагалось, что на внешней сферической поверхности нет теплообмена насыпи с
окружающей средой.
Далее будем считать, что на внешней сферической поверхности происходит
идеальный теплообмен с окружающей средой, т.е. избыточная температура,
порожденная внутренним термоисточником на указанной поверхности, равна нулю.
Выбор таких граничных условий позволяет, во-первых, построить простое решение
задачи в форме тригонометрического ряда. Во-вторых, он позволяет ускорить
сходимость разложения, т.е. преобразовать его к виду удобному для вычислений.
В-третьих, выбранным граничным условиям легко дать физическое истолкование.
Вследствие низкой температуропроводности, в точках, значительно удаленных от
сферического очага, на начальном этапе самонагревания не успевает прогреться
сырье, т.е. избыточная температура в них равна (или близка к) нулю. Это
позволяет образовать из таких точек условную граничную сферическую поверхность
с нулевой избыточной температурой. Иными словами для изучения поля температур в
локализованном сферическом очаге и его окрестности на начальном этапе
самонагревания предлагается выделять в сырье сферическую область, с нулевой
избыточной температурой на границе. Чем больше радиус этой области, тем на
более длительном промежутке времени может вычисляться температура в ее
центральной части. В реальных условиях самонагревания в качестве радиуса
приходится брать кратчайшее расстояние от центра очага до границы насыпи.
Поэтому излагаемый метод расчета годится лишь для случаев, когда очаг находится
в глуби насыпи.
При описании центрально–симметричного температурного поля исходим из
дифференциального уравнения теплопроводности
. (2.1)
Здесь Т(r,t) – избыточная температура самонагревания; – коэффициент
температуропроводности сырья; – коэффициент теплопроводности сырья; , с – его
плотность и удельная теплоемкость; r – расстояние от центра очага до расчетной
точки; t – время; q(r) – плотность термоисточников в очаге; (t) – функция
Хевисайда.
Обозначив через R радиус внешней сферической поверхности, содержащий очаг,
решение уравнения (2.1) построим при следующих начальном и граничном условиях
T(r,0)=0; T(R,t)=0. (2.2)
Зададим решение в виде ряда [85]
(2.3)
который удовлетворяет граничному условию.
Подставив разложение (2.3) в уравнение (2.1) получаем дифференциальные
уравнения для неизвестных функций bn(t)
. (2.4)
Здесь точка означает дифференцирование по t.
Решив уравнение (2.4) при нулевом начальном условии (2.2) находим bn(t), а
затем и само решение. Согласно (2.3) им является [85, 113]
(2.5)
Ряд (2.5) не позволяет вычислить температуру в центре очага, т.е. при r=0.
Раскрыв неопределенность типа 0/0 в этой точке получаем
(2.6)
Конкретизируем общие разложения (2.5), (2.6), задав плотность распределения
термоисточников в очаге. В качестве такой примем
Здесь r0 – радиус очага самонагревания.
Выполнив интегрирование по частям для вычисления избыточной температуры,
получаем ряды
(2.7)
где:
Для удобства расчетов преобразуем решение (2.7)
Убыстрение сходимости рядов. Представим выражение (2.7) в виде
(2.8)
где:
Наиболее медленно сходится ряд для S(r). Поэтому его желательно просуммировать
аналитически. Это легко сделать, если учесть, что [1, 97, 139]
(2.9)
Использование сумм (2.9) дает замкнутое выражение
. (2.10)
Решения в форме (2.8), (2.10) сходится быстрее, нежели разложения (2.7). Кроме
того, они позволяют установить граничное значение избыточной температуры ТГР.
Устремив из решений (2.8), (2.10) получаем
.
Разумеется, что ТГР имеет чисто теоретический смысл. Оно получено для условной
сферической области и не относится к силосам цилиндрической и прямоугольной
форм, которые встречаются на практике. Эта формула может использоваться лишь
для проверки правильности вычислений Т(r,t), поскольку Т(r,t) < ТГР.
Результаты расчетов. Они получены для насыпи травяной муки (=0,09 Вт/(мК);
с=8,5Ч105 Дж/(м3К) [19]).
В табл. 2.1 указаны значения Т(0,t) в 0С полученные при q0=100 Вт/м3, R=5 м, r0
=0,3 м и различных t. При вычислениях в рядах удерживалось по N членов. Расчет
показывает, что до убыстрения сходимости ряд (2.8) сходится медленно, особенно
в начальный период самонагревания. Для получения погрешности менее 1 % в них
приходится удерживать около 50 членов ряда. В рядах ускоренной сходимости
(2.8), (2.10), исключая малые t, хорошая точность достигается при удержании в
них 5 членов.
Таблица 2.1
Значения Т(0,t) в 0С, вычисленные при различном числе членов в рядах
t, сут
N=1
N=5
N=10
N=50
N=100
Формулы (2.8) – числитель, (2.8), (2.10) – знаменатель
10
50
100
200
На рис. 2.1 и 2.2 изображены значения Т(r,t) в 0С полученные при q0=100 Вт/м3 и
различных t и r. Причем на рис. 2.1 даны графики при R=1,5 м, а на рис. 2.2 при
R=3 м. Из данных графиков можно сделать вывод, что на расчетном интервале
времени (до 100 суток) увеличение R слабо влияет на вычисление Т(r,t), особенно
в центре очага, где прирост температур