РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА РАЦИОНАЛЬНОЙ ЗОНЫ РАСПОЛОЖЕНИЯ СТЫКОВОГО УЗЛА КРЕПЛЕНИЯ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ К КОРПУСУ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
2.1. Построение математической модели задачи
Способ крепления оказывает существенное влияние на НДС крыла и, следовательно, на его массу. Для моноблочных крыльев малого удлинения характерно контурное закрепление. Рассмотрим задачу о выборе положения и протяженности узла крепления.
Исходными данными для решения этой задачи являются:
* внешние геометрические обводы крыла;
* характеристики конструкционного материала;
* действующий спектр нагрузок;
* дополнительные, часто не формализуемые, условия, связанные с технологическими, эксплуатационными соображениями, традициями (преемственностью) проектирования конкретного конструкторского бюро.
Математическая модель задачи выбора рациональной зоны крепления моноблочного крыла имеет вид:
;
;
;
; (2.1)
;
,
где - масса крыла;
- эквивалентные напряжения в i-м элементе от j-го случая нагружения;
- предельные напряжения;
n, k - соответственно, количество элементов расчетной модели крыла и случаев нагружения;
- длина закрепления (рис. 2.1);
- расстояние от носка бортовой хорды до середины заделки;
, - соответственно, жесткостная характеристика i-го силового элемента и ее минимальное значение;
- длина бортовой хорды крыла.
Рис. 2.1. Расположение узла крепления крыла к корпусу
Проектные параметры и задачи (2.1) могут быть найдены одним из методов нелинейного математического программирования. При этом, значение целевой функции в каждой допустимой точке можно найти по величине жесткостных параметров, найденных по критерию равнопрочности в соответствии со следующей формулой:
, (2.2)
где m - номер итерации;
- жесткостной параметр i-го элемента на m-й итерации;
- коэффициент изменения жесткостного параметра;
- максимальные из всех рассматриваемых случаев нагружения эквивалентные напряжения для i-го элемента на m-й итерации.
Сходимость алгоритма, основанного на использовании рекуррентной формулы (2.2), обоснована в работе [26].
2.2. Определение напряженно-деформированного состояния крыла малого удлинения методом пластинной аналогии
Суть метода пластинной аналогии, применяемого для определения НДС крыла малого удлинения, состоит в замене крыла эквивалентной пластиной, наделенной соответствующими жесткостными характеристиками.
Дифференциальное уравнение изгиба пластины переменной жесткости имеет вид [105]:
, (2.3)
где , - изгибающие моменты по соответствующим координатам;
- крутящий момент;
- поперечная нагрузка на крыло.
Существуют различные способы решения этого уравнения (методы Ритца, Бубнова-Галеркина, конечных разностей и др.). Примененный в этой работе метод конечных разностей (метод сеток) позволяет удовлетворить любым граничным условиям (правда, приближенно, в узлах) и не накладывает ограничений на внутреннюю конструкцию. Этот метод можно использовать и для расчетов за пределом пропорциональности, и с учетом нагрева конструкции. Метод конечных разностей отличается от МКЭ существенно меньшими затратами машинного времени, поэтому с успехом находит применение в задачах, где требуется большой объем вычислений, в частности в итерационных процедурах проектировочного расчета.
Метод конечных разностей (метод сеток) заключается в приближенной замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений относительно неизвестных значений искомой функции в конечном числе фиксированных точек. Алгебраическое уравнение в узловой точке формируется с помощью приближенного выражения в этой точке производных, входящих в дифференциальное уравнение. В узловых точках сетки при решении краевой задачи удовлетворяются как само дифференциальное уравнение, так и соответствующие граничные условия.
Входящие в уравнение (2.3) изгибающие и крутящий моменты записываются через прогибы следующим образом:
;
; (2.4)
,
где - жесткость при изгибе вдоль оси OX;
- жесткость при изгибе вдоль оси OY;
- жесткость при кручении;
, - коэффициент Пуассона по соответствующей координате;
- прогиб пластины.
Величины , и считаются переменными по координатам x и y. Для преобразования уравнения (2.3) в разностное наносится сетка с шагом ?x и ?y по соответствующим осям (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Крыло с нанесенной сеткой
Известно, что производные некоторой функции F(x,у) (это
может быть и прогиб w(х,у) и момент М(х,у)), дифференцируемой
в области L (рис. 2.2, пунктирная линия), аппроксимируемой областью L' (толстая ломаная) с прямоугольной сеткой с шагом ?x, ?y, можно выразить через значения самой функции в узловых точках сетки. Так, основные производные с точностью порядка ?x 2, ?y2 в точке 0 имеют вид:
;
;
; (2.5)
;
или
,
где - значение функции в i-й точке;
, - шаг сетки по соответствующей координате.
Используя формулы (2.5) для точки 0 уравнение (2.3) можно представить в виде:
. (2.6)
Применив далее к уравнению (2.6) формулы (2.4) и (2.5), получим уравнение (2.3), записанное в точке 0 в разностной форме через прогибы:
(2.7)
После преобразований с учетом и уравнение (2.7) может быть представлено в виде:
. (2.8)
Значения коэффициентов Сi, являющихся относительными коэффициентами жесткости, сведены в таблицу 2.1.
Таблица 2.1
Относительные коэффициенты жесткости
С0С1С2С3С4С5С6С7С8С9С10С11С12 Пользуясь формулой (2.8) или соответствующим шаблоном коэффициентов, можно выразить основное уравнение (2.3) в разностной форме ч