Точність наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші

РОЗДІЛ 2
ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ З НЕОБМЕЖЕНИМ
ОПЕРАТОРОМ У БАНАХОВІМ ПРОСТОРІ
При побудові, аналізі похибки і чисельній реалізації наближених методів
розв’язування абстрактної задачі Коші важливу роль відіграють окремі
фундаментальні результати загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь з
необмеженим операторним коефіцієнтом у банаховім просторі. Так, на різних
етапах дискретизації вихідної задачі природно постають питання існування та
єдиності розв’язків і таких їх властивостей, як гладкість, стійкість тощо. І
якщо для рівняння з обмеженим оператором відповідь на питання про існування і
єдиність розв’язку задачі Коші, його неперервну залежність від початкових даних
завжди позитивна, а ключовим є дослідження поведінки розв’язку при , то для
рівняння з необмеженим оператором саме перелічені питання є головними.
Ці та інші властивості диференціально-операторних рівнянь звичайно
сформульовані в термінах теорії напівгруп операторів [9, 19, 34, 54, 65, 79].
Згідно з означенням [20, с. 133], однопараметрична сім’я обмежених лінійних
операторів, діючих у банаховім просторі , називається напівгрупою операторів,
якщо виконано умову
при .
Сильна неперервність, -властивість, аналітичність та інші властивості
напівгрупи, породженої задачею Коші, істотно пов’язані з коректністю постановки
задачі, розташуванням спектра оператора й оцінками для резольвенти (див.,
наприклад, [17, 19, 31]). Так, для гільбертового простору далі йтиметься про
рівняння із самоспряженим додатно визначеним замкнутим щільно заданим лінійним
оператором (таке рівняння має максимальний набір “хороших” властивостей). У
цьому разі можливе явне зображення напівгрупи через спектральний розклад
одиниці, що дозволяє безпосередньо із зазначеної формули виводити всі
властивості напівгрупи, як-от: аналітичність, оцінки для похідних тощо.
Водночас згадане явне зображення напівгрупи, а отже, і розв’язку не єдино
можливе. Так, в основу методу перетворення Келі для наближеного розв’язування
задачі Коші покладено точні формули для операторних ексопоненти [57] і косинуса
[60].
Той самий підхід у банаховім просторі допустимий за умови сильної позитивності
[58] або сильної - позитивності [56] оператора. В обох випадках, крім того,
явне зображення напівгрупи можливе через інтеграл Данфорда–Коші [3, 7], або,
якщо йдеться про розв’язок, — через обернене перетворення Лапласа [19].
Натомість задачі Коші для однорідного рівняння зі змінним оператором відповідає
двопараметричний еволюційний оператор. Він, зокрема, є розв’язком інтегрального
рівняння Вольтерри; тож будують його звичайно методом послідовних наближень.
Еволюційний оператор також бере участь у записі розв’язку відповідного
неоднорідного рівняння.
Далі конкретизуємо сказане.
2.1. Лінійні рівняння зі сталим оператором
2.1.1. Задача Коші для однорідного рівняння 1-го порядку. Розглянемо в
банаховім просторі задачу Коші
, (2.1)
, (2.2)
де — замкнутий лінійний оператор із щільною в областю визначення .
Класичним розв’язком рівняння (2.1) на відрізку називають функцію , яка
задовольняє це рівняння при кожному (тобто ). Якщо класичний розв’язок рівняння
(2.1) на задовольняє, крім того, початкову умову (2.2) при , то його називають
класичним розв’язком задачі Коші на для цього рівняння.
Класичний розв’язок є, очевидно, неперервною на функцією.
Кажуть, що задача Коші (2.1)–(2.2) поставлена коректно на , якщо: 1) для
кожного вона має єдиний класичний розв’язок; 2) з умови при випливає, що для
кожного відповідні класичні розв’язки при . Можна показати [19, c. 39], що
коректність задачі Коші на якомусь відрізку тягне її коректність на кожному
відрізку , а отже, й на півосі .
Позначимо оператор, що кожному елементу ставить у відповідність значення її
класичного розв’язку в момент часу :
. (2.3)
Якщо задача Коші (2.1)–(2.2) коректна, то внаслідок лінійності рівняння (2.1)
оператор визначений на , лінійний і неперервний, а отже, продовжуваний за
неперервністю до лінійного обмеженого оператора, визначеного на всьому просторі
. Надалі зберігаємо за ним те саме позначення . Якщо , то може статися, що
функція не буде диференційовною або її значення не належатимуть . В усякому
разі при кожному функція є, очевидно, границею послідовності класичних
розв’язків рівняння (2.1) на , а тому її природно назвати узагальненим
розв’язком цього рівняння.
В [19, с. 41] доведено, що оператори , становлять напівгрупу і є рівномірно
обмеженими на кожному відрізку , . Відтак напівгрупа є сильно неперервною при
або, що те саме, узагальнений розв’язок є неперервним на . Водночас при границя
може не існувати.
Оператори і комутують на :
(, ),
а це з огляду на сильну неперервність напівгрупи показує, що класичний
розв’язок неперервно диференційовний на . Міркуючи так і далі, пересвідчуємося
в тому, що із припущення , — ціле, випливає неперервність при ()-ої похідної
класичного розв’язку (2.3) та неперервність при його похідної -го порядку.
Таким чином, що гладкіший початковий вектор , то вищий порядок гладкості
класичного розв’язку .
Для напівгрупи коректної задачі Коші (2.1)–(2.2) існує границя [19, с. 43]
(число називають типом напівгрупи, або типом задачі Коші), а отже при кожному
функція зростає на нескінченності не швидше за експоненту. Тому для дослідження
розв’язків можна застосовувати техніку перетворення Лапласа. Так, якщо множина
регулярних точок оператора не порожня, то при він має резольвенту , для якої
правильна формула зв’язку з напівгрупою [69, c. 484]:
для всіх таких, що функція локально сумовна на . У цьому разі за формулою
обернення
.
Відтак для абсолютно неп