РОЗДІЛ 2
ОПТИМАЛЬНІ МОДЕЛІ ПРИЙНЯТТЯ КОЛЕКТИВНИХ РІШЕНЬ ТА ОЦІНЮВАННЯ ОСОБИСТОЇ
КВАЛІФІКАЦІЇ ЕКСПЕРТІВ
При розв’язуванні ряду прикладних задач проблема формування колективного
рішення може бути розглянута у такому формулюванні. Деякий об’єкт випадковим
чином приймає один з станів множини з відомими ймовірностями , . Ясно, що не
маючи додаткової інформації, для забезпечення мінімальної ймовірності
помилкової класифікації поточний стан об’єкта потрібно відносити до того стану,
який найбільш ймовірний, і в такому випадку величина
визначає мінімальну ймовірність помилкової класифікації.
Припустимо, що є експертів , які, ґрунтуючись на додатковій інформації,
незалежно один від одного приймають особисті рішення про поточний стан об’єкту
у вигляді індикаторної функції
, якщо прийняв рішення на користь , , . (2.1)
Зрозуміло, що в загальному випадку множина
можливих ситуацій (комбінацій особистих рішень експертів) включає комбінацій
рішень експертів, причому тільки в M випадках особисті рішення будуть
узгодженими (коли всі експерти приймають рішення на користь одного класу), а в
інших – рішення суперечливі.
Будемо характеризувати “кваліфікацію” експертів ймовірностями , помилкової
класифікації, припускаючи, що вони заздалегідь оцінені на основі попереднього
досліду. Природно допустити, що ці ймовірності задовольняють умовам
. (2.2)
Поставимо задачу побудови оптимального колективного рішення
, якщо колектив прийняв рішення на користь , ,
яке за відомими особистими рішеннями незалежних експертів та ймовірностями ,
забезпечить мінімум середньої ймовірності помилки або, в загальному випадку,
мінімум середнього ризику колективного рішення (мінімум математичного
сподівання відомих втрат від правильних та неправильних рішень) на множині .
2.1. Байєсові моделі прийняття колективного рішення
2.1.1. Модель 1. Розглянемо спочатку простіший випадок, коли два експерта ()
незалежно один від одного приймають особисті рішення (2.1) про поточний стан
об’єкту, який знаходиться в одному з двох можливих станів () з апріорними
ймовірностями і .
Зрозуміло, що в такому частковому випадку множина ситуацій складається лише з
чотирьох можливих комбінацій особистих рішень (2.1), а саме
. (2.3)
Покажемо [31], що на основі такої інформації може бути побудована формальна
модель, яка забезпечує мінімум середньої ймовірності колективного рішення , про
невідомі стани об’єкту на множині ситуацій . Цей факт у точному формулюванні
визначає лема, яка буде використовуватись у подальших дослідженнях.
Лема 2.1. Нехай два експерта () незалежно один від одного приймають особисті
рішення (2.1) про поточний стан об’єкта, який знаходиться в одному з двох
можливих станів () з апріорними ймовірностями і . Нехай відомі
ймовірності помилок особистих рішень незалежних експертів , .
Тоді колективне рішення , є оптимальним з точки зору мінімуму середньої
ймовірності помилки на множині можливих ситуацій (2.3), якщо в ситуації ,
приймається рішення на користь при
, (2.4)
і рішення на користь при
, (2.5)
Доведення. У відповідності з теорією статистичних рішень середня ймовірність
помилки колективного рішення , буде мінімальною [75], якщо в ситуаціях ,
приймати рішення за максимумом апостеріорних ймовірностей . Наприклад, в
ситуації приймати рішення на користь , якщо
, (2.6)
і рішення на користь в протилежному випадку.
За формулою Байєса маємо
Очевидно, що нерівність (2.6) має місце тільки в тому випадку, коли
. (2.7)
За означенням умовна ймовірність представляє собою ймовірність того, що в
ситуації, коли об’єкт знаходиться у стані , експерт прийняв правильне рішення,
а експерт помилився. Оскільки припускається, що рішення експертів незалежні, то
за формулою добутку ймовірностей маємо
. (2.8)
Аналогічним чином
. (2.9)
Тоді із (2.7) з урахуванням (2.8), (2.9) випливає, що в ситуації колективне
рішення, що забезпечує мінімум середньої ймовірності помилки, повинно
прийматися за схемою (2.4), (2.5).
Аналогічно можна показати, що в ситуації колективне рішення, що забезпечує
мінімум середньої ймовірності помилки, також повинно прийматися за схемою
(2.4), (2.5). Лема 2.1 доведена.
2.1.2. Модель 2. Умови (2.4) - (2.5) отримані у припущенні, що помилки
експертів не залежать від того, у якому стані знаходиться об’єкт, тобто
вважається, що . При розв’язанні практичних задач, наприклад, задач медичної
діагностики, таке припущення не завжди вірно: ймовірність помилкового
віднесення здорового пацієнта до групи хворих може не збігатися з ймовірністю
помилкового віднесення хворого пацієнта до групи здорових. Для характеристики
умовних ймовірностей (ймовірностей помилок першого та другого роду) в медичній
діагностиці введені спеціальні терміни: чутливість та специфічність діагнозу
[21].
Розглянемо формальну модель побудови колективних рішень, орієнтованих на цей
практично важливий випадок [31].
Лема 2.2. Нехай два експерта () незалежно один від одного приймають особисті
рішення (2.1) про поточний стан об’єкта, який може знаходитись в одному з двох
можливих станів () з апріорними ймовірностями і . Нехай відомі
ймовірності помилок першого та другого роду особистих рішень незалежних
експертів
Тоді колективне рішення , є оптимальним з точки зору мінімуму середньої
ймовірності помилки на множині можливих ситуацій (2.3), якщо в ситуації ,
колективне рішення прий
- Київ+380960830922