РОЗДІЛ 2
ФОРМАЛІЗОВАНІ МЕТОДИ КОДУВАННЯ В ІНФОРМАЦІЙНИХ КАНАЛАХ З ВИКОРИСТАННЯМ
ДИСКРЕТНИХ ЧАСТОТНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ
2.1. Властивості повних систем ненульових лишків при побудові завадостійких
кодів в простих полях Галуа
Практично в діючих інформаційних каналах [10, 17–24] найбільш часто синтезують
ансамблі шумоподібних сигналів на основі регістрів зсуву з лінійним зворотним
зв'язком, використовуючи при цьому досить потужну алгебраїчну конструкцію з
гарним механізмом псевдо випадковості, яка є лінійна рекурентна послідовність
максимального періоду: МЛРП, , в простому полі Галуа , де – первісний елемент
поля .
Однак експериментальні дослідження показують, наприклад [11– 12], що число
оптимальних систем ДЧ-сигналів в полі істотно більше, ніж число – функція
Ейлера [34]. Таким чином, стає ясно, що оптимальні системи ДЧ-сигналів можуть
бути побудовані як на основі МЛРП, так і на основі нелінійних рекурентних
послідовностей максимального періоду – МНРП [24]. При цьому, мабуть, що зі
збільшенням потужності класу оптимальних систем ДЧ-сигналів можна поліпшити
завадозахищеність інформаційних каналів. Разом з тим у цей час багато питань,
пов'язаних з побудовою повних класів оптимальних систем ДЧ-сигналів на основі
всіх видів МЛРП і всіх видів МНРП, а також на основі кодів степеневих лишків,
досліджені в літературі недостатньо повно. Помітимо особливо, що в літературі
[10] наведена фундаментальна рівність для теорії систем ДЧ-сигналів, що
визначає об'єм оптимальних систем ДЧ-сигналів
Однак регулярні правила синтезу оптимальних систем ДЧ-сигналів відомі далеко не
для всіх значень M. Наприклад, у літературі невідомі оптимальні системи
ДЧ-сигналів з набором параметрів , де N – довжина сигналу, – потужність системи
ДЧ-сигналів, M – число частот для формування кожного сигналу. Таким чином,
можна констатувати, що, навіть залишаючись у рамках теорії оптимальних систем
ДЧ-сигналів, далеко не всі питання знайшли своє рішення.
Розглянемо у цьому розділі основні властивості повних систем ненульових лишків
в простих полях і розширених полях Галуа, що на основі роботи автора [130].
Пошук гарних кодів, що контролюють помилки й синтез оптимальних систем
дискретних сигналів з гарними кореляційними властивостями, значною мірою
пов'язаний з потужними й витонченими структурами або конструкціями сучасної
алгебри й теорії чисел.
Множина елементів називається алгебраїчним полем, якщо задані операції
додавання й множення, що задовольняють наступним законам – табл. 2.1 [25,
33–39].
Таким чином, у полі виконуються звичайні закони замкнутості, асоціативності,
комутативності й дистрибутивності. Поле завжди містить одиничний елемент При
операції додавання, одиничний елемент називається нулем , а при операції
множення – одиницею . Сума будь-якого елемента поля й нуля, і добуток
будь-якого елемента поля й одиниці, рівні . Для всякого елемента існує
зворотний (по додаванню) елемент , єдиний елемент поля, що задовольняє рівнянню
. Для всякого елемента , не рівного нулю, існує зворотний (по множенню) елемент
– єдиний елемент поля, що задовольняє рівнянню .
Помітимо, що алгебраїчна й мультиплікативна структура скінчених полів викладена
в дійсному розділі трохи надлишково, але менш формально, оскільки для технічних
додатків важливі різні форми подання того самого поля. Саме тому будемо
розрізняти автоморфні й ізоморфні подання того самого поля, а також різні форми
подання арифметичних таблиць додавання й множення елементів поля.
Таблиця 2.1
Аксіоми алгебраїчних полів
Закони
Операція
додавання
множення
Замкнутість: для кожної пари елементів існує, і притім єдиний, елемент
Асоціативність:
Комутативність:
Наявність одиничного елемента: існує елемент , такий, що ,
де
Наявність зворотних елементів: для кожного існує елемент такий, що
Дистрибутивність:
Властивості поля (табл. 2.1) не всі незалежні, однак для наших цілей більш
зручно постулювати всі перераховані вище властивості.
Поле, що містить скінчене число елементів , називається скінченим полем і
позначається ( ? означає Galois Field ? поле Галуа). Порядком скінченого поля
називається число елементів поля.
Просте поле. Повна система лишків за модулем простого числа утворює скінчене
поле порядку , що позначають через і називають простим полем Галуа.
Додавання й множення елементів поля здійснюється у вигляді арифметичних
операцій за модулем – , в відповідними числами.
Приклад. Елементами поля є числа: Адитивна група поля складається із чисел ; а
мультиплікативна група ? із чисел Правила додавання й множення елементів поля
визначаються , відповідно, наступними таблицями
Таблиця 2.2
Таблиця 2.3
Додавання в полі
Множення в полі
1
2
4
1
0
4
1
4
4
Розглянемо основні поняття мультиплікативної структури полів Галуа [25, 34,
35].
Період елементів поля . Відповідно до властивості , якщо поле містить елемент ,
то воно повинне містити також ступеня . Природно, що в скінченому полі не всі
ступені будуть різними. Тому повинен існувати такий позитивний найменший
показник ступеня , що , у цьому випадку називається періодом елемента [34].
Якщо період елемента дорівнює , то елементи всі різні. Тому що порядок
мультиплікативної групи поля дорівнює , те максимально можливий період
елементів поля
. (2.1)
Теорема про період елемента поля . Якщо відомо період довільного елемента поля
, то можна встанови