ГЛАВА 2
СЕМЕЙСТВО ВНЕОСЕВЫХ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ
2.1. Структура поля симметричного семейства внеосевых гауссовых пучков
Как было показано выше, в настоящее время уделяется достаточно пристальное внимание изучению свойств семейств внеосевых пучков в связи с их уникальными свойствами [13,47,96]. Возможность переноса орбитального углового момента такими структурами поля дает возможность захватывать, перемещать и вращать микрообъекты, а также осуществлять оптическое кодирование и перенос информации. Авторы работы [12] рассмотрели тот факт, что единичный гауссов пучок, ось которого смещена и наклонена относительно лабораторной системы координат, приобретает орбитальный угловой момент, величину которого можно легко изменять. Однако соответствующей ориентацией лабораторной системы координат можно добиться уничтожения этого ОУМ.
С другой стороны, известно, что лучевые траектории в максимуме интенсивности пучка представляют собой прямые линии, лежащие на поверхности гиперболоида вращения, что и приводит к возникновению ОУМ. Очевидно, что система двух и более симметричных внеосевых фундаментальных гауссовых пучков должна приобретать дополнительный угловой момент.
Целью данной главы является изучение структуры и орбитальный угловой момент семейства внеосевых гауссовых пучков.
Рассмотрим семейство N гауссовых пучков, оси которых лежат на поверхности гиперболоида вращения [19]. Ориентация пучков выбрана таким образом, чтобы их оси совпадали с одним из двух семейств прямолинейных образующих гиперболоида вращения. Симметричное расположение осей пучков в семействе приведено на рисунке 2.1,а.
Центр каждого пучка смещен вдоль радиуса на расстояние r0 относительно оси z лабораторной системы координат {x,y,z} (рис. 2.1,б), а их оси наклонены
относительно этой оси на малый угол ????рис.2.1,а?. Радиусы перетяжек всех пучков лежат в плоскости z=0 и имеют одинаковую полуширину ?. При этом учтем, что все пучки расположены симметрично и отстают друг от друга на угловые расстояния .
Рассмотрим n-й пучок в лабораторной системе координат. Координаты центра пучка в плоскости z=const=0 будем отсчитывать от оси x. В таком случае, угловое расстояние центра n-го пучка, отсчитанное от этой оси, будет . Сначала учтем только смещение пучков на расстояние r0 и предположим, что пучки распространяются параллельно оси z, т.е. . Тогда связь между собственной, связанной с пучком, и лабораторной системами координат можно записать как:
Пусть теперь . При этом плоскость {znyn} повернется на угол ? вокруг оси xn. Теперь связь между координатами, связанными с пучком, и лабораторными координатами примет вид:
(2.1)
Так как данная задача аксиально симметричная, удобно перейти в цилиндрическую систему координат, где координаты x, y, z имеют вид:
(2.2)
С учетом (2.2) перепишем выражения (2.1):
(2.3)
В связи с тем, что в параксиальном случае углы наклона ? малы, то , , а координаты центра n-го пучка (2.3) в параксиальном случае примут вид:
. (2.4)
Радиальная координата rn n-го пучка в семействе внеосевых пучков с учетом (2.4) будет равна:
(2.5)
Присвоим каждому пучку начальную фазу , где l - орбитальное число семейства, показывающее направление и рост фазы при переходе от пучка к пучку. Для определенности, будем считать l положительным натуральным числом, во всех случаях, если это не будет оговариваться особо, т.е. . Тогда в системе координат, связанной с осью симметрии гиперболоида, волновая функция каждого гауссова пучка будет равна:
, (2.6)
где , - длина Рэлея, - волновое число, - длина волны. Волновая функция всего семейства записывается как:
. (2.7)
Выражение (2.7) с учетом (2.6) дает возможность провести компьютерное моделирование семейства пучков. Однако, оно не позволяет аналитически изучить поведение такого комбинированного пучка и оценить его свойства. С другой стороны, можно было воспользоваться результатами работы [12] и представить волновую функцию (2.7) через ряд Бесселевых функций. Полученное выражение содержало бы произведения двух асимптотических рядов, вычисление которого является очень трудоемким и неоправданным. Вместо этого, логично сделать ряд приближений. Будем считать, что для малых углов наклона пучков обратные величины комплексных длин и примерно одинаковы:
, (2.8)
где . С учетом (2.8) подставим выражение (2.5) в волновую функцию n-го пучка (2.6):
(2.9)
Перепишем последнее выражение в виде:
где ,, , - относительное смещение пучка, - нормированный угол, на который пучок отклонен относительно оси семейства, - угол дифракционной расходимости отдельного пучка. Тогда волновую функцию семейства пучков (2.7) запишем как:
, (2.10)
Представим внешнюю экспоненту в (2.10) в виде ряда:
, (2.11)
и воспользуемся биноминальным рядом:
, , (2.12)
Волновую функцию (2.10) с учетом (2.11) и (2.12) приведем к виду:
. (2.13)
В тоже время, сумма геометрической прогрессии в выражении (2.13) равна:
. (2.14)
Следовательно, согласно (2.14), выражение (2.9) примет вид:
, (2.15)
где , . Значение в биноминальном коэффициенте в выражении (2.15) должно быть целым числом. Это требование приводит к двум возможным типам ряда в выражении (2.15) для четных и нечетных целых чисел:
, (2.16)
, (2.17)
где - модифицированная функция Бесселя первого рода, , откуда находим:
. (2.18)
Кроме того, в плоскости z=0, можно выразить переменные и A/B через безразмерные параметры и :
и .