Ви є тут

Вплив кінематичних та фізико-механічних параметрів на динамічні процеси у рухомих одновимірних нелінійно-пружних системах

Автор: 
Сліпчук Андрій Миколайович
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2007
Артикул:
0407U001295
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РОЗДІЛ 2

НЕЛІНІЙНІ ПОПЕРЕЧНІ КОЛИВАННЯ ПРУЖНОЇ РУХОМОЇ НИТКИ, КАНАТУ

З розвитком нової техніки з'являється багато прикладних задач, які належать до динаміки рухомих систем [23, 24]. До них можна віднести процеси намотування дроту, нитки, прокату, крутильних коливань валів, у певному наближенні - рух стрічок (носіїв інформації). Так, наприклад, швидкість руху прокату на робочих станах досягає 30-40 м/с [105]. При таких швидкостях руху, а для деяких процесів навіть при значно вищих швидкостях, нехтувати динамічними ефектами рухомої системи не можна. Динамічні процеси, що відбуваються в одновимірних лінійно-пружних системах з незмінними геометричними і фізико-механічними характеристиками вивчені достатньо для випадків, коли така система не рухається вздовж своєї геометричної осі [48, 61, 67, 77]. Однак багато практичних задач (підвісні канатні дороги, конвеєрні лінії, пристрої для витяжки і намотування дроту, рух носіїв інформації тощо) вимагають при їх дослідженні уточнених підходів до вивчення впливу руху середовища на динаміку процесу. Динамічні процеси у пружних рухомих одновимірних системах дослідити математично значно важче. Це пов'язано з проблемою інтегрування диференціальних рівнянь, які описують їх рух. Крім того, не вдається застосувати метод Фур'є і Д'Аламбера, у більшості випадків при розгляді вказаного типу задач не враховуються нелінійні пружні властивості середовища. Нижче розглядаються комплексні задачі, які поєднують такі фактори: середовище рухається вздовж своєї осі з певною швидкістю, а також враховуються його нелінійно-пружні характеристики.

2.1 Диференціальні рівняння поперечних коливань одновимірних систем (нитки, канату, стрічки)

Реальні коливні системи характеризуються фізичними параметрами, такими як: жорсткість, маса і характеристики демпфування. Для таких систем закон коливного процесу описується за допомогою функції декількох змінних (часу та просторових координат), а диференціальне рівняння є рівнянням частинних похідних.
Моделі систем з розподіленими параметрами можна класифікувати за кількістю їх вимірів: одновимірні та багатовимірні. У даній роботі ми зупинимось на дослідженні одновимірних (балки, стержень, нитки). Положення таких систем описуються двома змінними - координатою та часом . Рівняння коливання для окремих практичних випадків можна отримати за допомогою кінематичних гіпотез (плоских січень, прямих нормалей і т.д.) [41, 59]. Недоліком таких математичних моделей є неможливість отримання для них розв'язку в замкнутому вигляді, - як для резонансних випадків, так і нерезонансних. Ці розв'язки можна отримати тільки для лінійних моделей. Проте такі фактори можна врахувати за допомогою гіпотез Бока-Шліппе-Колара чи Кельвіна-Фойхта. Для стаціонарного випадку можна також використати метод комплексних модулів пружності (гіпотеза Сорокіна) [41, 68]. Гіпотезу Кельвіна-Фойхта застосовують при стаціонарних чи нестаціонарних коливаннях, незважаючи на те, що для матеріалів із металу вона не підтверджується експериментально. Лінійна гістерезисна гіпотеза Сорокіна відповідає експериментальним результатам, але використовується тільки у випадку коливань, які вже встановились. Застосування її для нестаціонарних коливань не є математично коректним, бо з'являються одночасно стійкі і нестійкі частинні розв'язки рівняння. Якщо відкинути нестійкі частинні розв'язки, керуючись логічними міркуваннями, то порушується принцип суперпозиції.
Будемо розглядати одновимірну систему (рис 2.1). Для такого випадку диференціальне рівняння руху можна представити у загальному випадку так [14, 74]:
Рис. 2.1. Схематична модель поперечних коливань рухомої нитки
, (2.1)
де - малий додатній параметр;
t - час;
? - коефіцієнт, який визначає частоту системи;
- періодична функція відносно до з періодом 2?, яка необмежено диференціюється по всіх кінцевих значеннях своїх аргументів;
- стала;
- маса одиниці довжини нитки;
T - натяг нитки;
- додатна функція.
Крайові умови для такої задачі можуть приймати вигляд [5]:
- два кінці закріплені;

- два кінці вільні;

- один кінець вільний, а другий - закріплений;
.
Коли збурення відсутнє, тобто , то отримаємо чисто гармонійне коливання , де ; тоді . При цьому і ? - деякі сталі (у даному випадку, коли немає збурення); в такому разі амплітуда буде постійною , з рівномірним фазовим кутом ?. Тобто коли =0, то рівняння (2.1) можна розв'язати методом стоячих хвиль (метод Фур'є) і біжучих хвиль (метод д'Аламбера) [20, 41].
Для побудови асимптотичного розв'язку збуреної системи, в якій відбуваються одночастотні коливання, необхідно виконати такі умови [70, 74]:
1) у незбуреній системі можливі незатухаючі гармонічні коливання з частотою , яка залежить тільки від двох вільних сталих;
2) єдиним розв'язком рівняння незбуреної системи є тривіальний, тобто ;
3) у незбуреній системі відсутні внутрішні резонанси, тобто ;
4) початкові умови забезпечують існування одночастотного режиму коливань, тобто , .
За таких припущень розв'язок рівняння збуреної системи шукаємо у вигляді [50]
, (2.2)
де - амплітуда одночастотних коливань;
- періодичні функції по змінній ? та з періодом ;
- функція, яка визначає форму коливань.
Для її визначення розглянемо незбурену систему. Методом головних гармонік можна отримати звичайне диференціальне рівняння
,
деkn - хвильове число; тоді

Величини та як функції часу будуть визначатися із системи диференціальних рівнянь для резонансного випадку [78]
(2.3)
Як відомо [13], практичне застосування цього методу не визначається властивостями збіжності ряду (2.2) та (2.3). Щоб розв'язати таку задачу (для першого наближення), необхідно знайти функції ,,. Побудова асимптотичних рядів (2.2) не містить принципових труднощів, однак тільки для перших членів ряду. У нелінійних системах не м