Раздел 2.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УЛЬТРАЗВУКОВОГО РЕЗОНАНСНОГО ПРИВОДА
2.1. Математическая модель механической ударной колебательной системы привода
Для решения поставленной задачи предлагается разбить её на две части. Вначале рассмотреть модель поведения ударной части резонансного привода, где ультразвуковой преобразователь будет представлен в виде сосредоточенного элемента. Затем рассмотреть вторую задачу с целью моделирования ультразвукового преобразователя привода на уровне волновых процессов. Данный подход позволит значительно упростить решение поставленной задачи.
Для описания механической колебательной системы резонансного вибрационного привода представим её в виде виброударной системы и воспользуемся терминологией, принятой в [75]. Представим виброударную систему в виде эквивалентной расчётной схемы [76], показанной на рисунке 2.1.
Виброударная система представляет собой ударник массой , где ударник представляет собой ультразвуковой преобразователь. Ударник установлен с натягом на пружине жёсткостью и возбуждаемого вынуждающей силой , где - амплитуда возбуждающей силы; -круговая частота возбуждающей силы; - начальная фаза возбуждающей силы. Боёк массой поочерёдно соударяется с ударником и плитой. Пусть положения ударника и бойка описываются обобщёнными координатами и соответственно. Координатную ось направим от плиты к ударнику. Начало координат совмещено с точкой, соответствующей положению ударника при недеформированом состоянии пружины. Примем, что боёк и ударник расположены в горизонтальной плоскости, при этом воздействием на систему силой тяжести и силами трения пренебрегаем.
В связи с тем, что на ударник в периоды времени между соударениями действуют только вынуждаемая сила и сила упругости пружины, а на боёк не воздействуют сторонние силы, запишем систему дифференциальных уравнений, описывающих движение ударника и бойка в промежутках времени между соударениями
Введя обозначение , где частота собственных колебаний ударника на пружине, перепишем систему уравнений в виде
Решение полученной системы уравнений будем искать в виде
где некоторые постоянные; - промежуток времени между соударением бойка о ударник и бойка о плиту; - промежуток времени между соударениями бойка о плиту и бойка о ударник. Продифференцировав полученные уравнения по времени, получаем систему уравнений, описывающих, соответственно, скорости ударника и бойка в промежутках времени между соударениями
Рассмотрим параметры "правильного" виброударного режима, когда за один период происходит только одно соударение в ударной паре боёк-ударник. Отсчёт времени будем вести с момента непосредственно после первого удара в ударной паре боёк-ударник. При этом моменты времени перед ударом будем обозначать с индексом "-", а непосредственно после удара с индексом "+".
Пусть непосредственно перед ударом ударник находится на расстоянии от плиты. Тогда координаты бойка и ударника до и после первого удара можно представить в виде
В связи с тем, что рассматриваемый режим соударений является "правильным" с периодом , то перед следующим ударом боёк и ударник будут иметь те же координаты
Основываясь на сказанном выше, в качестве граничных условий для обобщенных координат и можем записать
(2.7)
Рассмотрим соотношения для скоростей бойка и ударника. Пусть непосредственно перед ударом скорости бойка и ударника равны и , а непосредственно после первого соударения соответственно и . На основании закона сохранения импульса можно записать, что
С учетом того, что по определению, согласно гипотезе Ньютона, коэффициент восстановления скоростей соударяющихся тел равен отношению изменения относительных скоростей в ударной паре, можно записать
где - коэффициент восстановления в ударной паре "боёк-ударник".
На основании двух последних выражений получаем систему из двух линейных уравнений, связывающих скорости бойка и ударника до и после соударения
(2.8)
Умножая второе уравнение полученной системы на и сложив его с первым, получаем
Окончательно запишем
(2.9)
Умножая первое уравнение системы на , а второе на и складывая их, получаем
Окончательно можем записать
(2.10)
Приняв, что коэффициент восстановления при ударе бойка о плиту равен , можем записать, что
(2.11)
Принимая во внимание режим правильных соударений в системе с периодом , для скоростей можем записать
(2.12)
С учётом (2.12), выражения (2.9), (2.10)и (2.11) принимают вид
Полученная система уравнений, связывающая величины скоростей бойка и ударника в начале и конце одного периода колебаний , представляет собой граничные условия системы уравнений (2.5) и (2.6). Система уравнений (2.13), (2.14) и (2.15) содержит четыре переменные. Выразим скорости бойка и ударника через . После соответствующих подстановок и приведения подобных, можно записать
Приняв, что
(2.16)
(2.17)
окончательно запишем
Исходя из того, что уравнение (2.2) описывает равномерное прямолинейное движение, а боёк за один период проходит путь дважды, для периода можем записать
При этом пренебрегаем временем соударения в виброударных парах. С учётом (2.19) и (2.20) уравнение для периода принимает вид
Приняв, что
(2.21)
для периода окончательно запишем
(2.22)
Подстановка граничных условий (2.7) в уравнение (2.3) приводит к выражениям
Из первого уравнения записанной системы получаем
(2.23)
Исходя из физического смысла задачи, можно предположить, что . Тогда, принимая во внимание , получаем
(2.24)
Сравнивая между собой уравнения последней системы, можно записать, что